一個帶休眠期反應擴散模型常數(shù)平衡解的全局穩(wěn)定性*

王雙明，王國興

(蘭州財經(jīng)大學信息工程學院，甘肅蘭州730020)

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一個帶休眠期反應擴散模型常數(shù)平衡解的全局穩(wěn)定性*

王雙明，王國興

(蘭州財經(jīng)大學信息工程學院，甘肅蘭州730020)

對一個帶休眠期的反應擴散模型建立了Lyapunov泛函，由此得到了其常數(shù)平衡解的全局漸近穩(wěn)定性．

休眠期；反應擴散模型；常數(shù)平衡解；Lyapunov泛函

引言

近些年，數(shù)學方法被廣泛應用于研究生物現(xiàn)象，并產(chǎn)生了一些新的學科，如種群生物學、傳染病學等．在諸多數(shù)學方法中，反應擴散方程不僅考慮種群之間的相互作用，還考慮到了在其生存環(huán)境中的隨機擴散，因此較常微分方程能夠更加精確地刻畫所要研究的實際問題．對于種群生物學而言，不論采用何種模型，其中一個核心問題是研究模型對應系統(tǒng)解的長時間行為[1,2]．而平衡解的穩(wěn)定性一直以來備受關(guān)注，其處理方法也有很多種．對于常微分方程模型或帶時滯的常微分方程模型，最常用方法之一是建立對應于平衡點的Lyapunov函數(shù)來判斷平衡點的穩(wěn)定性[3,4]．對于反應擴散方程而言，則須找到相應的 Lyapunov泛函，這在非特殊情形下是一個比較困難的問題．K．Hattaf[5]介紹了一種基于對應常微分系統(tǒng)建立反應擴散系統(tǒng)Lyapunov泛函的方法．本文將利用該方法對一個帶休眠期的反應擴散模型建立Lyapunov泛函，研究該模型常數(shù)平衡解的全局穩(wěn)定性．

1 帶休眠期反應擴散模型及預備知識

Hadeler和Lewis[6]介紹了單種群模型：

(1)

此模型描述在移動期與休眠期更替的單種群增長，且只有移動期的個體可以繁殖．模型 (1)可以典型地描述干旱氣候下生活在小池塘中的無脊椎動物的增長．u(x，t)和v(x,t)分別表示t時刻位于空間位置x處移動和休眠兩個亞種的密度．D>0表示可活動種群的擴散系數(shù)，γ>0和β>0分別表示兩個亞種之間的相互轉(zhuǎn)化率，f為再生函數(shù)．Zhang和Zhao[7]分別在無界區(qū)域和有界區(qū)域上研究了模型(1)的動力學行為．Zhao和Wu[8]研究了模型(1)的二維空間離散模型，得到了嚴格單調(diào)遞增的具有一定波速的行波解，并研究了參數(shù)對于系統(tǒng)動力學行為的影響．本文將在有界域Ω?RN(N≥1)上考慮模型

(2)

的長時間行為．對函數(shù)f作出如下假設：

H2存在常數(shù)L>0，使得f(w)≤0，?w≥L.

顯然，H1是嚴格次齊次性假設，且有f(w)0．

引理1[6]假設H1和H2成立，對于任意的φ=(φ1,φ2)∈C(Ω，R+)×C(Ω，R+)，系統(tǒng)(2)有唯一的解(u(x，t，φ)，v(x，t,φ))，?t≥0，且滿足u(·，0，φ)=φ1(·)，v(·，0，φ)=φ2(·)．

由假設H1和H2可知，如果f′(0)≤0，f(w)=0只有一個零點w=0；如果f′(0)>0，f(w)=0有唯一一個正常數(shù)解w=K≤L.于是有如下結(jié)論成立．

引理3f′(0)>0時，V(u(t)，v(t))是系統(tǒng)(2)對應的常微分系統(tǒng)

(3)

(4)

(5)

