逼近三次B樣條導(dǎo)矢曲線的四次Hermite插值樣條

郭　嘯， 韓旭里， 黃　琳

(1. 中南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 長沙410083；2. 長沙師范學(xué)院，湖南 長沙 410083)

逼近三次B樣條導(dǎo)矢曲線的四次Hermite插值樣條

郭嘯1, 2， 韓旭里1， 黃琳2

(1. 中南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 長沙410083；2. 長沙師范學(xué)院，湖南 長沙 410083)

給出了形狀可調(diào)的四次Hermite插值樣條曲線的構(gòu)造方法。四次樣條曲線可提供額外的自由度用于調(diào)整曲線具有合理形狀。利用導(dǎo)矢逼近使得四次Hermite樣條曲線具有與三次B樣條曲線相似的形狀。通過最小化曲線間的導(dǎo)矢誤差給出了確定自由度的方法，提出了四次Hermite插值樣條曲線的構(gòu)造方法。該方法增加了自由度控制曲線形狀能更好滿足保形要求。最后以實(shí)例對構(gòu)造的四次Hermite樣條曲線和標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite插值樣條曲線進(jìn)行了比較。

Hermite插值樣條；保形插值；形狀可調(diào)

參數(shù)曲線的保形插值是計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)中的重要研究內(nèi)容。Hermite樣條插值方法是構(gòu)造保形曲線的重要方法之一[1]。關(guān)于Hermite插值曲線的構(gòu)造方法，誤差估計(jì)，形狀保持以及插值應(yīng)用已有較多研究成果[2-8]。利用Hermite插值方法，可對給定有序控制點(diǎn)Pi( i=0,1,…,n)及對應(yīng)點(diǎn)的k階導(dǎo)矢，構(gòu)造出2k+1次的Hermite插值曲線，該曲線經(jīng)過所有控制點(diǎn)且具有Ck連續(xù)性。當(dāng)確定一階導(dǎo)矢后可構(gòu)造出最簡單的三次Hermite插值曲線。但在某些情況下的三次Hermite插值曲線存在扭曲現(xiàn)象，對某些數(shù)據(jù)點(diǎn)集構(gòu)造出的插值曲線存在重點(diǎn)，尖點(diǎn)或折疊的情況[9]。三次Hermite插值曲線沒有額外自由度用以調(diào)整曲線形狀，存在較大的應(yīng)用局限性。提高插值階次可以改善Hermite曲線的平滑性[10]，同時能增加自由度使曲線曲面具有更好的形狀[11-12]。

本文提出一個構(gòu)造可調(diào)整的C1連續(xù)四次Hermite樣條插值方法。由于三次B樣條曲線具有較好的幾何特性[1,13]，在構(gòu)造四次Hermite插值曲線時，應(yīng)盡量接近三次B樣條曲線形狀。樣條曲線的導(dǎo)矢反映了曲線的形狀，因此本文通過設(shè)置導(dǎo)矢逼近的目標(biāo)函數(shù)來確定自由度，給出了構(gòu)造四次Hermite樣條曲線的插值方法。最后通過實(shí)例，將構(gòu)造的四次Hermite樣條曲線和標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite樣條曲線的形狀進(jìn)行比較。

1　三次B樣條曲線表示

其中，

三次B樣條曲線對控制多邊形有很好的保形特性，其性質(zhì)為：①凸包性；②幾何不變性；③變差縮減性；④ui節(jié)點(diǎn)處二階連續(xù)可微。

2　四次Hermite樣條插值曲線的構(gòu)造

或令導(dǎo)矢等于三次B樣條曲線在節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)矢：

2.1四次Herm ite樣條插值曲線定義

在控制點(diǎn)Pi, Pi+ 1之間可構(gòu)造一段三次 Hermite曲線，使得S(t)滿足插值條件：且，由此所構(gòu)造的在u∈[a, b]上C1連續(xù)的曲線S(u)稱為標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite樣條曲線。其是分段三次多項(xiàng)式，在每個小區(qū)間上的定義為：

將常用的標(biāo)準(zhǔn)三次Herm ite樣條插值曲線升階后可得到四次Hermite多項(xiàng)式：

本文采用新方法，對四次Hermite樣條曲線引入用于調(diào)節(jié)形狀的自由度參數(shù)，通過參數(shù)的不同取值實(shí)現(xiàn)曲線形狀的調(diào)整。對任意u∈[ui, ui+1]，設(shè)，令Qi表示新增的自由度參數(shù)，將可調(diào)整的四次Hermite樣條插值曲線定義為：

