基于Biharmonic樣條插值的GPS高程擬合

陳向陽

(南通職業(yè)大學(xué)建筑工程學(xué)院，江蘇 南通 226007)

俞世煒

(中國礦業(yè)大學(xué)(北京) 地球科學(xué)與測繪工程學(xué)院，北京 100083)

趙國梁

(西安科技大學(xué)測繪科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710000)

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基于Biharmonic樣條插值的GPS高程擬合

陳向陽

(南通職業(yè)大學(xué)建筑工程學(xué)院，江蘇 南通 226007)

俞世煒

(中國礦業(yè)大學(xué)(北京) 地球科學(xué)與測繪工程學(xué)院，北京 100083)

趙國梁

(西安科技大學(xué)測繪科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710000)

介紹了GPS高程擬合原理和傳統(tǒng)GPS高程擬合模型，提出了基于Biharmonic樣條插值原理的GPS高程擬合模型。以實測GPS水準(zhǔn)網(wǎng)為算例，使用Biharmonic樣條插值擬合模型、多項式曲面擬合模型和加權(quán)平均插值擬合進(jìn)行擬合分析，分別從內(nèi)外精度上驗證Biharmonic模型在GPS高程擬合方面的可靠性和可行性，并將其分析結(jié)果與常用的擬合模型進(jìn)行比較，得出Biharmonic模型在GPS高程擬合中的可靠性。

GPS高程擬合；多項式曲面擬合；加權(quán)平均插值擬合；Biharmonic樣條插值；擬合模型

水準(zhǔn)測量是大地測量以及工程測量范圍內(nèi)不可缺少的一項任務(wù)，我國目前使用水準(zhǔn)儀器測得的高程都是正常高系統(tǒng)，與GPS觀測技術(shù)獲得的大地高系統(tǒng)不一致，所以大地高轉(zhuǎn)換為正常高系統(tǒng)是一個非常重要的任務(wù)[1]。目前，大地高轉(zhuǎn)換為正常高有很多方法，其中理論性、邏輯性最好的方法是在地球重力場模型中利用觀測到的高精度GPS數(shù)據(jù)、重力觀測數(shù)據(jù)和DTM數(shù)據(jù)精化區(qū)域似大地水準(zhǔn)面。但在小范圍內(nèi)，不具備重力資料情況下，GPS高程擬合模型仍然是一般單位進(jìn)行GPS高程轉(zhuǎn)換首選方案。

下面,筆者在傳統(tǒng)GPS高程擬合思想基礎(chǔ)上，應(yīng)用新的擬合模型來解決GPS高程與正常高的轉(zhuǎn)換,并提出基于Biharmonic樣條插值擬合模型。

1 高程數(shù)據(jù)擬合原理

圖1 不同高程系統(tǒng)之間的關(guān)系

在不同高程系統(tǒng)中，其水準(zhǔn)基準(zhǔn)面不同，導(dǎo)致在不同高程系統(tǒng)下的高程數(shù)據(jù)不能直接引用，所以需進(jìn)行高程數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)換。不同高程系統(tǒng)之間轉(zhuǎn)換關(guān)系[2]如圖1所示。

圖1中的高程關(guān)系可用式(1)表達(dá)：

Hr=H-ξ

(1)

式中，H表示大地；Hr表示正常高；ξ表示高程異常，代表似大地水準(zhǔn)面到橢球面距離。

通過式(1)可以得出，如果已知高程異常值ξ，就可實現(xiàn)GPS高程轉(zhuǎn)化為正常高。

目前,確定高程異常有多種方法,但生產(chǎn)實際中廣泛采用 GPS高程擬合法求解高程異常。其基本思想是在生產(chǎn)實踐中通過對 GPS控制點進(jìn)行水準(zhǔn)聯(lián)測，對聯(lián)測數(shù)據(jù)和觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)性分析求取出高程異常值，根據(jù)這些聯(lián)測點來解算整個測區(qū)的似大地水準(zhǔn)面，從而將GPS點的大地高轉(zhuǎn)換為正常高[3]。

2 基于Biharmonic樣條曲面插值原理

高程擬合根據(jù)原理不同主要分為2大類，即函數(shù)模型逼近和統(tǒng)計模型逼近。目前，常用函數(shù)模型有多項式擬合法、曲面內(nèi)插逼近法、多面函數(shù)法等；關(guān)于函數(shù)逼近模型有很多文獻(xiàn)做過論述[3～5]。統(tǒng)計模型常用方法有加權(quán)平均法、Kriging(克里格)逼近法以及擬合推估法(配置法)。筆者在后面數(shù)據(jù)處理部分會用常用傳統(tǒng)擬合模型和基于Biharmonic樣條插值GPS高程擬合作比較。

