平面三次PH過(guò)渡曲線的構(gòu)造

劉瑩瑩, 王旭輝

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230009)

?

平面三次PH過(guò)渡曲線的構(gòu)造

劉瑩瑩, 王旭輝

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230009)

文章采用三次PH曲線構(gòu)造兩圓之間的過(guò)渡曲線(兩圓不相互包含的情況)，該過(guò)渡曲線滿足G2連續(xù)條件。因?yàn)樵趦蓤A不相互包含的情況下,曲線兩端點(diǎn)處曲率同號(hào),所以能構(gòu)造出C型過(guò)渡曲線。在一定條件下,可以證明兩圓之間存在唯一的三次PH過(guò)渡曲線。此外,文章還給出了該過(guò)渡曲線的構(gòu)造算法,并通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了該方法的有效性。

三次PH曲線;G2連續(xù);過(guò)渡曲線;曲率

0 引 言

平面G2連續(xù)過(guò)渡曲線可用于2條曲線(如兩圓弧)間的光滑拼接。一般地,G2連續(xù)過(guò)渡曲線在端點(diǎn)處保持切向量平行且曲率相等。為了使得過(guò)渡曲線盡可能光滑,要求曲線內(nèi)部曲率盡可能單調(diào);若無(wú)法保證單調(diào),也要求曲線內(nèi)部有盡可能少的極值點(diǎn)。G2連續(xù)過(guò)渡曲線在工程設(shè)計(jì)中有廣泛的應(yīng)用,如公路或鐵路等工程和技術(shù)設(shè)計(jì)、機(jī)器人行動(dòng)路徑的規(guī)劃等。

為了保證過(guò)渡曲線的曲率盡可能單調(diào),文獻(xiàn)[1]利用clothoid曲線構(gòu)造了一種過(guò)渡曲線。雖然該過(guò)渡曲線曲率單調(diào),但因?yàn)樵撉€的表達(dá)式涉及到Frensel積分,所以該過(guò)渡曲線與傳統(tǒng)的CAD/CAM系統(tǒng)不兼容。文獻(xiàn)[2]提出運(yùn)用三次Bézier曲線構(gòu)造過(guò)渡曲線。一般地,Bézier曲線在計(jì)算中有很多局限性,如它的弧長(zhǎng)公式和等距曲線公式無(wú)法表示為有理形式或多項(xiàng)式形式。為了解決這些問(wèn)題,文獻(xiàn)[3-5]采用五次PH曲線構(gòu)造過(guò)渡曲線；文獻(xiàn)[6-8]提出三角Bézier-like曲線構(gòu)造過(guò)渡曲線；文獻(xiàn)[9]提出用三次PH曲線構(gòu)造兩曲率圓內(nèi)含情況下的過(guò)渡曲線,并給出這種情況下圓心距的取值范圍,取得了較好的結(jié)果。

本文給出兩圓不相互包含情況下的過(guò)渡曲線的構(gòu)造方法。通過(guò)對(duì)兩圓的半徑進(jìn)行限制,給出兩圓之間圓心距的范圍,可以得到兩圓之間存在唯一的三次PH過(guò)渡曲線。

1 問(wèn)題背景

給定平面參數(shù)曲線方程P(t)=(x(t),y(t)),該參數(shù)曲線的切向量P′(t)=(x′(t),y′(t)),曲線P(t)的曲率為：

(1)

其中

對(duì)于參數(shù)曲線,如果它的單位切向量連續(xù)變化且曲率也連續(xù)變化,那么稱該曲線二階幾何連續(xù),記為G2。如果該過(guò)渡曲線內(nèi)部曲率值是由負(fù)變到正或由正變到負(fù),那么該過(guò)渡曲線稱為兩圓弧間S型G2連續(xù)過(guò)渡曲線,如果該過(guò)渡曲線內(nèi)部曲率值不變號(hào),那么稱其為兩圓弧間C型G2連續(xù)過(guò)渡曲線。

1990年,Farouki和Sakkali在計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)中引入Pythagorean-hodograph平面曲線(簡(jiǎn)稱PH曲線)。PH曲線具有很好的性質(zhì),例如其弧長(zhǎng)可以用含參數(shù)的多項(xiàng)式精確表示。

定義1 對(duì)于多項(xiàng)式參數(shù)曲線P(t)=(x(t),y(t)),若存在多項(xiàng)式σ(t),使x′2(t)+y′2(t)=σ2(t)，則稱P(t)為PH曲線。

定義2 給定三次多項(xiàng)式Bézier曲線

(2)

