超可解群的一些新判別準則*

張 麗

(中國科技大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽合肥 230026)

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超可解群的一些新判別準則*

張 麗

(中國科技大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽合肥 230026)

結(jié)合有限群G的所有-極大子群的交集Int(G)，定義了*-擬正規(guī)子群.有限群G的一個子群H稱為*-擬正規(guī)的，如果存在G的一個擬正規(guī)子群T，使得HT在G中是S-擬正規(guī)的，且(H∩T)HG/HG≤Φ(H/HG)Int(G/HG).利用*-擬正規(guī)子群研究有限群的結(jié)構(gòu)，得到了超可解群的一些新判別準則.

有限群；*-極大子群；*-擬正規(guī)子群；超可解群

引言

本文所提到的群均為有限群.G表示一個群，π(G)是|G|的所有素因子構(gòu)成的集合，且是所有超可解群組成的群類.文中未提到的符號和術(shù)語可參看文獻[2, 3, 5].

群G的一個子群H稱為擬正規(guī)的(特別地，S-擬正規(guī)的)，如果H與G的任一子群P(特別地，Sylow-子群)置換，即HP=PH.另外，子群X稱為在G中是-極大的(見[2, Chapter III, Definition 3.1])，如果滿足

(1)X∈，

(2)若X≤V≤G且V∈，則X=V.

(1)若A≤G，且A∈，則AN∈；

(2)若T≤G，且T/N∈，則T∈.

定義1 令H是群G的一個子群，稱H在G中是*-擬正規(guī)的，如果存在G的一個擬正規(guī)子群T，使得HT在G中是S-擬正規(guī)的，且

文獻[9]中定義了SΦ-嵌入子群：G的子群H稱為SΦ-嵌入的，如果存在G的一個正規(guī)子群T，使得HT在G中是S-擬正規(guī)的，且

(H∩T)HG/HG≤Φ(H/HG).

例：令p和q是滿足q|(p-1)的素數(shù). 令A(yù)=QCp， 其中Cp是一個p階群，而Q是一個被Cp忠實作用的單FqCp-模.設(shè)G=PA，其中P是一個被A忠實作用的單FpA-模. 由[3, Chapter 1, Example 6.2]知，Int(G)=P，且Intp(G)=1.注意到Z). 則Z(G)=1，且|P|>p.設(shè)H是P的一個極大子群，取G的子群P，可知H是*-擬正規(guī)的.然而H既不是s-嵌入的，也不是SΦ-嵌入的. 如若不然，存在G的一個正規(guī)子群T，使得HT在G中是S-擬正規(guī)的，且H∩T=1. 但這是不可能的，因為G的任一非平凡正規(guī)子群包含P，進而包含H.

文章的主要結(jié)果如下：

定理1 設(shè)E是G的一個正規(guī)子群，且滿足G/E是超可解的.對每個素因子p∈π(E)和E的每個非循環(huán)Sylowp-子群P，假設(shè)P的所有極大子群或者所有階為p或4(若P是一個非交換2-群)的循環(huán)子群在G中是*-擬正規(guī)的. 則G是超可解的.

1 預(yù)備知識

引理1.1[3]令H和E是G的子群，且N正規(guī)于G.

(1) 如果H在G中是擬正規(guī)的，那么

HG/HG≤Z∞(G/HG).

(2) 如果H在G中是擬正規(guī)的(S-擬正規(guī))，那么H∩E在E中是擬正規(guī)的(S-擬正規(guī))，且HN/N在G/N中是擬正規(guī)的(S-擬正規(guī)).

(3) 設(shè)H是一個p-群. 則H在G中是擬正規(guī)的，當且僅當Op(G)≤NG(H).

(4)G的S-擬正規(guī)子群在G中是次正規(guī)的，且G的所有S-擬正規(guī)子群組成一個格.

引理1.2[8]令H和E是G的子群，且N正規(guī)于G.

證明： 設(shè)T是G的一個擬正規(guī)子群，使得HT在G中是S-擬正規(guī)的，且

由引理1.1(2)知，T∩K和H(T∩K)=HT∩K分別是K的擬正規(guī)子群和S-擬正規(guī)子群. 且由引理1.2(1)知，

(H∩T∩K)HG/HG≤

因為HG≤HK，所以根據(jù)引理1.2(1)和[2,ChapterA,Theorem9.2]得

由引理1.1(2)知，TN/N和HN/H·TN/N=HTN/N分別是G/N的擬正規(guī)子群和S-擬正規(guī)子群.

若N≤H，則H∩TN=(H∩T)N.

設(shè)(|N|, |H|)=1. 于是

(|HN∩T: H∩T|, |HN∩T: N∩T|)=

(|N∩HT|, |H∩NT|)=1，

所以由[2,ChapterA,Lemma1.6]知：

HN∩T=(H∩T)(N∩T)，

進而HN∩TN=(H∩T)N. 注意到

(H∩T)(HN)G/(HN)G≌

((H∩T)HG/HG)·((HN)G/HG)/((HN)G/HG).

