周期性附加單腔赫姆霍茲共鳴器一維管路聲帶隙耦合分析

曹曉豐， 郁殿龍， 劉江偉， 溫激鴻

(國(guó)防科技大學(xué) 裝備綜合保障技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙 410073)

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周期性附加單腔赫姆霍茲共鳴器一維管路聲帶隙耦合分析

曹曉豐， 郁殿龍， 劉江偉， 溫激鴻

(國(guó)防科技大學(xué) 裝備綜合保障技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙 410073)

聲子晶體帶隙特性可以抑制聲波的傳播，為減振降噪提供了一條新的途徑。采用理論與數(shù)值方法研究了周期性附加單腔赫姆霍茲共鳴器一維管路的聲傳播特性，分析了局域共振帶隙及布拉格帶隙的帶隙特性。通過(guò)調(diào)節(jié)參數(shù)，發(fā)現(xiàn)局域共振帶隙與布拉格帶隙可以產(chǎn)生耦合，可實(shí)現(xiàn)低頻寬帶隔聲，進(jìn)一步分析了不同晶格常數(shù)下的帶隙寬度及傳遞損失。研究結(jié)果表明可以通過(guò)調(diào)節(jié)參數(shù)，使兩種機(jī)理的帶隙發(fā)生耦合，有望為拓寬低頻聲帶隙提供一種新方法。

噪聲控制；聲子晶體；平面波假設(shè)；聲帶隙耦合

管路系統(tǒng)廣泛應(yīng)用于船舶動(dòng)力、航空航天、核工業(yè)、深海石油開發(fā)等工業(yè)及軍事領(lǐng)域中，主要用來(lái)傳遞液體質(zhì)量流、動(dòng)量流或能量流。

管路中一般存在流體噪聲，強(qiáng)烈的噪聲會(huì)嚴(yán)重影響裝備的工作性能、精度、效率、以及運(yùn)行安全性、可靠性和服役壽命；噪聲還會(huì)破壞裝備使用者的工作環(huán)境舒適性，降低設(shè)備運(yùn)行質(zhì)量，甚至危害使用者的身體健康[1-6]。

管路噪聲主要分為低頻噪聲與中高頻噪聲，中高頻噪聲的傳播會(huì)隨距離增加而較快衰減，所以中高頻噪聲的傳播距離較小，對(duì)噪聲傳播的總體輻射雖然有一定影響，但由于其衰減快，多呈現(xiàn)為裝備局部的聲輻射現(xiàn)象，對(duì)總體的聲隱蔽性能影響不大。而低頻噪聲，由于其聲波長(zhǎng)較長(zhǎng)，衰減慢，傳播距離遠(yuǎn)，會(huì)嚴(yán)重影響裝備的隱蔽性能，削弱武器裝備戰(zhàn)斗力，因此管路低頻降噪是提高裝備性能的關(guān)鍵。

目前，在管路降噪問(wèn)題中的主要措施有：接入撓性接管；包覆高阻尼材料；調(diào)整管道的走向、支承位置等。但由于管路系統(tǒng)元件眾多，同時(shí)受空間、重量等條件的限制，傳統(tǒng)措施存在一定局限[7-8]。近些年，赫姆霍茲共鳴器在管路降噪中應(yīng)用廣泛，并引起了許多學(xué)者的關(guān)注。馬大猷[9]對(duì)單球腔Helmholtz共振器聲特性進(jìn)行了理論分析。SELAMET等[10]研究了單腔圓柱頸口內(nèi)插式Helmholtz共振器的聲學(xué)特性，重點(diǎn)指出了頸部?jī)?nèi)插長(zhǎng)度對(duì)其傳播損失的影響。TANG[11]應(yīng)用韋伯方程，對(duì)單腔錐形頸口Helmholtz共振器聲特性進(jìn)行了研究。

