“位置”的背后藏著什么？

馬建秀

“位置”是《數(shù)學》（人教版）五年級上冊第二單元的內(nèi)容。它是學生在學習了上、下、前、后、左、右和東、西、南、北等詞語描述物體方向的基礎上，進一步用數(shù)對確定物體的位置。這一內(nèi)容的學習，基于現(xiàn)實的需要，根據(jù)“行與列”這兩個因素來確定物體的位置，繼而學會用數(shù)對表示具體情境中物體的位置，在“讀懂”平面圖的基礎上用有序數(shù)對來刻畫二維空間中某點的位置。通過本課的學習，使學生從用生活經(jīng)驗描述位置（如“靠近講臺的為第一行”“靠近門的為第一列”）上升為用數(shù)學方法（即“數(shù)對”）確定位置，發(fā)展數(shù)學思考，培養(yǎng)空間觀念。

對學生而言，只要根據(jù)“數(shù)學規(guī)定”把現(xiàn)實空間位置轉(zhuǎn)化到平面圖上，再遵從“從左向右、從下向上”的原則，就能找到一個數(shù)對與一個物體一一對應，學生易于掌握，學習難度不高。因此，課堂上，常常聽到學生說“這個問題簡單、好做”。對于教師而言，簡單的知識背后需要挖掘什么數(shù)學內(nèi)涵呢？讓學生終生受用，是執(zhí)教者應該思考的。

在學習知識、掌握能力的同時，讓學生體會基本的數(shù)學思想，是《數(shù)學課程標準》（2011版）的目標要求。對于一些教師來說，知識是顯性的，背后的思想?yún)s是隱性的，霧里看花、水中望月，迷茫而無所適從。筆者在“位置”一課的設計中，試圖讓學生感受平面直角坐標系思想、數(shù)形結(jié)合思想、一一對應思想、結(jié)構(gòu)化思想、符號思想、函數(shù)思想、變中不變思想、抽象思想、模型思想……

下面談談如何從學習材料、問題思考、教學活動與習題設計四個方面，讓學生感悟這些數(shù)學思想。

一、平面直角坐標系思想

課前談話：同學們，說一說你們?nèi)ル娪霸嚎措娪皶r，是怎么找到自己的座位的？

【設計意圖】學生以前能利用第幾排第幾號這兩個信息在電影院找到自己的座位，通過教師的課前談話，他們已有的經(jīng)驗被喚醒，為本課做鋪墊。學生經(jīng)驗中的座位圖，就是直角坐標系的“雛形”。

問題思考：為什么具備“行”和“列”兩個條件，才能確定位置？

1.讓學生舉例說明。他們能夠說出確定了“行”，但不知道是這“行”中的哪一個，或者確定了“列”，不知道是這“列”中的第幾個，無法確定位置。

2.接著小黑板出示直角坐標系“半成品”：即只畫出幾列，沒有畫出行。讓學生到臺前從圖上找到自己的位置，他會數(shù)出自己坐第幾列，再數(shù)出第幾行，用直尺畫出行和列的交叉點。

3.追問：這一點，屬于“行”還是“列”？學生能夠發(fā)現(xiàn)只有交點才同時屬于“行”和“列”。

4.你發(fā)現(xiàn)了什么？學生通過畫圖，能夠發(fā)現(xiàn)只有滿足“行”和“列”兩個條件，才能確定唯一的一點，即一點對應一個數(shù)對。

【設計意圖】此環(huán)節(jié)旨在讓學生發(fā)現(xiàn)為什么同時具備“行”和“列”兩個條件才能確定唯一一點，通過畫圖，發(fā)現(xiàn)兩條直線相交于一點。這一點是建立在原點、方向、單位刻度唯一確定的基礎之上。直角坐標系的建立，它使幾何圖形可以用數(shù)或代數(shù)式表示出來，為學生今后學習“數(shù)與形”做一些鋪墊。

二、數(shù)形結(jié)合思想與一一對應思想

學習材料：平面座位圖

【設計意圖】將空間座位轉(zhuǎn)化為平面圖，是學生學習本課的難點。這需要遵從數(shù)學規(guī)定：以觀察者的角度，圖上按照從左向右的順序排列為列，從下向上的順序排列為行；空間位置從左向右為列，從前向后為行。這是發(fā)展學生空間觀念的極好載體。數(shù)對確定位置的本質(zhì)就是數(shù)與點的一一對應。包括空間方向與平面方向的一一對應，數(shù)與形的一一對應。只有將空間座位的形與數(shù)對應，即由形想數(shù)，才能用這個數(shù)對找到平面的唯一點（即由數(shù)想形）。數(shù)對就是這個轉(zhuǎn)換過程的橋梁紐帶。

習題設計：

1.（2，2）（2，4）這兩個數(shù)對有什么特點？你能想到它的圖形嗎？

2.（3，5） （6，5）呢？由此你發(fā)現(xiàn)了什么？

3.出示點子圖：

①圖上三個紅點連起來是什么圖形？

②如果要形成平行四邊形，需要把哪個黑點變成紅點。

③這個點的數(shù)對是什么？可以看作把哪個點平移幾個格形成？

【設計意圖】“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”。本題是感悟數(shù)形結(jié)合的很好載體。形幫數(shù)，數(shù)助形的同時，還能將平移知識融入，考查學生綜合運用知識的能力。

教學活動：

規(guī)則：老師請一個同學出來說數(shù)對，這個同學再找另一個同學到黑板的平面座位圖上把這個點找出來，然后對應空間座位那個同學站起來。站對的同學再出來說數(shù)對，重復活動。

