不等式恒成立解題策略

福建省沙縣一中 黃仍洪

不等式恒成立解題策略

福建省沙縣一中 黃仍洪

不等式 函數(shù) 高考

不等式恒成立是一類常見(jiàn)且重要的問(wèn)題，這類問(wèn)題因?yàn)榧群瑓?shù)又含變量，具有形式靈活、思維性強(qiáng)、不同知識(shí)交匯等特點(diǎn)，在解題時(shí)對(duì)問(wèn)題要有充分的認(rèn)識(shí)理解，否則若理解偏差，或?qū)?wèn)題的認(rèn)識(shí)有誤，都會(huì)導(dǎo)致解題錯(cuò)誤，造成不必要的失分，本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐就不等式恒成立的幾類問(wèn)題進(jìn)行舉例剖析，重點(diǎn)是分析它們的解題策略和注意事項(xiàng)與大家分享.

問(wèn)題一注意所研究不等式恒成立的類型

例1（1）已知關(guān)于x的不等式x2+ax+1〉0恒成立，求參數(shù)a的取值范圍.

（2）已知關(guān)于x的不等式ax2+ax+1〉0恒成立，求參數(shù)a的取值范圍.

分析：本例中的兩個(gè)小題都是一個(gè)關(guān)于x的不等式恒成立的問(wèn)題，稍不注意都易把它們當(dāng)成是關(guān)于x的一元二次不等式恒成立的問(wèn)題，實(shí)際上問(wèn)題（1）確實(shí)是一個(gè)關(guān)于x的一元二次不等式恒成立的問(wèn)題，所以結(jié)合二次函數(shù) f（x）=x2+ax+1的圖像，必須整個(gè)函數(shù)的圖像都在x軸的上方，從而只要Δ=a2-4〈0得到-2〈a〈2；

本例特別注意點(diǎn)是問(wèn)題（2）的易忽略a=0.

問(wèn)題二注意不等式恒成立轉(zhuǎn)化中符號(hào)的影響

例2（1）已知不等式x2+ax+1〉0對(duì)一切x∈（0，+∞）恒成立，求參數(shù)a的取值范圍.

（2）已知不等式x2+ax+1〉0對(duì)一切x∈（-2，2）恒成立，求參數(shù)a的取值范圍.

本例應(yīng)注意點(diǎn)是（2）在分離過(guò)程中自變量的取值對(duì)不等號(hào)方向的影響，也就是分離參數(shù)不等式轉(zhuǎn)化過(guò)程中注意不等號(hào)的方向是否改變問(wèn)題，若涉及符號(hào)變化，則應(yīng)進(jìn)行分類討論處理.

問(wèn)題三注意問(wèn)題轉(zhuǎn)化過(guò)程的含義和要求

例3（1）已知函數(shù)y=lg（2x2+mx+1)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

(2)已知函數(shù)y=lg（2x2+mx+1)的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析：本例中兩小題從題目表面來(lái)看區(qū)別不大，但實(shí)際上在轉(zhuǎn)化為恒等式的過(guò)程中還是存在很大的區(qū)別的.

問(wèn)題（1）是函數(shù)的定義域?yàn)镽，也就是不論x為何值，函數(shù)y=lg（2x2+mx+1)均有意義，所以不等式2x2+mx+1〉0恒成立，應(yīng)滿足Δ=m2-8〈0，得；而問(wèn)題（2）是值域?yàn)镽，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)，這時(shí)必須保證2x2+mx+1能得到所有的正數(shù)，所以結(jié)合二次函數(shù)的圖像知，滿足的關(guān)系是2x2+mx+1的最小值不大于0，于是有Δ=m2-8≥0得到或

