多元函數(shù)極值和條件極值的判定方法

葛培運(yùn)

鶴壁職業(yè)技術(shù)學(xué)院 458030

多元函數(shù)極值和條件極值的判定方法

葛培運(yùn)

鶴壁職業(yè)技術(shù)學(xué)院 458030

多元函數(shù)極值和條件極值判定方法主要包括代入消元法、拉格朗日乘數(shù)法、幾何模型法、參數(shù)方程法、借助重要不等式法。將其應(yīng)用到研究活動(dòng)中，能化復(fù)雜為簡(jiǎn)單、拓展研究思維、提高研究效率。高等數(shù)學(xué)研究活動(dòng)中，應(yīng)該結(jié)合具體內(nèi)容合理選擇相應(yīng)的方法，促進(jìn)研究工作效率提升，為提升高等數(shù)學(xué)研究工作效率創(chuàng)造良好條件。

多元函數(shù)極值；條件極值；判定方法；代入消元法

一、引言

多元函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的重要組成內(nèi)容，為研究人員所普遍重視和關(guān)注。對(duì)很多研究人員來(lái)說(shuō)，該部分內(nèi)容的研究難度大，理解起來(lái)比較困難，也難以靈活應(yīng)用多種方法判定極值，制約研究人員的研究效率提升，甚至讓他們產(chǎn)生畏難情緒，降低研究的自信心，不利于調(diào)動(dòng)研究人員開展研究活動(dòng)的主動(dòng)性。為彌補(bǔ)這些缺陷與不足，應(yīng)該采取有效方法，加強(qiáng)相關(guān)研究工作，讓研究者正確判定極值，從而更為有效的融入研究活動(dòng)，提高研究效果和效率。文章探討分析多元函數(shù)極值和條件極值判定方法的意義，并提出具體的應(yīng)用對(duì)策，希望能為研究活動(dòng)開展和研究效率提升提供借鑒與啟示。

二、多元函數(shù)極值和條件極值判定方法的意義

多元函數(shù)極值和條件極值的內(nèi)容比較復(fù)雜，解題難度大。為有效實(shí)現(xiàn)解題的目的，促進(jìn)研究工作效率的提升，綜合采取有效的判定方法是必要的，其重要作用體現(xiàn)在以下方面。

（一）化復(fù)雜為簡(jiǎn)單。整個(gè)多元函數(shù)研究活動(dòng)中，極值和條件極值是關(guān)鍵內(nèi)容，同時(shí)又是比較難的內(nèi)容，很多研究者研究起來(lái)感到比較困難，存在畏難情緒，缺乏研究該部分內(nèi)容的自信心。為有效破解研究中遇到的這些困難，應(yīng)該結(jié)合具體內(nèi)容，加大輔導(dǎo)力度，讓研究者有效融入研究活動(dòng)，掌握正確的判斷方法。進(jìn)而將復(fù)雜的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單，有效融入研究活動(dòng)，深化對(duì)多元函數(shù)極值的了解，激發(fā)研究興趣，從而取得更好的研究效果。

（二）拓展研究思維。高等數(shù)學(xué)知識(shí)研究中，除了研究基本的理論知識(shí)外，還要善于把握正確的方法，能有效拓展思維，讓研究者更好投入研究活動(dòng)，激發(fā)研究興趣，促進(jìn)研究效果提升。多元函數(shù)極值和判定的研究過(guò)程中，由于自變量增加，加大解題難度，采用一般研究方法難以有效掌握相關(guān)內(nèi)容，也加大解題難度。在這樣的背景下，應(yīng)該加強(qiáng)指導(dǎo)，讓研究者掌握正確的極值判定方法，有效融入研究活動(dòng)之中，進(jìn)而破解困難，拓展研究人員的思維。例如，在整個(gè)研究過(guò)程中，對(duì)極值存在的必要或充分條件的理解、求極值方法存在的陷阱和解決方法、求穩(wěn)定點(diǎn)過(guò)程的繁瑣計(jì)算等內(nèi)容，都加大研究難度，導(dǎo)致一些研究人員難以把握正確的研究方向。也影響解題思路，難以拓展思維。在這樣的背景下，更應(yīng)該努力把握極值判定方法，拓展思維空間，掌握正確的方法，提高多元函數(shù)極值判定的研究效率。

（三）提高研究效率。通過(guò)對(duì)極值判定方法的研究，能拓展研究人員的思維，讓他們有效融入研究活動(dòng)。并根據(jù)多元函數(shù)的具體內(nèi)容，掌握正確的解題方法，迅速而快捷的解答疑惑，提高研究工作效率，起到事半功倍的效果，對(duì)高等數(shù)學(xué)研究的作用也是十分明顯的。