【設計意圖】此活動需要學生帶著問題，思維在不同個體中形成連鎖反應，全班同學都能參與，可謂“以點帶面”。此活動學生在思中學，學中悟，熱鬧的背后，一一對應與數(shù)形結(jié)合思想潛移默化在他們心中。同時也感悟到有了一一對應的關(guān)系，就便于交流與溝通，就能使空間有結(jié)構(gòu)、有序，使我們的認知不混亂。

三、結(jié)構(gòu)化思想與符號思想

導入新課：老師要找一個同學回答問題，他在第4排的第3個，會是誰呢？

【設計意圖】學生會指出同時有四個同學符合條件。使他們感受到?jīng)]有規(guī)定目標是不確定的，生活是紊亂的，從而產(chǎn)生結(jié)構(gòu)化的必要性。

問題思考：老師要想從他們四個之中只選一個怎么辦？

【設計意圖】學生討論的結(jié)果是必須得有個人為規(guī)定：是從左向右還是從右向左。在認知沖突中，體會數(shù)學規(guī)定的必要性和合理性，讓學生經(jīng)歷了結(jié)構(gòu)化的過程。

學習材料：出示座位圖，在座位圖的下方和左側(cè)標出1、2、3……這樣就建立了坐標系的初步表象，再把數(shù)字連接成一條直線，就出現(xiàn)了數(shù)軸。

【設計意圖】原來的座位圖在直角坐標系中刻畫，其結(jié)構(gòu)清晰化。

問題思考：

1.如何簡潔地表示第3行的第2列？

請學生將自己的表示方法一一呈現(xiàn)在黑板上。并說出某些表示方法不合理的理由。

2.（3，2）（2，3）這兩種表示方法，有什么不同？

3.如何才能讓大家都看明白？

【設計意圖】讓學生經(jīng)歷再創(chuàng)造的過程，發(fā)展符號意識，使學生感受到數(shù)學語言的魅力，同時體會符號的簡潔性。同一個位置可以出現(xiàn)兩種記法，必須統(tǒng)一才便于溝通與交流，結(jié)構(gòu)化思想隨之產(chǎn)生。

四、函數(shù)思想

習題設計：在方格中描出（1，1）（2，2） （3，3）（4，4）（5，5）的位置。

【設計意圖】通過描點，使學生發(fā)現(xiàn)這些點在一條斜線上。

問題思考：

1.這些點有什么特點？學生看出行數(shù)和列數(shù)相同。

2.能連成什么圖形？通過動手操作，能連成一條直線。

3.你還能說出一個數(shù)對的點也是在這條斜線上較遠的位置嗎？

4.（x，x）表示什么意思？

【設計意圖】發(fā)展學生的空間想象力，為以后學習y=x的正比例函數(shù)做準備。

教學活動：

師：下課了，我想請同學們帶著今天的知識離開課堂，走出數(shù)學味。

1.（5，6）同學先走

2.（x，4）同學離開

3.（4，y）同學離開

4.（x，y）同學走

【設計意圖】學生帶著問題離開課堂，充滿了喜悅和好奇，覺得這樣的數(shù)學課很有趣。使在游戲活動中加深了對數(shù)學知識的鞏固，悄悄地滲透函數(shù)思想。

五、變中不變思想

問題思考：

1.如果我們班的黑板在窗戶這面，表示你位置的數(shù)對會不會改變？請嘗試寫出來。

2.你發(fā)現(xiàn)了什么？學生發(fā)現(xiàn)數(shù)對變了。

3.什么變了，什么沒變？大部分學生發(fā)現(xiàn)數(shù)對變了，位置沒變。

4.造成數(shù)對變的直接原因是什么？“行”和“列”變了。

5.由此你想說什么？

【設計意圖】使學生進一步感受確定行和列，要以觀察者角度考察，數(shù)對隨觀察者的角度改變而改變，不變的是位置，感受變中有不變的現(xiàn)象存在。

六、抽象思想

學習材料：空間座位——平面圖形——點子圖——直角坐標系——數(shù)對。

【設計意圖】學習材料的呈現(xiàn)是逐步的抽象，順應學生的認知特點，發(fā)展和體會抽象思想。

習題設計：把自己的位置用直尺在坐標系上畫出來。

【設計意圖】把學生站成一排成一列抽象成一條直線，再把兩隊交叉那個同學抽象成一個點。抽象思想是最上位的思想，貫穿于數(shù)學學習活動中，有了抽象才能把生活問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學問題，用數(shù)學的方法解決。

七、模型思想

問題思考：生活中還有哪里用數(shù)對確定位置？

學生可能會說出停車場、門牌號、電影院、操場站隊、儲物柜、課程表……

【設計意圖】這些生活中的問題，能夠運用數(shù)對這個數(shù)學模型來解決，就使生活問題數(shù)學化。建立模型思想，才能把生活問題運用數(shù)學模型解決，溝通數(shù)學與生活的關(guān)系。

新課程理念中，不僅要讓學生學會知識形成能力，更重要的是讓學生從中體會一些基本思想?！拔恢谩币徽n的設計，在顯性知識的背后，挖掘出諸多的數(shù)學思想，通過這一課例，或許能給數(shù)學教師指明一點方向：當學生把學過的知識及做過的習題遺忘后，只有數(shù)學思想才能沉淀下來，為學生的終生發(fā)展服務。人們都說：“一流的教師教思想，二流的教師教方法，三流的教師教知識”，成為一流教師應該是我們不懈的追求。