問(wèn)題四注意全稱命題和特稱命題成立的區(qū)別

例4（1）命題“?x∈[-2，3]，m＜x2+2x+2”是真命題，求出m的取值范圍；

（2） 命題“?x∈[-2，3]，m＜x2+2x+2”是真命題，求出m的取值范圍；

分析：命題“?x∈[-2，3]，m＜x2+2x+2”是真命題即對(duì)一切[-2，3]上的實(shí)數(shù)x，不等式恒成立；形如“a≥f（x）”或“a≤f（x）”是不等式恒成立問(wèn)題中最基本的類型，其實(shí)質(zhì)是不等式恒成立中最常見(jiàn)的問(wèn)題“a≥f(x)在x∈D上恒成立，則a≥f（x）max（x∈D），a≤f（x）x∈D上恒成立，則a≤f（x）min（x∈D）”；因?yàn)閒(x)=x2+2x+2在[-2，3]的最小值為1，所以命題“?x∈[-2，3]，m＜x2+2x+2”是真命題，則m的取值范圍是m〈1.

命題“?x∈[-2，3]，m＜x2+2x+2”是真命題即在[-2，3]上存在實(shí)數(shù)x，使不等式成立；這是不等式成立中的另一類常見(jiàn)問(wèn)題，存在x∈D，a≥f(x)成立，則 a≥f（x）min（x∈D）；存在x∈D，a≤f（x）成立，則a≤f（x）max（x∈D）；f(x)=x2+2x+2在[-2，3]的最大值為17，所以命題“?x∈[-2，3]，m＜x2+2x+2”是真命題，m的取值范圍是m＜17即可.

問(wèn)題五 注意f(x)〉g(x)恒成立與f(x1)〉g(x2)恒成立的區(qū)別

分析：f(x)≤g(x)恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為[f(x)-g(x)]max≤0恒成立；而f(x1)〈g(x2)恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f(x)max〈g(x)min恒成立.

問(wèn)題（1）解法：f(x)≤g(x)在x∈[0，1]恒成立在x∈[0，1]恒成立在x∈[0，1]上的最大值小于或等于零．

∵x∈[0，1]， ∴F'(x)〈0即F(x)在[0，1]上單調(diào)遞減，

∴f(x)≤F(0)=1-t≤0，即t≥1．

問(wèn)題（2）解法：對(duì)任意x1，x2∈[-2，2]，都有f(x1)〈g(x2)成立，等價(jià)于x∈[-2，2]，

∵f'(x)=x2-2x-3，令f'(x)〉0得x〉3或x〈-1；得f'(x)〈0．

∴f(x)在[-2，-1]為增函數(shù)，在[-1，2]為減函數(shù)．

問(wèn)題六注意正確選用和理解問(wèn)題中的參數(shù)

例6對(duì)于滿足0≤p≤4的一切實(shí)數(shù)，不等式x2+px〉4x+p-3恒成立，試求 x的取值范圍．

分析：在解決不等式恒成立問(wèn)題時(shí)，一種最重要的思想方法就是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，然后利用相關(guān)函數(shù)的圖像和性質(zhì)解決問(wèn)題，但若是一個(gè)含多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，需要確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系，才會(huì)使問(wèn)題更加清晰明了；人們都習(xí)慣把x當(dāng)作自變量，即這時(shí)的函數(shù)為y=x2+（p-4）x+3-p，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)p∈[0，4]時(shí)，y〉0恒成立，求x的取值范圍.解決這個(gè)問(wèn)題需要用到二次函數(shù)以及二次方程的區(qū)間根原理，是相當(dāng)復(fù)雜的.這時(shí)如果能適時(shí)地把主元變量和參數(shù)變量進(jìn)行“換位”，往往會(huì)使問(wèn)題降次、簡(jiǎn)化.一般來(lái)說(shuō)，已知存在范圍的量視為變量，而待求范圍的量視為參數(shù).

解：設(shè)函數(shù)f(p)=（x-1）p+（x2-4x+3），顯然x≠1，則f(p)是p的一次函數(shù)，要使f(p)〉0恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)f(0)〉0且f(4)〉0時(shí)，解得x的取值范圍是（-∞，-1）∪（3，+∞）．

本例注意點(diǎn)是很容易把問(wèn)題簡(jiǎn)單地等價(jià)轉(zhuǎn)化為一個(gè)二次不等式問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是正確選用和理解問(wèn)題中的參數(shù).