基于最優(yōu)模糊控制的懸臂梁振動(dòng)控制研究

楊宏斌

（榆林學(xué)院 陜西 榆林719000）

基于最優(yōu)模糊控制的懸臂梁振動(dòng)控制研究

楊宏斌

（榆林學(xué)院 陜西 榆林719000）

文中分析了懸臂梁的振動(dòng)情況，建立了懸臂梁的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)方程，設(shè)計(jì)了基于最優(yōu)模糊控制算法的懸臂梁振動(dòng)控制系統(tǒng)。系統(tǒng)將采集進(jìn)來的信號(hào)通過最優(yōu)控制理論計(jì)算得到理論輸出值，建立擁有最優(yōu)解的模糊控制規(guī)則，使得一個(gè)輸入得到一個(gè)最優(yōu)的控制輸出，從而產(chǎn)生相應(yīng)的抑制力來減弱梁的振動(dòng)。使用Matlab對(duì)振動(dòng)控制系統(tǒng)進(jìn)行了仿真，結(jié)果表明該算法能夠很好地抑制懸臂梁的振動(dòng)。

模糊控制；最優(yōu)控制；振動(dòng)控制；懸臂梁

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，各行各業(yè)的控制技術(shù)的不斷的更新，越來越多的控制理論日益成熟，如何將若干種控制理論相結(jié)合，得到取長補(bǔ)短的控制結(jié)果，所以，將多種控制理論相結(jié)合也是以后控制領(lǐng)域發(fā)展的一個(gè)重要組成部分。柔性懸臂梁作為常見力學(xué)結(jié)構(gòu)，廣泛的存在于生產(chǎn)、生活、科技、航天等多項(xiàng)領(lǐng)域中，而其振動(dòng)也是影響各種柔性梁正常工作的主要因素，就需要對(duì)懸臂梁的振動(dòng)進(jìn)行抑制和消除，因此，臂梁的振動(dòng)控制具有深遠(yuǎn)的研究意義。

1 柔性梁系統(tǒng)建模

柔性懸臂梁的彈性模量為E，密度為ρ，長度為L，寬度為bb，厚度為tb，梁的橫截面為A，則柔性懸臂梁的振動(dòng)微分方程：

式中：ω（x，t）梁的撓度；F（x，t）為梁的分布力矩；

將懸臂梁的撓度可以通過模態(tài)函數(shù)和坐標(biāo)來表示：

式中：Φi（x）={φ1（x），φ2（x），…，φn（x）}T；

將通過模態(tài)函數(shù)和坐標(biāo)表示的撓度帶入梁的振動(dòng)微分方程得：

則（3）式變?yōu)椋?/p>

經(jīng)數(shù)學(xué)方法處理，并加入結(jié)構(gòu)阻尼ξ對(duì)系統(tǒng)的影響，則得到系統(tǒng)的微分方程：

引入系統(tǒng)狀態(tài)量：

則（5）為：

2 最優(yōu)模糊控制

2.1 基本思想

模糊控制因?yàn)槠鋬?yōu)點(diǎn)在生產(chǎn)生活中廣泛應(yīng)用，從工程控制過程的角度出發(fā)，比較容易建立語言控制規(guī)則，其采用語言控制規(guī)則通過將操作人員或?qū)＜业南嚓P(guān)知識(shí)直觀轉(zhuǎn)換為控制策略，不需要精確的數(shù)學(xué)模型，因此設(shè)計(jì)簡單、易于接受和理解。又因其魯棒性強(qiáng)，使得系統(tǒng)對(duì)外界干擾和各種外界參數(shù)的變而致使控制效果變差的影響大大減小，模糊控制又根據(jù)有經(jīng)驗(yàn)的專家思想而建立，因此有一定的智能型，利于增強(qiáng)控制系統(tǒng)的適應(yīng)力。但是隨著控制規(guī)則的增加使控制精度不斷提升，也會(huì)使控制系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性會(huì)減弱；換言之減少控制規(guī)則的數(shù)量會(huì)提高系統(tǒng)的運(yùn)行速度，但控制精度又會(huì)下降，因此需要在控制精度和實(shí)時(shí)性之間進(jìn)行權(quán)衡。

線性二次型控制是最優(yōu)控制理論的一條分支，其主要研究系統(tǒng)在一定外界條件下尋求一個(gè)最優(yōu)的控制策略，使得性能指標(biāo)函數(shù)取得極致的問題。其本質(zhì)是對(duì)一個(gè)待定研究的被控對(duì)象或運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的控制結(jié)果的研究，使系統(tǒng)在要求的控制效果中從眾多允許的控制方案中找出一個(gè)最優(yōu)的控制方案，其性能指標(biāo)值為最優(yōu)。