2.2形狀參數(shù)的確定

由控制點(diǎn)Pi-1,Pi, Pi+1,Pi + 2所得到u∈[ ui+2, ui + 3]上的三次 B樣條參數(shù)曲線Ci+2( t )具有良好的形狀特性且相當(dāng)逼近控制多邊形的形狀[14]，因此，希望選取合適的Qi值，能使控制點(diǎn) Pi, Pi+ 1之間構(gòu)造的四次Hermite樣條插值參數(shù)曲線Si( t)形狀盡量接近三次B樣條曲線Ci+2( t )。兩條曲線形狀的接近程度可由曲線間一階導(dǎo)矢曲線的距離：

或者二階導(dǎo)矢曲線的距離定義：

比較式(6)和式(7)可知，對任意的控制點(diǎn)及節(jié)點(diǎn)向量，都有，。以下分別按這兩種情況確定形狀參數(shù)來構(gòu)造四次Hermite樣條插值曲線。

(1) 一階導(dǎo)矢距離最小。為了使曲線Si( t)是Ci+2( t )形狀的最佳近似，將優(yōu)化目標(biāo)定義為二者一階導(dǎo)矢曲線間的距離最小，即尋找Qi使得最小，等價于求。由函數(shù)求極值的必要條件有：

下面討論如何求解式(10)。整理式(1)可得：

其中，

而

將式(11)～(15)代入式(10)整理得：

其中，

化簡式(16)后求解得到：

由于

式(17)可進(jìn)一步整理化簡為：

(2) 二階導(dǎo)矢距離最小。通過最小化曲線間的二階導(dǎo)矢距離來保證Si(t)在形狀上近似Ci+2( t )，則需要尋找合適的Qi值使得最小。利用函數(shù)求極值的必要條件有：

需求解式(19)，將式(11)升階后得：

直接計(jì)算可得：

其中，

整理化簡式(25)有：

3　應(yīng)用實(shí)例

表1中給出了例1～ 4的控制頂點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)向量，實(shí)例中采用式(3)計(jì)算節(jié)點(diǎn)導(dǎo)矢。

根據(jù)例1中的數(shù)據(jù)，構(gòu)造了逼近三次B樣條曲線一階導(dǎo)矢的四次Hermite樣條插值曲線如圖1點(diǎn)劃線所示，逼近三次B樣條曲線二階導(dǎo)矢的四次Hermite樣條插值曲線如圖1細(xì)點(diǎn)曲線所示。將這兩條四次Hermite插值曲線與圖1實(shí)線所示的三次B樣條曲線對比，從圖形結(jié)果來看，逼近一階導(dǎo)矢的四次Hermite插值曲線在峰值附近上升時變化率較緩，曲線下降后波動幅度較小，形狀上更接近三次B樣條所建議的形狀。

在例2、3中，應(yīng)用本文的新方法構(gòu)造了逼近三次B樣條曲線一階導(dǎo)矢的四次Hermite樣條插值曲線(見圖2(b)與圖3(b)中的實(shí)線曲線)。通過與標(biāo)準(zhǔn)的三次Herm ite樣條曲線(見圖2(a)與圖3(a)中的虛線曲線)進(jìn)行對比，在例2中構(gòu)造的四次Herm ite樣條曲線波動處幅度較小，例3中四次Hermite樣條曲線整體上更接近插值數(shù)據(jù)點(diǎn)所形成的控制多邊形。

例4中的控制點(diǎn)P2, P3, P4, P5用于構(gòu)造閉合的四次Hermite插值曲線，可令 P1處的切矢T1與 P5處的切矢T5相等以保證閉合曲線的C1連續(xù)性。利用逼近三次B樣條一階導(dǎo)矢來構(gòu)造的曲線如圖4所示。從實(shí)例的細(xì)節(jié)效果來看，新方法構(gòu)造的插值曲線對三次Hermite樣條曲線的折疊程度有所改善。

表1　例1～4控制點(diǎn)及節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)

圖1　數(shù)據(jù)點(diǎn)的樣條插值曲線

圖2　數(shù)據(jù)點(diǎn)的樣條插值曲線

圖3　數(shù)據(jù)點(diǎn)的樣條插值曲線

圖4　數(shù)據(jù)點(diǎn)的樣條插值曲線

4　結(jié)　論

本文以四次多項(xiàng)式為基函數(shù)構(gòu)造的1C連續(xù)Hermite樣條插值曲線，即具有三次樣條曲線結(jié)構(gòu)簡單易于計(jì)算的優(yōu)點(diǎn)，又提供了額外的自由度用以調(diào)整曲線曲面的形狀。由于三次B樣條幾何性質(zhì)好，且形狀上接近插值數(shù)據(jù)點(diǎn)形成的控制多邊形，因此本文利用逼近三次B樣條導(dǎo)矢曲線來優(yōu)化自由度參數(shù)，給出了構(gòu)造可調(diào)整的四次Hermite樣條插值曲線的顯式表達(dá)式。實(shí)例表明，新方法生成的四次Hermite樣條曲線比標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite樣條曲線更接近插值數(shù)據(jù)點(diǎn)所建議的形狀。