從而根據(jù)引理1.2(1)和[2,ChapterA,Theorem9.2]知：

(H∩T)(HN)G/(HN)G≤

引理1.5[5]設(shè)P是G的一個Sylowp-子群，且N正規(guī)于G，若P∩N≤Φ(P)，則N是p-冪零的.

2 定理1的證明

為證明定理1，首先證明以下兩個性質(zhì).

性質(zhì)1 設(shè)P是G的一個Sylowp-子群，其中p∈π(G)，且滿足(|G|, p-1)=1.

假設(shè)：(a)P的所有極大子群在G中是*-擬正規(guī)的，或者(b)P的所有階為p或4(若P是一個非交換2-群)的循環(huán)子群在G中是*-擬正規(guī)的.則G是p-冪零的.

證明: 假設(shè)結(jié)論不成立，且G是一個極小階反例. 易知|P|>p.

(a)的證明：

(a1)令N是G的一個極小正規(guī)子群. 則G/N是p-冪零的，從而N是G的唯一極小正規(guī)子群，且Op'(G)=1.

基于無人船的水文監(jiān)測應(yīng)用技術(shù)，主要包括無人船自主航線規(guī)劃及精準控制、多傳感器集成與信息融合以及遠程通信與實時多模控制。筆者在無人船上搭載了水質(zhì)監(jiān)測終端設(shè)計，經(jīng)過NB-IoT 基站、無線網(wǎng)絡(luò)與水質(zhì)監(jiān)測站構(gòu)建成智能化河涌水域治理系統(tǒng)。該系統(tǒng)提高數(shù)據(jù)采集精度與傳播準確度，實現(xiàn)了水域治理智能化。本文所研究的智能化河涌水域治理系統(tǒng)，由智能水質(zhì)數(shù)據(jù)監(jiān)測終端、水質(zhì)監(jiān)測中心和NB-IoT 物聯(lián)網(wǎng)通信平臺組成，如圖1。無人船端集成所需要采集數(shù)據(jù)類型的智能傳感器。監(jiān)測中心基于云計算平臺的服務(wù)器，進行數(shù)據(jù)收發(fā)、數(shù)據(jù)挖掘與分析等服務(wù)。監(jiān)測云計算平臺，通過物聯(lián)網(wǎng)無線路由器與網(wǎng)關(guān)與無人船終端進行數(shù)據(jù)收發(fā)[1]。

令P1/N是PN/N的一個極大子群. 記P0=P1∩P，則P0是P的一個極大子群. 由假設(shè)知，存在G的一個擬正規(guī)子群T，使得P0T在G中是S-擬正規(guī)的，且

(P0∩T)(P0)G/(P0)G≤

由引理1.1(2)知TN/N和P0TN/N分別是G/N的擬正規(guī)子群和S-擬正規(guī)子群. 因為P0∩N是N的一個Sylowp-子群，且

|P0T∩N: T∩N|=|P0T∩N: P0∩T|

是p的方冪，所以P0T∩N=(T∩N)(P0∩N)，進而P1∩TN=(P0∩T)N (見[2,ChapterA,Lemma1.2]).

類似于引理1.3可證P1/N是*-擬正規(guī)的. 這說明G/N滿足假設(shè)條件. 故由G的選取知G/N是p-冪零的. 從而(a1)成立.

假設(shè)N≤Op(G). 因為(a1)表明Φ(G)=1，所以存在G的一個極大子群M.滿足G=NM. 則P=N(P∩M).令P1是P的一個包含P∩M的極大子群. 顯然(P1)G=1. 由假設(shè)知，存在G的一個擬正規(guī)子群T，使得P1T在G中是S-擬正規(guī)的，且P1∩T≤Φ(P1). 其中T滿足1

綜上，總有N≤Z(G). 結(jié)合(a1)知，G是p-冪零的，矛盾. 則(a2)是成立的.

(a3) 最后矛盾.

設(shè)P1是P的任一極大子群. 由上知，存在G的一個擬正規(guī)子群T使得P1T在G中是S-擬正規(guī)的，且P1∩T≤Φ(P1). 類似于(a2)知，1

假設(shè)P1= P1T∩P，即P∩T≤P1， 則

P∩N≤P1∩T≤Φ(P1)≤Φ(P).

由引理1.5知N是p-冪零的, 這與(a1)和(a2)矛盾. 因此P≤P1T. 由引理1.3知，P1T滿足假設(shè)條件.

若P1T

上述說明對P的任一極大子群P1，存在G的一個擬正規(guī)子群T，使得G=P1T且P1∩T≤Φ(P1).因為G=POp(G)，1

設(shè)K是G的一個擬正規(guī)子群，滿足G=P*K且P*∩K≤Φ(P*).注意到Op(G)≤K. 于是，

P∩Op(G)≤P*∩K≤Φ(P*)≤Φ(P).

而引理1.5說明Op(G)是p-冪零的，這與(a1)和(a2)矛盾. 結(jié)論至此得到證明.

(b)的證明：

(b1)G=PQ，其中P=G且Q是G的一個循環(huán)Sylowq-子群，這里q≠p；

(b2) P/Φ(P)是一個非循環(huán)的G-主因子；

(b3) P的方次數(shù)是p或4 (當P是一個非交換2-群).