(3)

對(duì)應(yīng)的u(t)、v(t)應(yīng)為一次多項(xiàng)式,令

(4)

根據(jù)三次PH曲線控制多邊形的幾何特征,此時(shí)的三次Bézier控制頂點(diǎn)可以表示為：

(5)

由(2)～(4)式,可得：

(6)

為方便計(jì)算,取控制多邊形的起點(diǎn)向量P0=(0, 0),控制多邊形的邊向量P1-P0=(1, 0),故

(7)

將(7)式代入(5)式,得v0=0。在這種情況下,(5)式和(6)式可改寫(xiě)為：

(8)

(9)

由(9)式可得κ(0)與κ(1)同號(hào)。故在兩圓不相互包含的情況下,三次PH過(guò)渡曲線為C型過(guò)渡曲線。

2 三次PH曲線構(gòu)造過(guò)渡曲線

設(shè)三次PH曲線的兩端點(diǎn)分別為P0和P3,P0的曲率圓心以及曲率半徑分別為C0和r0,P3的曲率圓心以及曲率半徑分別為C1和r1。若圓心距為r,則有|C1-C0|=r。

首先由G2連續(xù)可得：

(10)

假設(shè)r1>r0,若令：

(11)

(12)

將(11)式和(12)式代入(10)式,可得：

(13)

引理1(Kneser定理) Spiral上任何一點(diǎn)的曲率圓一定包含較小的曲率圓,并且一定被較大的曲率圓所包含[10]。

由引理1知,在兩圓不相互包含的情況下,構(gòu)造C型G2連續(xù)過(guò)渡曲線,不可能找到Spiral曲線,即這種過(guò)渡曲線不能保持曲率單調(diào),故曲率內(nèi)部必包含極值點(diǎn)。為了保證曲線盡可能光滑,本文要求曲線內(nèi)部有盡可能少的極值點(diǎn),并假設(shè)所構(gòu)造的C型過(guò)渡曲線曲率只存在一個(gè)極值點(diǎn)。

下面討論P(yáng)H過(guò)渡曲線的存在性。

定理1 當(dāng)兩圓不相互包含時(shí),即當(dāng)r>r1-r0時(shí),若

(14)

則(2)式定義的三次PH曲線為C型過(guò)渡曲線。

證明 三次PH曲線的曲率導(dǎo)數(shù)為：

(15)

其中

當(dāng)00,相應(yīng)地,f(0)f(1)<0,這時(shí)的三次PH曲線有盡可能少的曲率極值點(diǎn)。因此由三次PH曲線構(gòu)造的是C型G2連續(xù)過(guò)渡曲線。

(16)

且

(17)

其中

(18)

則滿足上述條件的三次PH過(guò)渡曲線是唯一的。

證明 設(shè)三次PH曲線的兩端點(diǎn)分別為P0和P3，P0的曲率圓心以及曲率半徑分別為C0和r0,P3的曲率圓心以及曲率半徑分別為C1和r1，三次PH曲線的坐標(biāo)系設(shè)定與端點(diǎn)曲率圓如圖1所示。若圓心距為r,則有|C1-C0|=r。

圖1 三次PH曲線的坐標(biāo)系設(shè)定與端點(diǎn)曲率圓

由圖1得:C0=(0,r0),C1=(x3-r1sin 2θ,y3+r1cos 2θ),則兩圓之間的圓心距向量為C1-C0=(x3-r1sin 2θ,y3+r1cos 2θ-r0)。

構(gòu)造關(guān)于θ的函數(shù)g(θ)=|C1-C0|2-r2。令q=cosθ,則0≤q<1。將r0=λ4r1帶入g(θ)得關(guān)于變量q的四次方程為:

(19)

由(19)式得:

且

因?yàn)?/p>

3 過(guò)渡曲線生成算法

過(guò)渡曲線生成算法步驟如下：

(1) 輸入要生成的過(guò)渡曲線初始端點(diǎn)P0,根據(jù)(11)式和(16)式的要求,輸入兩圓的半徑r0、r1以及λ的值。

(2) 根據(jù)(17)式和(18)式的要求,輸入兩圓的圓心距r,由(19)式解出q和θ的值。

(3) 將θ代入(13)式,求出u0、u1、v1的值。

(4) 將u0、u1、v1代入(8)式和(2)式,輸出相應(yīng)的三次PH C型過(guò)渡曲線。

4 數(shù)據(jù)實(shí)例

例1 給定起點(diǎn)P0=(0,0),選取r0=1,根據(jù)0.517 6<λ<1,本文選擇r1=1.5,這時(shí)P0的曲率圓為Ω0,并且圓心為(0,1),經(jīng)過(guò)一系列計(jì)算可知,要構(gòu)造的過(guò)渡曲線的端點(diǎn)曲率圓的圓心距的范圍為(r1-r0)