常見曲面插值技術(shù)主要有雙三次樣條插值和B樣條插值等，這些插值技術(shù)多有一定局限性，對數(shù)據(jù)要求較高，控制點要均勻分布于網(wǎng)格，模型分析計算量較大。而筆者提出的基于Biharmonic樣條曲面插值的方法，不僅整體平滑度好，而且局部性能也有較大的提升。還有一個原因就是基于Biharmonic樣條插值方法對控制點數(shù)量和分布要求不是很高[6]。用于GPS高程插值擬合時，可以方便地通過已知高程異常值來平滑插值出整個區(qū)域內(nèi)高程異常值。

Biharmonic樣條插值函數(shù)可以對散亂分布的2維數(shù)據(jù)進(jìn)行曲面插值。插值所產(chǎn)生的曲面是以各點對應(yīng)數(shù)據(jù)為中心的Green函數(shù)線性組合。該方法即可利用各點數(shù)值產(chǎn)生插值曲面，也可以斜率產(chǎn)生插值曲面。只要插值曲面滿足Biharmonic方程，所插值產(chǎn)生的曲面就具有最小曲率的特點。對于Biharmonic方程在不同維空間中的解即不同維的Green函數(shù)。

設(shè)m維度空間中有散亂分布的N個控制點pi(i=1～N)，對Biharmonic樣條的m維度插值問題可簡化為對方程組(2)的求解：

(2)

滿足式(2)的通解為：

(3)

系數(shù)aj滿足線性方程組(4)：

(4)

式中， φm(P)為m維Green函數(shù)。m維Green函數(shù)表達(dá)式如表1所示。

3 基于Biharmonic樣條插值原理的GPS高程擬合與算法實現(xiàn)

表1 m維度的Green函數(shù)

根據(jù)Bilharmonic樣條插值原理的GPS高程插值擬合算法可以對散亂分布數(shù)據(jù)點進(jìn)行插值擬合，這些數(shù)據(jù)點為控制點或稱之為樣本點(已知點)，而網(wǎng)格上的其他點稱為待插值點或者非控制點。這樣曲面插值原理理解為，在控制點已知的前提條件下，插值產(chǎn)生大量其他點處的值，用插值方法對曲面進(jìn)行擬合處理[7]?；贐ilharmonic曲面插值算法描述如下：

控制點之間距離的復(fù)矩陣D為：

D=X+iY

(5)

式中,X、Y分別為已知點坐標(biāo)列向量。

根據(jù)式(6)重新計算D：

D=D-DT

(6)

并將D矩陣對角線元素賦值為1。

插值權(quán)重向量W為：

W=G-1×ZT(Z為高程向量)

(7)

式(7)中G可按下式計算獲得：

G=D2×(log(D)-1)

(8)

并將G矩陣對角線元素賦值為0。

再根據(jù)m維Green函數(shù)求得GREEN矩陣：

GREEN=DE2×(log(DE)-1)

(9)

最后根據(jù)式(10)插值出非控制點高程異常值：

ξ=GREEN×W

(10)

4 數(shù)據(jù)分析

GPS高程擬合精度主要由擬合點密度、點位分布情況以及擬合模型選取決定[8]。筆者所使用數(shù)據(jù)是某地72個點E級GPS靜態(tài)觀測數(shù)據(jù)，并聯(lián)測了四等水準(zhǔn)測量，與真實的水準(zhǔn)高程數(shù)據(jù)進(jìn)行對比分析。

為了體現(xiàn)Biharmonic樣條模型的高精度性、高可靠性和普適性，試驗采用多組數(shù)據(jù)進(jìn)行對比分析，既可證明Biharmonic樣條模型本身具有較高的擬合效果，也可體現(xiàn)不同控制點數(shù)量情況下Biharmonic樣條模型依然具有很好的實用效果。筆者以以下2組試驗為例進(jìn)行分析。

4.1 多控制點擬合分析

試驗1中3種模型均選用相同的26個控制點進(jìn)行擬合計算，其余46個點作為檢核點；試驗點位分布如圖2所示。

圖2 點位分布

圖3～圖5分別是利用多項式曲面擬合、加權(quán)平均插值擬合和Bilharmonic樣條插值擬合這3種不同擬合模型得到的結(jié)果，圖6是Bilharmonic樣條插值擬合產(chǎn)生的殘差圖。

