關(guān)于一類推廣的Jacobi恒等式的證明*

宋旭霞

(呼倫貝爾學(xué)院數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古海拉爾 021008)

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關(guān)于一類推廣的Jacobi恒等式的證明*

宋旭霞

(呼倫貝爾學(xué)院數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古海拉爾 021008)

本文通過對(duì)已有Jacobi恒等式結(jié)果的研究，推廣得出具有不同階余子式所滿足的一類推廣的Jacobi恒等式并給出了系統(tǒng)的證明.

推廣；Jacobi恒等式；證明

Jacobi恒等式在研究可積系統(tǒng)的精確解的過程當(dāng)中至關(guān)重要，它是運(yùn)用Hirota雙線性方法研究孤子方程結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ).一直以來(lái)，行列式理論作為矩陣?yán)碚摰囊粋€(gè)分支發(fā)展非常迅速，關(guān)于Jacobi恒等式及其衍生公式的研究已經(jīng)得到了比較系統(tǒng)的結(jié)果，但Jacobi恒等式中所出現(xiàn)的余子式都是同階的.我們發(fā)現(xiàn)在解決Toda方程的解的問題當(dāng)中，會(huì)出現(xiàn)一類特殊的Hankel行列式，而相關(guān)性質(zhì)的討論中需要涉及包含階數(shù)不同的余子式的行列式的結(jié)構(gòu)，為此，本文針對(duì)此類問題，研究Jacobi恒等式的推廣形式.

1 Jacobi恒等式

定理1[1～2]：對(duì)于任意的n階行列式|A|n的代數(shù)余子式滿足關(guān)系式：

2 Jacobi恒等式的推廣

Jacobi行列式恒等式中所出現(xiàn)的余子式都是同階的，如果出現(xiàn)異階余子式我們可以推廣得到下列性質(zhì)：

C、作為1)式的特殊情況，令(i,j,p)=(r,n,r)，代入1)式得

=0

通過文中定理2和定理3的推導(dǎo)，我們得到了推廣后的Jacobi恒等式的形式，解決了一類階數(shù)不同的代數(shù)余子式所滿足的性質(zhì).它比Jacobi恒等式本身的應(yīng)用空間更為廣泛，不僅對(duì)于研究特殊的Hankel行列式的相關(guān)性質(zhì)有所幫助，更為重要的是可以用它來(lái)解決Matsukidaira-Satsuma方程、Toda方程等一系列物理方程的求解問題[3～5]，在可積系統(tǒng)的研究過程中具有一定的應(yīng)用價(jià)值.

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On Proof of a Class of Generalized Jacobi Identities

SONG Xu-xia

(School of Mathematics and Statistics, Hulunbeier University, Hailar Inner Mongolia 021008, China)

In this paper, through the study of the existing Jacobi identity, we can get a kind of generalized Jacobi identity which is satisfied by different order and the system is proved.

generalization; Jacobi identity; prove

1673-2103(2016)05-0001-05

2016-08-21

內(nèi)蒙古自治區(qū)高等學(xué)?？茖W(xué)研究項(xiàng)目(NJZY250);國(guó)家自然科學(xué)基金 (11461024); 呼倫貝爾學(xué)院重點(diǎn)教學(xué)研究項(xiàng)目(ZDKT-026)

宋旭霞(1978-)，女,山東招遠(yuǎn)人，碩士，副教授.研究方向：微分方程、數(shù)學(xué)物理.

O151.22

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