利用二次曲面法建立山區(qū)局部范圍似大地水準(zhǔn)面的效果分析

陳棟棟，劉長(zhǎng)星

(1.咸陽(yáng)市勘察測(cè)繪院，陜西 咸陽(yáng) 712000； 2.西安科技大學(xué)，陜西 西安 710054)

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利用二次曲面法建立山區(qū)局部范圍似大地水準(zhǔn)面的效果分析

陳棟棟1*，劉長(zhǎng)星2

(1.咸陽(yáng)市勘察測(cè)繪院，陜西 咸陽(yáng) 712000； 2.西安科技大學(xué)，陜西 西安 710054)

研究了二次曲面法求取高程異常模型的方法，分析了二次曲面擬合GPS 高程的精度，并與水準(zhǔn)測(cè)量的高程進(jìn)行對(duì)比分析，建立了礦區(qū)的似大地水準(zhǔn)面模型，從而達(dá)到利用GPS 高程測(cè)量替代傳統(tǒng)低等級(jí)水準(zhǔn)測(cè)量的目的，為應(yīng)用二次曲面法擬合山區(qū)地形條件下GPS高程的理論提供了依據(jù)。

大地水準(zhǔn)面；二次曲面法；高程異常；GPS高程

1 引 言

應(yīng)用GPS衛(wèi)星定位技術(shù)建立測(cè)量控制網(wǎng)，具有精度高、速度快、費(fèi)用低等優(yōu)點(diǎn)，目前GPS衛(wèi)星定位正在取代傳統(tǒng)的三角測(cè)量，成為建立平面控制網(wǎng)的重要方法，已經(jīng)在測(cè)繪行業(yè)得到廣泛應(yīng)用[1]；但其高程測(cè)量成果卻未能得到充分的利用，尤其在丘陵和山區(qū)地形條件下，GPS高程測(cè)量的精度一直是困擾著廣大的測(cè)繪工作者。因此，本文以黃陵礦區(qū)地面控制網(wǎng)為例，研究在山區(qū)地形條件下，如何通過(guò)建立局部似大地水準(zhǔn)面的方法來(lái)提高GPS高程測(cè)量的精度。

2 二次曲面法擬合似大地水準(zhǔn)面原理

影響山區(qū)大地水準(zhǔn)面起伏變化的主要原因是地形的變化，地形質(zhì)量和巖石密度分布的不均勻，因此，要求出高精度的似大地水準(zhǔn)面模型，就必須考慮重力分布和地形起伏。由于在缺乏重力資料的前提下，又要滿足工程施工對(duì)高程控制的要求，我們采用GPS+幾何水準(zhǔn)的辦法來(lái)求取局部似大地水準(zhǔn)面模型。

大地水準(zhǔn)面擬合常用的方法有加權(quán)平均、平面擬合、二次曲面擬合、多面函數(shù)擬合和最小二乘推估等。目前應(yīng)用較廣的是平面擬合和二次曲面擬合，平面擬合適用于范圍較小的平坦或低丘地區(qū)，而本次建立模型針對(duì)的黃陵礦區(qū)屬于典型的低中山山區(qū)地形，故平面擬合不適合該地區(qū)似大地水準(zhǔn)面模型的建立。對(duì)于范圍稍大的地區(qū)應(yīng)把似大地水準(zhǔn)面看成是多項(xiàng)式曲面，當(dāng)測(cè)區(qū)起伏較大且重合點(diǎn)數(shù)較多時(shí)，可采用二次曲面擬合來(lái)逼近似大地水準(zhǔn)面[1]。

由GPS相對(duì)定位得到三維基線向量網(wǎng)，經(jīng)過(guò)三維無(wú)約束平差，可以確定高精度的GPS點(diǎn)間的大地高高差，如果網(wǎng)中有一個(gè)或多個(gè)點(diǎn)具有精確地WGS-84大地高程，則在GPS網(wǎng)平差后，可求得各GPS點(diǎn)的WGS-84大地高[2]。用H84表示大地高、Hr表示正常高、ζ表示高程異常。則三者之間的關(guān)系表達(dá)如下：

Hr=H84-ξ

(1)

由式(1)可以看出，要求出某點(diǎn)的正常高，需要知道該點(diǎn)的大地高和高程異常值，而大地高可以通過(guò)GPS靜態(tài)測(cè)量的辦法來(lái)獲取，我們需要做的就是設(shè)法求取該點(diǎn)的高程異常值。只要求得了高程異常值ζ的數(shù)學(xué)模型，就可以推導(dǎo)出正常高的數(shù)學(xué)模型。

二次曲面方程為：

F(x，y)=a0+a1x+a2y+a3x2+a4y2+a5xy

(2)

其中，F(xiàn)(x，y)代表某點(diǎn)的高程異常值，x、y為該點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)，a0～a5為擬合方程的系數(shù)[2]。

假設(shè)采用n個(gè)點(diǎn)來(lái)參與模型的擬合，則根據(jù)式(2)，可列出誤差方程如下：

(3)

在方程(3)中，令：

(4)

(5)

(6)

(7)

表示成矩陣運(yùn)算，則有：

V=BA-L

(8)

根據(jù)最小二乘原理[2]，有：

VTPV=min

(9)

(10)

將式(10)代入式(8)，得到式(8)的解為：

A=(BTPB)-1BTPL=(BTB)-1BTL

(11)

求得a0～a5后，即可根據(jù)點(diǎn)位的平面坐標(biāo)利用式(2)計(jì)算出該點(diǎn)的高程異常ζ，再結(jié)合靜態(tài)GPS觀測(cè)所求得的大地高，利用式(1)即可計(jì)算出該點(diǎn)的正常高。