圖3 多項式曲面擬合結(jié)果

圖4 加權(quán)平均插值擬合結(jié)果

表2為部分檢核點殘差統(tǒng)計，表3為表2的統(tǒng)計分析。從表3可以得出，Bilharmonic樣條插值擬合能夠很好逼近真實值；多項式曲面擬合是基于最小二乘原理的曲面擬合，對于給定的擬合函數(shù)會產(chǎn)生一定的擬合曲面，所以擬合出的曲面不能很好的逼近真實值；加權(quán)平均插值擬合在控制點處的擬合點與真實值有較小偏差，總體擬合結(jié)果可行性和可靠性較好。Bilharmonic樣條插值擬合不僅可以實現(xiàn)在控制點處的擬合點與真實值保持一致，而且總體擬合結(jié)果能夠達(dá)到很好精度。

圖5 Bilharmonic樣條插值擬合結(jié)果

圖6 Bilharmonic樣條插值擬合殘差

點號殘差/m多項式曲面擬合加權(quán)平均插值擬合Bilharmonic樣條插值擬合BYI015-0011-00030007BYI016-0040-0001-0032BYI017-0025-0011-0009BYI018-000700040003BYI020000000050002BYI0400012-00030001BYI041-000300010008BYI04300190009-0001BYI045-000700080001BYI046-00010006-0006BYI049-00050007-0001BYI051-000100010010BYI052-0003-0005-0014BYI0530000-0006-0003BYI0550001-0005-0002BYI056-0005-0006-0003

表3 3種擬合模型的殘差統(tǒng)計

圖7是各擬合模型在檢核點處的殘差分布情況，從圖7中可以看出多項式曲面擬合(六參數(shù))在檢核點處出現(xiàn)了殘差的最大與最小，總體上也很不穩(wěn)定；而加權(quán)平均插值擬合(線性)較多項式曲面擬合(六參數(shù))而言穩(wěn)定性有所提高，但是在某些檢核點處依然殘差較大；Bilharmonic樣條插值擬合在各個檢核點處具有更高的穩(wěn)定性，沒有出現(xiàn)殘差的突變，較其他2種擬合方法更加有效。

圖7 各擬合模型在檢核點處的殘差

4.2 低密度控制點擬合分析

為了避免引入變量，更好的說明Bilharmonic樣條模型的優(yōu)越性，試驗2總體依然使用該地區(qū)的72個E級點進(jìn)行分析。3種模型均選用相同的13個控制點進(jìn)行擬合計算，其余的59個點的真實高程作為檢核。

3種模型在選用相同的13個控制點進(jìn)行擬合計算之后，將59個檢核點與實測值進(jìn)行對比，殘差統(tǒng)計如表4所示。從表4可以得出，Bilharmonic樣條插值擬合較另外2種模型具有較高的擬合精度。

表4 3種擬合模型的殘差統(tǒng)計

5 結(jié)語

GPS水準(zhǔn)模型在很大程度上決定擬合精度高低，采用不同模型，對于GPS水準(zhǔn)擬合情況產(chǎn)生不同影響，模型選取對GPS水準(zhǔn)擬合來說是關(guān)鍵問題[8，9]。筆者通過對比3種模型在GPS高程擬合中的精度，從結(jié)果可看出Bilharmonic插值擬合模型具有較好的適應(yīng)性和較高的精確度，在GPS高程擬合中用于工程實踐具有較高的可行性與可靠性。

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[編輯] 張濤

2016-05-27

國家自然科學(xué)基金項目(40572155)；江蘇高校品牌專業(yè)建設(shè)工程資助項目(PPZY2015B183)；江蘇省現(xiàn)代教育技術(shù)研究2015年度立項課題(2015-R-44740);2016年江蘇省大學(xué)生實踐創(chuàng)新訓(xùn)練計劃項目。

陳向陽(1975-)，男，碩士，講師，現(xiàn)主要從事測繪工程及數(shù)據(jù)處理方面的研究工作；E-mail：ntvccxy@126.com。

P228.4

A

1673-1409(2016)25-0001-07

[引著格式]陳向陽，俞世煒，趙國梁.基于Biharmonic樣條插值的GPS高程擬合[J].長江大學(xué)學(xué)報(自科版)，2016,13(25)：1～7.