一類非線性泛函積分方程解的存在性*

張 峰

(菏澤學(xué)院初等教育系, 山東菏澤 274015)

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一類非線性泛函積分方程解的存在性*

張 峰

(菏澤學(xué)院初等教育系, 山東菏澤 274015)

應(yīng)用非緊性測度和 Darbo不動點定理在更弱的條件下研究一類一般化的非線性泛函積分方程解的存在性，推廣了一些現(xiàn)有結(jié)果.

非線性泛函積分方程；非緊性測度； Darbo不動點定理；存在性

引言

非線性泛函積分方程在解決機械學(xué)、物理學(xué)、工程技術(shù)、生物學(xué)等領(lǐng)域頻繁出現(xiàn)的問題中有廣泛應(yīng)用[1-4]. 值得提及的是車輛交通理論, 生物和排隊理論中出現(xiàn)的一些問題可抽象成非線性積分方程[1]

文獻(xiàn)[4,5]分別應(yīng)用非緊性測度和Darbo不動點定理研究了下列非線性積分方程解的存在性，

(1)

(2)

文獻(xiàn)[5]對方程(2)有假設(shè)：

(H1)g:[0,a]×R→R和f:[0,a]×R×R→R都是連續(xù)函數(shù);

(H2) 存在連續(xù)函數(shù)a1,a2,a3:[0,a]→[0,a]滿足

|g(t,x1)-g(t,x2)|≤a1(t)|x1-x2|, |f(t,y1,x)-f(t,y2,x)|≤a2(t)|y1-y2|,

|f(t,y,x1)-f(t,y,x2)|≤a3(t)|x1-x2|.

受上述文獻(xiàn)的啟發(fā), 本文考慮一類更一般化的非線性泛函積分方程

(3)

應(yīng)用非緊性測度和Darbo不動點定理探討方程(3)解的存在性.

1 預(yù)備知識

設(shè)E為實Banach空間, 范數(shù)‖·‖及θ為零元素. 記B(x,r)為以x為半徑, r為圓心的閉球, Br為球B(θ,r). 記ME為E的所有非空有界集組成的族及NE為ME中所有相對緊集組成的子族. 在主要結(jié)果的證明中, 需要下述概念和引理.

定義1.1[6,7]設(shè)X∈ME，t∈[0,a]，diamX(t)=sup{|x(t)-y(t)|:x,y∈X}，定義

顯然 0≤μ(X)<∞， 稱μ(X) 為Kuratowski非緊性測度.

設(shè)Ω∈ME, 算子Q:Ω→E連續(xù)有界，令μ(X)為E中Kuratowski非緊性測度.若存在常數(shù)k∈[0,1)，使得對任意X?Ω，都滿足 μ(QX)≤kμ(X), 則稱Q是Ω上的嚴(yán)格集壓縮映射.

引理1.1[6,7](Darbo不動點定理)設(shè)Ω為E中非空有界閉凸集，若Q:Ω→Ω是嚴(yán)格集壓縮映射,則Q 在Ω中至少有一個不動點.

研究問題的空間為在區(qū)間 [0,a] 上所有連續(xù)實函數(shù)所組成的Banach空間C[0,a]，范數(shù)為‖x‖=sup{|x(t)|:t∈[0,a]}. 對于任一固定子集X∈MC[0,a], ε>0 和x∈X，定義

ω(x,ε)=sup{|x(t)-x(s)|:t,s∈[0,a],

|t-s|≤ε},ω(X,ε)=sup{ω(x,ε):x∈X},

(4)

可證明函數(shù)ω0(X)是空間C[0,a] 中一Kuratowski 非緊性測度[7].

2 主要結(jié)果

作如下假設(shè)

(C1) 函數(shù)α, β, γ:[0, a]→R,φ:[0, a]→R+連續(xù).

(C3) 函數(shù) u(t, s, x):[0, a]×[0, m]×R→R連續(xù)且滿足次線性條件, 即對 ? t∈[0, a],

(C4)函數(shù)F:[0, a]×R2→R連續(xù)且存在常數(shù)p, q∈R+,對? f1, f2, h1, h2∈R, t∈[0, a]滿足

(C5) k1+pk2+qmμ<1.

注： 由條件(C1)知, 存在m∈R+滿足φ(t)≤m.

定理2.1 若條件(C1)～(C5)成立, 則積分方程(3)至少有一個解 x∈C[0, a].

證明 首先, 在空間C[0, a]中定義算子Q，

則由條件(C2)和 (C4) 知, 對任意函數(shù)x∈C[0, a], 函數(shù)Qx在區(qū)間 [0, a] 上連續(xù).

其次, 取任意固定x∈C[0, a], 對? t∈[0, a] 有

(k1+pk2+qmμ)‖x‖+g0+pf0+qmλ+F0,

(5)

接著,證明算子Q在球Br上連續(xù).對固定的ε>0 及取x, y∈Br, 使得‖x-y‖≤ε, 則對?t∈[0, a]有

(6)

由函數(shù)u(t, s, x)在集合 [0,a]×[0, m]×[-r, r]上一致連續(xù)知，當(dāng)ε→0 時, ωu(·,ε)→0. 故由式 (6) 知, 算子Q在球Br上連續(xù).