3 似大地水準(zhǔn)面模型的建立

陜西陜煤黃陵礦業(yè)有限公司黃陵一號(hào)煤礦位于陜西省延安市黃陵縣店頭鎮(zhèn)，海拔約為 1 180 m～ 1 490 m左右。礦區(qū)內(nèi)山巒起伏、溝壑縱橫、地形復(fù)雜，屬侵蝕構(gòu)造地貌，為典型的低中山山區(qū)地形。

圖1 礦區(qū)內(nèi)GPS控制點(diǎn)分布圖

為滿足該礦區(qū)生產(chǎn)建設(shè)的需要，現(xiàn)要在該礦區(qū)約 100 km2的范圍內(nèi)均勻布設(shè)20個(gè)E級(jí)GPS測(cè)點(diǎn)，具體GPS點(diǎn)位布設(shè)情況如圖1所示，采用中海達(dá)靜態(tài)GPS接收機(jī)觀測(cè)，內(nèi)業(yè)數(shù)據(jù)處理采用中海達(dá)隨機(jī)數(shù)據(jù)處理軟件進(jìn)行，并使用天寶DS03數(shù)字水準(zhǔn)儀對(duì)所有測(cè)點(diǎn)施測(cè)三等水準(zhǔn)，數(shù)據(jù)的外業(yè)采集和內(nèi)業(yè)處理均滿足相關(guān)規(guī)范要求。經(jīng)內(nèi)業(yè)數(shù)據(jù)處理，計(jì)算出所有控制點(diǎn)的WGS-84大地高、正常高和高程異常，具體數(shù)據(jù)如表1所示。

GPS控制點(diǎn)大地高、正常高和高程異常 表1

利用二次曲面擬合的方法，在礦區(qū)范圍內(nèi)選取9個(gè)點(diǎn)(CJL、CJP、D01、D02、D03、D04、E11、E12、GP01)進(jìn)行二次曲面擬合，利用剩余的11個(gè)點(diǎn)(E01、E02、E03、E04、E05、E06、E07、E08、E09、E10、J009)作為檢核。求得黃陵礦區(qū)計(jì)算正常高的模型為：

Hr=H84-ξ

=H84+14237.44642-2.94655×10-2x+2.41012×10-3y-2.95603×10-9x2-1.10897×10-10y2+1.44314×10-9xy

(12)

利用式(12)計(jì)算出擬合點(diǎn)和檢核點(diǎn)的正常高，并求出大地高與正常高的差值如表2、表3所示。

參與模型擬合的擬合點(diǎn)的殘差 表2

通過(guò)表2可以得到，模型的內(nèi)符合精度為[1]：

式中：ε為參加擬合點(diǎn)的擬合殘差，n為擬合點(diǎn)個(gè)數(shù)。

檢核點(diǎn)的模型擬合正常高與實(shí)測(cè)正常高比較 表3

通過(guò)表3可以得到，模型的外符合精度為[1]：

式中：△為檢核點(diǎn)的擬合正常高與實(shí)測(cè)正常高之差，n為檢核點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

GPS高程擬合的差主要包括[4]：

①GPS測(cè)量大地高誤差

m1=±(10 mm+2 ppm×D)×2=±29.2 mm；

②儀器高量測(cè)誤差

m2≤±2.0 mm；

③三等水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)誤差

④模型擬合誤差

m內(nèi)=±14.7 mm。

其中，三等水準(zhǔn)每千米測(cè)量全中誤差Mw=6 mm，控制點(diǎn)平均距離D=2.3 km。

計(jì)算得出GPS高程擬合的誤差為：

4 結(jié) 論

在小范圍的山區(qū)GPS控制網(wǎng)建設(shè)中，采用二次曲面法建立局部似大地水準(zhǔn)面模型，將GPS大地高轉(zhuǎn)換為正常高，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)GPS高程的轉(zhuǎn)換，達(dá)到了圖根水準(zhǔn)測(cè)量的精度要求，可以滿足一般工程施工和各種比例尺地形測(cè)圖的要求，如果今后在該區(qū)域要進(jìn)行其他工程的GPS測(cè)量，則無(wú)需再進(jìn)行水準(zhǔn)測(cè)量，可以直接通過(guò)該似大地水準(zhǔn)面模型來(lái)求取測(cè)點(diǎn)的正常高，為工程的進(jìn)行提供了方便。如果在GPS大地高轉(zhuǎn)換為正常高時(shí)，能夠選用更多的已知點(diǎn)參與模型的擬合，并且點(diǎn)位分布比較均勻，那么該方法建立的似大地水準(zhǔn)面模型完全能夠達(dá)到圖根水準(zhǔn)的精度。

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Analysis of Effect on Building the Quasi-geoid of Local Area in Mountain by Quadratic Surface Fitting

Chen Dongdong1，Liu Changxing2

(1.Xianyang Institute of Prospecting and Mapping，Xianyang 712000，China；2.Xi’an University of Science and Technology，Xi’an 710054，China)

This paper describes how to gain gcycmx using quadratic surface fitting. And analyses the accuracy of GPS height of quadratic surface fitting and compare with geoid height.For the purpose of the use of GPS height to alternative the low-grade leveling by building geoid height model，provides a basis for the theory of quadratic surface fitting GPS height in mountainous terrain conditions.

geoid；quadratic surface fitting；abnormal height；GPS height

1672-8262(2016)05-96-03

P228.3

B

2016—03—09

陳棟棟(1988—)，男，碩士，國(guó)家注冊(cè)測(cè)繪師，主要從事測(cè)繪及生產(chǎn)技術(shù)管理工作。

劉長(zhǎng)星(1963—)，男，碩士，教授，國(guó)家注冊(cè)測(cè)繪師，主要從事測(cè)繪教學(xué)與科研工作。