2 主要結(jié)果

本節(jié)通過構(gòu)造Lyapunov泛函來證明系統(tǒng)(1)的兩個不同常數(shù)平衡點的穩(wěn)定性．以下兩個定理中，始終假設H1和H2是成立的．

證明 建立泛函：

L(u，v)=∫ΩV(u(x，t)，v(x，t))dx

(6)

∫Ω[(u(x，t)-K)(DΔu+f(u(x,t)-γu(x,t)+βv(x,t))+

∫Ω(u(x,t)-K)DΔudx+

D∫Ω(u(x，t)-K)Δudx+∫ΩV(u(x,t),v(x,t))·g(u(x,t),v(x,t))dx.

(7)

式(7)中：

g(u(x,t),v(x,t))=(f(x,u)-γu(x,t)+βv(x,t),γu(x,t)-βv(x,t)T.

利用Green公式和Neumann邊界條件，可以得到：

D∫Ω(u(x，t)-K)Δudx=

-D∫Ω(u(x，t)-K)

-D∫Ω(u(x，t))udx=-D∫Ω|u|2dx≤0

(8)

由引理3知，當f′(0)>0時，則：

∫ΩV(u(x,t),v(x,t))·g(u(x,t),v(x,t))dx≤0

(9)

定理2 當f′(0)≤0時，系統(tǒng)(2)的唯一平衡點(0，0)是全局漸進穩(wěn)定．

證明 建立泛函：

L0(u,v)=∫ΩV0(u(x,t),v(x,t))dx

-D∫Ω|

-D∫Ω|

-D∫Ω|

(10)

從定理1和2不難發(fā)現(xiàn)，只要繁殖函數(shù)在低密度狀態(tài)下正向增長(f′(0)>0)，則該種群能夠持久生存，并且最終穩(wěn)定于一個正常數(shù)平衡態(tài)；若在低密度狀態(tài)下，繁殖函數(shù)為負(f′(0)≤0)，則該種群會最終滅絕．

[1]Zhao X Q. Global attractivity in a class of nonmonotone reaction-diffusion equations with time delay[J]. Can. Appl. Math. Q, 2009, 17(1): 271-281.

[2]王智誠，王雙明．一類時間周期的時滯反應擴散模型的空間動力學研究[J].蘭州大學學報：自然科學版，2013,49(4)：535-540．

[3]McCluskeyCC.GlobalstabilityforanSIRepidemicmodelwithdelayandnonlinearincidence[J].NonlinearAnalysis:RealWorldApplications, 2010, 11(4): 3106-3109.

[4]ZhangL,SunJW.GlobalStabilityofaNonlocalEpidemicModelwithDelay[J].TaiwaneseJournalofMathematics, 2016, 20(3): 577-587.

[5]HattafK,YousfiN.Globalstabilityforreaction-diffusionequationsinbiology[J].Computers&MathematicswithApplications, 2013, 66(8): 1488-1497.

[6]HadelerKP,LewisMA.Spatialdynamicsofthediffusivelogisticequationwithasedentarycompartment[J].CanadApplMathQuart, 2002, 10:473-499.

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[9]LaSalleJP.Thestabilityofdynamicalsystems[M].Philadelphia:SIAM, 1976.

The Global Asymptotic Stability of a Reaction-diffusion Model with a Quiescent Stage

WANG Shuang-ming, WANG Guo-xing

(School of Information Engineering, Lanzhou University of Finance and Economics, Lanzhou Gansu 730020, China)

The Lyapunov functional is established for a reaction diffusion model with a resting stage, and the global asymptotic stability of the constant equilibrium solution is obtained.

quiescent stage; reaction-diffusion model; constant equilibrium solutions; Lyapunov functional

1673-2103(2016)05-0036-04

2016-05-18

王雙明(1987-),男，甘肅天水人，講師，碩士，研究方向：偏微分方程、動力系統(tǒng).

O175

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