高階中立型非線性時滯動力方程的振動性與漸近性質(zhì)

韓 忠 月

(德州學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 山東 德州 253023)

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高階中立型非線性時滯動力方程的振動性與漸近性質(zhì)

韓 忠 月*

(德州學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 山東 德州 253023)

利用中值定理和變換，研究時標(biāo)上具有分布時滯的帶有擾動項的高階中立型非線性時滯動力方程，獲得了動力方程的無界解以及有界解振動的充分條件，放寬了對方程本身的約束條件，推廣和改進(jìn)了一些已知結(jié)果，完善了高階動力方程的振動理論．

振動定理; 高階中立型非線性時滯動力方程; 擾動; 時標(biāo)

討論具有分布時滯的帶有擾動項的中立型非線性時滯動力方程:

(xα(t)+a(t)x(τ(t)))Δn+

g(t)，t∈[t0，∞)Τ.

(1)

本文約定方程(1)滿足: m，n是正整數(shù)，R+=(0，∞)，sup Τ=∞，[0，∞)Τ=[0，∞)∩Τ．

(H1)g∈Crd(Τ，R)，α≥1是正奇整數(shù)之商．

(H2)a∈Crd(Τ，R+)，且0<δ0≤a(t)≤ε0<1，t∈Τ，ε0，δ0是固定常數(shù)．

(H4)δ∈Crd(Τ×[c，d]，Τ)，t≤δ(t，c)≤ δ(t，ξ)，(t，ξ)∈Τ×[c，d]．

近幾年來關(guān)于時標(biāo)上動力方程定性理論的研究成果越來越多，關(guān)于時標(biāo)上的非線性中立型動力方程的振動理論，也有諸多結(jié)果，但這些結(jié)果中多是討論二階或三階動力方程的振動與漸近性質(zhì)，僅列舉近期發(fā)表的幾篇文獻(xiàn)[1-3].對于高階動力方程定性理論的研究結(jié)果較少.近期Basak Karpuz[4]研究了動力方程

(x(t)+A(t)x(α(t)))Δn+B(t)F(x(β(t)))=φ(t)

的振動性. 2010年陳[5]研究了下列動力方程的振動與漸近性質(zhì)．

(a(t)φ(x(t))[|y(t)|α-1y(t)]γ)Δ+

λF(t，x(δ(t)))=0，

其中y(t)=(x(t)+p(t)x(τ(t)))Δn-1.2013年Lynn Erbe[6]等研究了偶數(shù)階動力方程

xΔn(t)+q(t)|x(φ(t))|α-1x(φ(t))=g(t)

的振動與漸近性質(zhì).2012年Raziye M[7]研究了高階動力方程

(xα(t)+p(t)x(τ(t)))Δn+

本文總是限定所討論的方程(1)的解x(t)滿足:對任何t*≥tx，有sup{|x(t)|:t≥t*}>0.如果x(t)既不是方程的最終正解，又不是方程的最終負(fù)解，則稱x(t)為方程(1)的振動解.如果方程(1)所有解都是振動的，則稱方程(1)是振動的．

本文針對兩種情況對方程(1)的振動性進(jìn)行探討：

1 主要定理及其證明

本文約定x(t)為方程(1)的非振動解，定義z(t)=xα(t)+a(t)x(τ(t))，y(t)=z(t)-h(t)，其中g(shù)(t)=hΔn(t)，μi為與αi，i=1，…,m,對應(yīng)的滿足文[9]引理1的一組非負(fù)實(shí)數(shù)．

證明不失一般性，無妨設(shè)x(t)為方程(1)的最終無界正解，當(dāng)x(t)為方程(1)最終無界負(fù)解時可類似證明，略.結(jié)合條件(H3)和(H4)，一定存在t1≥t0及Τ的無界子集T1，使x(t)>1，x(δ(t，ξ))>1，x(τ(t))>1，t∈[t1，∞)Τ1，ξ∈[c，d].由假設(shè)條件可得h(t)，a(t)有界，結(jié)合(H3)，無論h(t)振動與否，皆存在t2≥t1及Τ1的無界子集Τ2，使得

a(t)x(τ(t))-h(t)>0，t∈[t2，∞)Τ2，

為方便假設(shè)Τ1=Τ2=Τ，進(jìn)而當(dāng)t∈[t2，∞)Τ，有y(t)>x(t)>0， 以及

(2)