現(xiàn)在證明算子Q在球Br中相對于式(4)定義的非緊性測度ω0滿足Darbo條件.任取Br中非空子集X及x∈X,則對任意固定ε>0及t1, t2∈[0, a],為不失一般性, 設(shè)t1≤ t2和 t2-t1≤ε有

|(Qx)(t2)-(Qx)(t1)|≤|g(t2, x(α(t2)))-g(t1, x(α(t1)))| +

|g(t2, x(α(t2)))-g(t1, x(α(t2)))|+|g(t1, x(α(t2)))-g(t1, x(α(t1)))|+

ω(g, ε)+k1|x(α(t2))- x(α(t1))|+pk2|x(β(t2))-x(β(t1))|+pω(f, ε)+

ω(g, ε)+k1ω(x, ω(α,ε))+pk2ω(x,ω(β,ε))+pω(f,ε)+

qmω(u,ε)+qω(φ,ε)(λ+μ|x|) +ω(F, ε)

(7)

式中：

ω(g, ε) =sup{|g(t2, x) - g(t1, x)|: t1, t2∈[0, a]; |t2-t1|≤ε; x∈[-r, r]},

ω(f,ε) = sup{|f(t2, x) - f(t1, x)|: t1, t2∈[0, a]; |t2-t1|≤ε; x∈[-r, r]},

ω(u,ε)=sup{|u(t2, s, x) - u(t1, s, x)|: t1, t2∈[0,a]; s∈[0, m]; |t2-t1|≤ε; x∈[-r, r]},

ω(F, ε) = sup{|F(t2, f, h) - v(t1, f, h)|: t1, t2∈[0, a]; |t2-t1|≤ε;

f∈[- (k2r + f0), k2r + f0]; h∈[- m(λ+μ r), m(λ+μ r)]}.

由式(7)得:

ω(QX,ε)≤ω(g, ε)+(k1+pk2)ω(X, ε) + pω(f, ε) + qmω(u, ε)+

qω(φ, ε)(λ+μ|x|) + ω(F, ε).

(8)

由假設(shè)知函數(shù)g(t, x), f(t, x)在集合[0, a]×[-r, r],函數(shù)u(t, s, x) 在[0, a]×[0, m]×[-r, r]及函數(shù)F(t,f,h)在 [0, a]×[-(k2r+f0), k2r+f0]×[-m(λ+μ r),m(λ+μ r)]上一致連續(xù),故由式(8)得:

ω0(QX)≤(k1+pk2)ω0(X)

(9)

由式(9)知算子Q相對于測度ω0在球Br上滿足Darbo條件.再由條件(C5)知算子Q相對于測度ω0在球Br上是嚴(yán)格集壓縮的. 故應(yīng)用引理1.1 知算子Q在球Br中至少有一個解. 因此, 方程 (3)在球Br中至少有一個解.

注: 在方程(3)中, 若 φ(t)=t, x=g+F(t, f, h)=fh 即為方程(1).若在方程(3)中α(t)=t,φ(t)=t,f(t, x(β(t))=x(t), x=g+F(t, f, h)=g+F(t, h, x) 即為方程(2) . 再由引言中(H1)和(H2)知, 存在k1, p, q∈R+使得我們的條件(C2)和(C4)成立, 故(C2)和(C4)是較文獻(xiàn)[5]中(H1)和(H2)更弱的Lipschitz條件. 故定理 2.1 推廣了文 [4,5] 的結(jié)果.

3 例子

考慮非線性泛函積分方程

(10)

若記

(11)

則方程(10)為方程(3)的特例. 下面驗證方程 (10)滿足定理2.1的條件.

首先,由式(11)知

|g(t,x)-g(t, y)|≤k1|x-y|，f(t, x) - f(t, y)|≤k2|x-y|,

|u(t,s, x)|≤λ+μ|x|,

最后, 由定理 2.1 知積分方程 (10) 至少有一個解 x∈C[0, 1].

[1]K.Deimling. Nonlinear Functional Analysis[M]. Berlin: Springer-Verlag, 1985.

[2]M.A.Abdou. On the solution of linear and nonlinear integral equation[J]. Appl.Math.Comput., 2003, 146(2):857-871.

[3]J.Banas, B.Rzepka. On local attractivity and asymptotic stability of solutions of a quadratic Volterra integral equation[J]. Appl.Math.Comput., 2009, 213(1):102-111.

[4]K.Maleknejad, K.Nouri, R.Mollapourasl. Investigation on the existence of solutions for some nonlinear functional integral equations[J]. Nonlinear Anal., 2009, 71(12): e1575-e1578.

[5]K.Maleknejad, K.Nouri, R.Mollapourasl. Existence of solutions for some nonlinear integral equations[J]. Commun.Nonlinear.Sci.Numer.Simulat., 2009, 14(6): 2559-2564.

[6]D.Guo, V.Lakshmikantham, X.Z.Liu. Nonlinear Integral Equations in Abstract Spaces[M]. Kluwer Academic Pub., 1996.

[7]J.Banas, K.Goebel. Measures of Noncompactness in Banach Spaces[M]. New York, Basel:Marcel Dekker, 1980.

Existence of Solutions For a Class of Nonlinear Functional Integral Equations

ZHANG Feng

(Department of Elementary Education, Heze University, Heze Shandong 274015, PRC China)

By using measure of noncompactness and Darbo fixed point theorem, we prove the existence of solutions for a class of more general nonlinear functional integral equations under weaker condition. The result presented in this paper generalizes several ones obtained previously.

nonlinear functional integral equation; measure of noncompactness; Darbo fixed point theorem; existence

1673-2103(2016)05-0024-04

2016-04-20

張峰(1985-)，男，山東曹縣人，助教，碩士，研究方向：非線性分析及應(yīng)用.

O175.5

A