[1] Ahlberg J H, Nilson E N, Walsh J L. The theory of splines and their applications [M]. New York: Academic Press, 1967: 1.

[2] Han X L. A degree by degree recursive construction of Hermite spline interpolants [J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2009, 225(225): 113-123.

[3] Zhu Y P, Han X L, Han J, et al. Quartic trigonometric Bézier curves and shape preserving interpolation curves [J]. Journal of Computational Information Systems, 2012, 8(2): 905-914.

[4] Mühlbach G. One sided Hermite interpolation by piecew ise different generalized polynomials [J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2005, 196(1): 285-298.

[5] Agarwal R P, Wong P J Y. Error inequalities in polynomial interpolation and their applications [M]. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2012: 217-280.

[6] Kong J H, Jeong S P, Lee S, et al. C1 Hermite interpolation with simple planar PH curves by speed reparametrization [J]. Computer Aided Geometric Design, 2008, 25(4): 214-229.

[7] Goodman T N T, Shape preserving interpolation by curves [C]//Algorithms for Approximation IV. Huddersfield: The University of Huddersfield Press, 2002: 24-35.

[8] 樊敏, 康寶生. 一類Hermite型矢量插值C1細(xì)分曲線的幾何特征生成[J]. 工程圖學(xué)學(xué)報, 2006, 27(3): 79-83.

[9] Yong J H, Cheng F H. Geometric Hermite curves with minimum strain energy [J]. Computer Aided Geometric Design, 2004, 21(3): 281-301.

[10] H?llig K, Koch J. Geometric Hermite interpolation with maximal order and smoothness [J]. Computer Aided Geometric Design, 1996, 13(8): 681-695.

[11] 張彩明, 汪嘉業(yè). 可調(diào)整C2四次Bézier插值曲線的構(gòu)造[J]. 計(jì)算機(jī)學(xué)報, 2005, 27(12): 1665-1671.

[12] 張彩明, 汪嘉業(yè). C2連續(xù)的四次樣條曲面插值[J]. 中國科學(xué): E輯, 2003, 33(2): 116-126.

[13] Zhang L, Yang Y, Li Y Y, et al. One fairing method of cubic B-spline curves based on weighted progressive iterative approximation [J]. Computer Aided Drafting Design and Manufacturing, 2014, 25(1): 36-41.

[14] 蘇步青, 劉鼎元. 計(jì)算幾何[M]. 上海: 上海科學(xué)技術(shù)出版社, 1981: 100-140.

Quartic Herm ite Interpolation Sp line Determ ined by Approximating the Derivative of Cubic B-Sp line Curve

Guo Xiao1, 2,Han Xuli1,Huang Lin2

(1. School of Mathematics and Statistics, Central South University, Changsha Hunan 410083, China; 2. Changsha Normal University, Changsha Hunan 410083, China)

A method is developed to construct adjustable quartic Hermite interpolating spline curves. The extra degree of freedom can be used to adjust the quartic curve to a reasonable shape. The interpolation based on the approximation of derivatives is discussed to make quartic Hermite spline with similar shape feature of cubic B-spline. The degree freedom is determined by minimizing the proximity, which is defined by the squared difference of the derivatives of the curves. The shape of the proposed quartic spline can be adjusted to satisfy the shape-preserving requirement by changing the values of degree of freedom. Four numerical examples are presented to compare the proposed quartic Hermite spline with the standard cubic Herm ite spline.

Hermite interpolating spline; shape-preserving interpolation; shape adjustable

TP 391.72

10.11996/JG.j.2095-302X.2016020149

A

2095-302X(2016)02-0149-06

2015-09-24；定稿日期：2015-10-11

郭嘯(1982–)，女，湖南張家界人，講師，博士研究生。主要研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)。E-mail：guoxiao@csu.edu.cn

韓旭里(1957–)，男，湖南武岡人，教授，博士，博士生導(dǎo)師。主要研究方向?yàn)閿?shù)值逼近、計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)等。E-mail：xlhan@csu.edu.cn