令x∈PΦ(P). 由(b3)知L= 是一個p階或4階循環(huán)子群，且LG≤Φ(P). 如若不然，(b2)表明P=LGΦ(P)，即P=L是循環(huán)的, 這又與(b2)矛盾. 由假設(shè)知, 存在G的一個擬正規(guī)子群T，使得LT在G中是S-擬正規(guī)的，且

根據(jù)引理1.1(4)知，(P∩T)Φ(P)/Φ(P)在G/Φ(P)中是S-擬正規(guī)的. 則由引理1.1(3)知，(P∩T)Φ(P)/Φ(P)正規(guī)于G/Φ(P)，且(b2)表明(P∩T)Φ(P)=Φ(P)或P.

首先設(shè)P∩Φ(P)≤Φ(P). 則

LΦ(P)/Φ(P)=P/Φ(P)∩LTΦ(P)/Φ(P)，

在G/Φ(P)中是S-擬正規(guī)的. 故由(b2)和引理1.1(3)知LΦ(P)/Φ(P)正規(guī)于G/Φ(P). 此時P=LΦ(P)=L，矛盾.

其次，設(shè)(P∩T)Φ(P)=P，即P≤T. 則

(b)由此得證.

性質(zhì)2 設(shè)P是G的一個正規(guī)p-子群.

假設(shè)(a)P的所有極大子群在G中是*-擬正規(guī)的，或者(b)P的所有階為p或4(若P是一個非交換2-群)的循環(huán)子群在G中是*-擬正規(guī)的. 那么P≤Int(G).

證明：假設(shè)結(jié)論不成立.且(G, P)是使得|G|+|P|最小的反例. 顯然，|P|>p，且G不是超可解的.通過下列步驟給出證明.

先證明G/P是超可解的.

(a)的證明.

(α) P≤T；

(β) P∩TG=1；

(γ) P∩TG=1且P≤TG.

若(β)成立，則P∩T=1且P1=P∩P1T在G中是S-擬正規(guī)的. 而P1的選取和引理1.1(3)表明P1正規(guī)于G，矛盾.

(b)的證明.

取x∈PΦ(P)使得H=正規(guī)G的某個Sylowp-子群. 由(iii)知H是一個p階或4階循環(huán)子群.易知HG≤Φ(P). 由假設(shè)知，存在G的一個擬正規(guī)子群T，使得HT在G中是S-擬正規(guī)的，且

考慮到(ii)，證明可分成三種情形，分別是：

(α) P≤T；

(β) P∩TG≤Φ(P)；

(γ) P≤TG且P∩TG≤Φ(P).

若(β)成立，則由引理1.1(4)知，HΦ(P)/Φ(P)=PΦ(P)∩HTΦ(P)/Φ(P)，在G/Φ(P)中是S-擬正規(guī)的. 又由引理1.1(3)和H的選取知，HΦ(P)/Φ(P)正規(guī)于G/Φ(P). 于是P/Φ(P)=HΦ(P)/Φ(P)是循環(huán)的，矛盾.

現(xiàn)設(shè)(γ)成立. 則由引理1.1(1)知

PTG/TG≤Z∞(G/TG)，

PTG/Φ(P)TG≤Z∞(G/Φ(P)TG).

注意到PTG/Φ(P)TG≌P/Φ(P). 故P/Φ(P)≤Z∞(G/Φ(P)). 這表明G/Φ(P)是超可解的. 同時G也是超可解的，矛盾.

結(jié)論至此得到證明.

定理1的證明：

[1]X.Chen,W.Guo,A.N.Skiba,Ongeneralized-hypercentralsubgroupsofafinitegroup[J],J.Algebra, 2015, 442: 190-201.

[2]K. Doerk, T. Hawkes, Finite Soluble Groups [M], Walter de Gruyter, Berlin-New York, 1992.

[3]W. Guo, Structure Theory for Canonical Classes of Finite Groups [M], Springer, 2015.

[5]B. Huppert, Endliche Gruppen I [M], Springer-Verlag, Berlin-New York, 1967.

[9]L. Zhang, W. Guo, L. Huo, On SΦ-embedded subgroups of finite groups [J]. Труды Института математики и механики УрО РАН, 2016, 22(1): 310-318.

Some criteria for supersolvability of finte groups

ZHANG Li

(School of Mathematics, University of Science and Technology of China, Hefei Anhui 230026, China)

LetGbe a finite group. This paper defines the*-quansinormal subgroups ofGby Int(G), which is the intersection of all*-maximal subgroups ofG. A subgroupHofGis called*-quasinormal inGif there exists a quasinormal subgroupTofGsuch thatHTisS-quasinormal inGand (H∩T)HG/HG≤Φ(H/HG)Int(G/HG).Here we study the structure of finite groups by using*-quansinormal subgroups and obtain some new criteria for supersolvability of finite groups.

finite groups；*-maximal subgroup；*-quansinormal subgroup； supersolvability

1673-2103(2016)05-0006-05

2016-06-20

張麗(1991-)，女，安徽阜陽人，在讀博士，研究方向:有限群論.

O152

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