圖2 r1=1.5時(shí)的三次PH過(guò)渡曲線(實(shí)線部分)

圖3 曲率圖和曲率的導(dǎo)數(shù)圖

例2 給定起點(diǎn)P0=(0,0),選取r0=2,根據(jù)0.517 6<λ<1,本文選擇r1=2.469 1,這時(shí)P0的曲率圓為Ω0,并且圓心為(0,r0),經(jīng)過(guò)一系列計(jì)算可知,要構(gòu)造的過(guò)渡曲線的端點(diǎn)曲率圓的圓心距的范圍為:(r1-r0)

圖4 r1=2.469 1時(shí)的三次PH過(guò)渡曲線(實(shí)線部分)

5 結(jié) 論

本文基于次數(shù)較低的三次PH曲線,從其G2連續(xù)的代數(shù)角度來(lái)構(gòu)造兩圓不相互包含情況下的過(guò)渡曲線。因?yàn)榇螖?shù)較低,所以在方程求根時(shí),克服了傳統(tǒng)方法求近似解的缺點(diǎn),計(jì)算更加簡(jiǎn)便。此外,本文給出求兩圓不相互包含的情況下,生成PH過(guò)渡曲線的方法,證明了此種情況下只存在唯一的PH過(guò)渡曲線。

[1] MEEK D S,WALTON D J.The use of Cornu spirals in drawing planar curves of controlled curvature [J].Jounal of computational and Applied Mathematics,1989,25(1):69-78.

[2] WALTON D J,MEEK D S.A planar cubic Bézier spiral [J].Journal of Computational and Applied Mathematics,1996,72(1):85-100.

[3] WALTON D J,MEEK D S.G2curves composed of planar cubic and Pythagorean hodographs quintic spirals [J].Computer Aided Geometric Design,1998,15(6):547-566.

[4] HABIB Z,SAKAI M.G2Pythogorean hodograph quintic transition between circles with shape control [J].Computer Aided Geometric Design,2007,24(5):252-266.

[5] HABIB Z,SAKAI M.On PH quintic spirals joining two circles with one circle inside the other [J].Computer-Aided Design,2007,39(2):125-132.

[6] 劉華勇,張大明,李璐.基于參數(shù)連續(xù)HC Bézier-like曲線的過(guò)渡曲線的構(gòu)造[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2011,27(1):69-74.

[7] HAN X A,MA Y C,HUANG X L.The cubic trigonometric Bézier curve with two shape parameters [J].Appiled Mathematics Letters,2009,22(4):226-231.

[8] 劉華勇,段小娟,張大明,等.基于三次 Bézier-like的過(guò)渡曲線的構(gòu)造 [J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版),2013,40(1):42-46.

[9] 鄭志浩,汪國(guó)昭.三次PH曲線的曲率單調(diào)性與過(guò)渡曲線構(gòu)造 [J].計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)報(bào),2014,26(8):1003-9775.

[10] GUGGENHEIMER H W.Differential geometry[M].New York:McGraw-Hill,1963.

(責(zé)任編輯 朱曉臨)

Construction of planar cubic PH transition curve

LIU Yingying， WANG Xuhui

(School of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

Cubic PH curves were used to construct the transition curves between two circles where one circle is not included in the other one. The transition curves are G2continuous at the two endpoints. Under the assumption that one circle is not included in the other one, the curvature of the curve at the endpoints is positive or negative simultaneously. Thus, C-shaped transition curves can be constructed. Moreover, under some special conditions, the cubic PH transition curve is unique. An algorithm is also provided to generate the cubic PH transition curves. Finally, the effectiveness of the presented method is demonstrated by some numerical examples.

cubic PH curve; G2continuity; transition curve; curvature

2015-03-25；

2015-05-25

國(guó)家自然科學(xué)基金青年基金資助項(xiàng)目(11301131)

劉瑩瑩(1972-),女,安徽六安人,合肥工業(yè)大學(xué)碩士生;

王旭輝(1980-),男,安徽廬江人,博士,合肥工業(yè)大學(xué)副教授,碩士生導(dǎo)師.

10.3969/j.issn.1003-5060.2016.09.026

TP391

A

1003-5060(2016)09-1288-05