對(duì)于同樣重視控制系統(tǒng)的控制精度和響應(yīng)速度的工程實(shí)踐來說，為了取得較合適的工程控制方法，提高系統(tǒng)的品質(zhì)和相應(yīng)速度。采用最優(yōu)控制和模糊控制相結(jié)合的理論進(jìn)行系統(tǒng)控制，兩種控制理論各取所長。通過傳感器采集系統(tǒng)的偏移平衡位置的振動(dòng)情況，將采集進(jìn)來的信號(hào)進(jìn)行量化分類，并通過最優(yōu)控制理論計(jì)算得到控制系統(tǒng)的最優(yōu)解，利用所測(cè)量的傳感信號(hào)與計(jì)算出來的最優(yōu)解建立模糊控制表，得到相應(yīng)的模糊控制規(guī)則，通過建立的模糊控制規(guī)則進(jìn)行控制，采集一個(gè)系統(tǒng)變量，通過模糊控制規(guī)則查找相應(yīng)的最優(yōu)控制量，這樣既能滿足系統(tǒng)的快速相應(yīng)需求，同時(shí)有具有了最優(yōu)控制精度的優(yōu)點(diǎn)。

圖1 最優(yōu)模糊控制簡圖

2.2 控制步驟

1）求解控制最優(yōu)解

壓電柔性懸臂梁的狀態(tài)空間方程為：

針對(duì)控制器所計(jì)算出的回饋信號(hào)對(duì)柔性懸臂梁振動(dòng)情況的影響，這里使用由控制向量和系統(tǒng)狀態(tài)向量共同構(gòu)成的二次型性能指標(biāo)函數(shù)，若取平衡位置為系統(tǒng)的穩(wěn)定零狀態(tài)，則線性二次型問題的目標(biāo)函數(shù)為：

其中Q和R分別為狀態(tài)變量和控輸入控制變量的加權(quán)矩陣。

針對(duì)柔性懸臂梁的狀態(tài)空間方程，確定一個(gè)最優(yōu)解：

通過建立如下漢密爾頓（Hamilton）函數(shù)求解關(guān)于u的J（u）求極小值：

由求解漢密爾頓方程H對(duì)u的導(dǎo)數(shù)所構(gòu)成的方程求出最優(yōu)控制信號(hào)：

求解出來的最優(yōu)控制信號(hào)記之為u*，則：

根據(jù)黎卡提微分方程求解矩陣P：

由（10）、（13）整理得出：

其中反饋增益矩陣G=R-1BTP

2）通過最優(yōu)控制解建立模糊控制規(guī)則表

結(jié)合最優(yōu)控制在允許控制范圍下得到的最優(yōu)解和模糊控制的快速相應(yīng)、魯棒性強(qiáng)等眾多控制優(yōu)點(diǎn)，建立擁有最優(yōu)解的模糊控制規(guī)則表。通過最優(yōu)控制規(guī)律求解得到最優(yōu)控制量建立響應(yīng)的模糊控制規(guī)則表：

表1 控制規(guī)則表

控制器首先通過由系統(tǒng)的輸入量在線計(jì)算環(huán)節(jié)得到的最優(yōu)解，所建立起擁有最優(yōu)解的模糊控制規(guī)則表，極大的輸入信號(hào)對(duì)應(yīng)一個(gè)極大的最優(yōu)控制量，極小輸入量對(duì)應(yīng)極小的最優(yōu)控制量，以此類推。隨后系統(tǒng)進(jìn)行離線控制環(huán)節(jié)，將采集進(jìn)來的輸入量通過模糊控制規(guī)則表得到擁有最優(yōu)解的控制輸出，將輸出信號(hào)作用到智能壓電材料上來抑制柔性梁的振動(dòng)，以實(shí)現(xiàn)對(duì)振動(dòng)進(jìn)行控制的目的。

3算 例

這里假設(shè)梁的尺寸為450×15×2 mm、密度為7×103 kg/m3。壓電自感知執(zhí)行器的尺寸為25×10×0.4 mm、密度1.78×103 kg/m3。根據(jù)驅(qū)動(dòng)器位置優(yōu)化理論，并通過柔性梁的振動(dòng)進(jìn)行仿真，得到將壓電傳感器和執(zhí)行器放置于柔性梁的根部對(duì)柔性梁的振動(dòng)消除效果較為明顯。通過計(jì)算，一階模態(tài)固有頻率為ω1=4.793 6 rad/s，假設(shè)結(jié)構(gòu)阻尼為ζ1=0.5，并對(duì)柔性梁的末端施加一個(gè)偏移量為2 mm的擾動(dòng)，使用最優(yōu)模糊控制規(guī)則對(duì)系統(tǒng)在MATLAB里進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖2和圖3所示。

Study on optimal fuzzy control in the cantilever vibration control

YANG Hong-bin
（Yulin University，Yulin 719000，China）

This paper analyzed the vibration of the cantilever，established the dynamic equations of a cantilever system，and designed the cantilever vibration control system based on fuzzy optimal control algorithm.The system calculated the collected signal into the output value by the theory of optimal control theory，and then the optimal solution fuzzy control rules were established by the output value.The system made the input into an optimal control output，resulting in a corresponding decrease vibration suppression force to the beam.Vibration control system using Matlab simulation results show that the algorithm can suppress vibration of the cantilever.

fuzzy control；optimal control；vibration control；cantilever beam

TN02

A

1674－6236（2016）18-0104-02

2015-08-29 稿件編號(hào)：201508162

陜西省教育廳專項(xiàng)科研計(jì)劃項(xiàng)目（15JK1860）

楊宏斌 （1987-）男，陜西華陰人，碩士研究生，講師。研究方向：智能結(jié)構(gòu)及動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)控制。