三、多元函數(shù)極值和條件極值判定方法的應(yīng)用

為更好判定極值，促進(jìn)研究效果和效率提升，結(jié)合高等數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容，在多元函數(shù)研究過(guò)程中，可以綜合采取以下有效方法。這些方法各有自己的特點(diǎn)和優(yōu)勢(shì)，整個(gè)研究過(guò)程中，應(yīng)該根據(jù)題目的具體內(nèi)容，靈活選擇相應(yīng)的方法，實(shí)現(xiàn)提高研究工作效果，提升研究效率的目的。

（一）代入消元法。該方法在多元函數(shù)極值判定中十分常見(jiàn)，具體研究過(guò)程中，能讓復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，使之轉(zhuǎn)化為普遍的求極值形式，方便問(wèn)題的解答，有利于促進(jìn)研究工作效果提升。使用前要考察約束條件的一階偏導(dǎo)數(shù)，選擇需要消去的變量，進(jìn)而把握正確的解題方法。還可以通過(guò)多元函數(shù)的隱函數(shù)存在定理，找到多元函數(shù)所需條件，從而正確應(yīng)用消元法解題，提高解題正確性。

例1：

求z=x2+y2在約束條件x2+y-1=0下的極值。

利用代入消元法求解，將x2=1-y代入z=x2+y2，得出z=1-y+y2，令z=-1+2y=0，得可能極值點(diǎn)，進(jìn)而求出極小值為3/4。

（二）拉格朗日乘數(shù)法。教材對(duì)該方法有相應(yīng)的介紹，研究人員在研究過(guò)程中，應(yīng)該注重深入理解，掌握該方法的應(yīng)用策略，從而順利求出多元函數(shù)極值，取得更好的研究效果。結(jié)合隱函數(shù)存在定理，應(yīng)用該方法判定極值的條件是，函數(shù)都連續(xù)，并且偏導(dǎo)數(shù)存在。這樣有利于把握正確的解題方法，讓研究人員更好融入研究活動(dòng)，有效判定函數(shù)極值。該方法應(yīng)用范圍廣，可以推廣到目標(biāo)函數(shù)為多元函數(shù)，條件為多個(gè)方程的情形。有利于提高解題效果，正確判定函數(shù)極值。

（三）幾何模型法。幾何模型法也是判定極值的重要方法，具體應(yīng)用中越來(lái)越受到重視和關(guān)注。借助多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用，得到多元函數(shù)條件極值的求解方法。從而正確解答， 滿足研究工作的需要，取得更好的效果，正確判定函數(shù)極值。

（四）參數(shù)方程法。由于每個(gè)方程的條件極值存在差異，并非每個(gè)條件極值都能轉(zhuǎn)化為無(wú)條件極值，為提高解題效果，可以采用參數(shù)方程法。從條件中解出單值函數(shù)相對(duì)容易，才能利用該方法轉(zhuǎn)換。如果能從條件中解出多值函數(shù)，效果更佳，實(shí)現(xiàn)順利判定極值的目的。

例2：

求z=x2+y2在約束條件下的最小值與最大值。

分析可以得知，函數(shù)在圓內(nèi)的可能極值點(diǎn)。令zx=0，zy=0，解得點(diǎn)（0,0），z（0,0）=0為函數(shù)的最小值。

（五）借助重要不等式法。例如，根據(jù)多元函數(shù)基本情況，借助柯西不等式、均值不等式。從而順利判定函數(shù)極值，方便解題，提高判定準(zhǔn)確性，提升研究效果。

四、結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，整個(gè)高等數(shù)學(xué)研究過(guò)程中，函數(shù)極值求法和判定是非常關(guān)鍵的內(nèi)容，對(duì)研究活動(dòng)開展和研究效率提升具有重要作用。應(yīng)該明確其重要作用，結(jié)合函數(shù)極值判定的具體內(nèi)容，采取有效的研究方法，推動(dòng)研究活動(dòng)順利進(jìn)行，提高解題效率，營(yíng)造輕松愉快的氛圍。作為研究人員，要善于總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，提高研究效率，注重對(duì)相關(guān)方法的研究。從而在解題中能熟練應(yīng)用方法判定極值，促進(jìn)研究效果和研究效率提升，為高等數(shù)學(xué)研究順利進(jìn)行創(chuàng)造良好條件。

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