由文[8]定理5，存在充分大t3≥t2及整數(shù)l，滿足n+l為奇數(shù)，使得yΔi(t)>0，i=1，…，l-1;(-1)l+iyΔi(t)>0，i=l，…，n-1，t∈[t3，∞)Τ．因?yàn)閥(t)無界，結(jié)合上式一定有yΔ(t)>0，t∈[t3，∞)Τ.從而存在t4≥t3，當(dāng)t∈[t4，∞)Τ時，結(jié)合條件τ(t)≤t，則有

y(t)(ε0-a(t))=A(t)y(t)．

引理1證畢．

定理1設(shè)(H1)-(H5)成立， τ(t)≤t.若σ(t)=at+b，a≥1，b≥0， 且

t∈[t0，∞)Τ，i=1，2，…，m;

(σ(η)，θ)(Q(η)-1)ΔηΔθ=∞，1≤l≤n-1，

yΔl(t)=Ll+

(3)

yΔl-1(t)-yΔl-1(t2)≥

(4)

運(yùn)用條件(H4)，(H5)及引理1，對式(4)進(jìn)一步化簡整理可得:

(5)

Q(η)y(δ(η，c)).

(6)

y(δ(η，c)).

(7)

將式(6)，(7)代入式(5)，并應(yīng)用文[6]的引理2.2和引理2.3可得

yΔl-1(t)-yΔl-1(t2)≥

(σ(η)，θ)(Q(η)-1)ΔηΔθ.

(8)

據(jù)文[8]定理5，并結(jié)合中值定理，可得

yΔl-1(t)-yΔl-1(t2)≤

yΔl(t2)(t-t2)，t∈[t2，∞)Τ.

(9)

聯(lián)立式(8)與式(9)，則有

(σ(η)，θ)(Q(η)-1)ΔηΔθ．

結(jié)合條件(H7)，上式是不成立的.定理1證畢．

適當(dāng)加強(qiáng)對擾動項的控制，即將定理1中擾動函數(shù)h(t)由有界加強(qiáng)為趨于零，則可得到方程(1)有界解振動的充分條件，此時可以放寬對時標(biāo)的要求，使得方程(1)所涵蓋的范圍更加寬泛．

結(jié)合條件(H8)與最終有界矛盾. 證畢．

對定理2的證明過程做進(jìn)一步分析，可以得到如下推論:

定理3的證明與定理2的證明類似，只需做部分調(diào)整即可，略．

方程(1)改寫為:

(10)

假設(shè)

其中λ0為任一正常數(shù)．

由條件(H9)及方程(10)，顯然方程(1)不存在最終正解， 因此我們只需考慮方程(1)存在最終負(fù)解的情況．

故可放寬方程(1)若干限制，有如下結(jié)論．

同理可證

ξ)MαiΔξ<-λ0， t∈[t*，∞)Τ，

2 實(shí)例

例1考慮文[6]所討論方程，即考慮方程

4e2πx(t+2π)=sint,t∈R.

(11)

顯然，方程(11)有無界振動解x(t)=etsin t．

例2考慮方程

(12)

可驗(yàn)證方程(12)滿足定理4條件，據(jù)定理4，方程(12)有界解是振動的.事實(shí)上方程(12)有解x(t)=sin t.

例3考慮方程

g(t)，t∈Z.

(13)

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Oscillation and asymptotic behavior for higher-order nonlinear neutral delay dynamic equations

HAN Zhongyue

(College of Mathematical Sciences, Dezhou University, Dezhou, Shandong 253023)

Higher-order nonlinear neutral delay dynamic equations with disturbance terms on time scales are studied by using the mean value theorem and transformation. The sufficient conditions for oscillations of both bounded and unbounded solutions for dynamic equations are obtained. These results generate and expand the result given in the literature, improving the oscillation theorem of higher-order dynamic equations.

oscillation theorem; higher-order nonlinear neutral delay dynamic equation; disturbance; time scale

2016-01-07.

山東省自然科學(xué)基金項目(ZR2013AM002)；山東省自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金項目(ZR2013AQ005).

1000-1190(2016)04-0496-05

O175.12

A

*E-mail: hanzy699@163.com.