但由于赫姆霍茲共鳴器在應(yīng)用中的尺寸限制，其所產(chǎn)生的消聲頻帶較窄，并不能滿足實(shí)際應(yīng)用的需求。聲子晶體帶隙在管路噪聲控制中的應(yīng)用探索已經(jīng)開展，一些學(xué)者開始關(guān)注赫姆霍茲共鳴器周期性安放在管路上的問(wèn)題，并研究其對(duì)聲波的控制效果。HU等[12-13]研究證實(shí)了周期性安放赫姆霍茲共鳴器的人工周期材料存在聲帶隙。WANG等[14]發(fā)現(xiàn)在周期附加單腔赫姆霍茲共鳴器管路中可同時(shí)存在局域共振帶隙和布拉格帶隙。上述學(xué)者的研究發(fā)現(xiàn)，由于聲子晶體帶隙的存在，可以為管路降噪提供了一條新的途徑。

聲子晶體有兩種帶隙機(jī)理：一種是局域共振帶隙機(jī)理，這是由于彈性波傳播使得局域振子發(fā)生共振從而抑制該共振頻率處所對(duì)應(yīng)的彈性波的傳播。局域共振帶隙雖然可以解決低頻的降噪問(wèn)題，但它的帶隙頻率范圍較窄，對(duì)噪聲的衰減較小，附加質(zhì)量大。另一種為布拉格帶隙機(jī)理，它是由于彈性波在周期結(jié)構(gòu)中反射所形成，其帶隙中心頻率對(duì)應(yīng)的彈性波波長(zhǎng)約為晶格常數(shù)的2倍。利用布拉格帶隙機(jī)理對(duì)低頻聲波進(jìn)行控制時(shí)，由于對(duì)象低頻聲波波長(zhǎng)較大，導(dǎo)致晶格常數(shù)(幾何尺寸)過(guò)大，在尺寸要求苛刻的低頻降噪領(lǐng)域中應(yīng)用困難[15-20]。如何設(shè)計(jì)一種聲子晶體管路，在附加質(zhì)量與幾何尺寸較小的情況下實(shí)現(xiàn)低頻寬帶噪聲抑制，這種方法將具有重要的理論價(jià)值和工程意義。

肖勇等[3]在對(duì)梁桿振動(dòng)的研究中，具體分析說(shuō)明了梁桿振動(dòng)中的布拉格帶隙和局域共振帶隙耦合的現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)帶隙耦合會(huì)明顯拓寬帶隙寬度，實(shí)現(xiàn)寬帶隔振的效果。

張亞峰[21]對(duì)擴(kuò)張式共鳴器的研究中，發(fā)現(xiàn)了聲帶隙耦合現(xiàn)象，并描述了這種耦合現(xiàn)象可以消除通帶，擴(kuò)寬聲波帶隙。

但目前沒(méi)有研究說(shuō)明帶隙耦合的具體條件，以及參數(shù)對(duì)耦合特性的影響。本文在分析周期性附加單腔赫姆霍茲共鳴器一維管路局域共振帶隙特性與布拉格帶隙特性的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)了兩種帶隙耦合現(xiàn)象。主要用平面波假設(shè)研究單腔赫姆霍茲共鳴器的聲學(xué)特性，并由傳遞矩陣法給出了能帶結(jié)構(gòu)特性，分析了單腔赫姆霍茲共鳴器聲學(xué)特性及聲帶隙特性。并調(diào)整參數(shù)使帶隙耦合，進(jìn)而分析不同參數(shù)對(duì)帶隙耦合特性的影響，有望為周期管路的降噪設(shè)計(jì)提供新思路。

1 傳遞損失與帶隙理論分析

如圖1所示，該圖所描述的是位移驅(qū)動(dòng)下單腔赫姆霍茲共鳴器聲波傳播。考慮到研究頻率段所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于赫姆霍茲共鳴器的各結(jié)構(gòu)尺寸，管中聲波頻率小于波導(dǎo)理論給出的截止頻率，因此可以忽略空間相并采用平面波假設(shè)的方法進(jìn)行研究。高階聲波影響已給出修正，文中頸長(zhǎng)已經(jīng)包含修正相[22]。

1.1 單腔赫姆霍茲共鳴器傳遞損失分析

單腔非內(nèi)插圓柱頸共振式共鳴器的聲波傳播如圖1所示。

圖1 單腔非內(nèi)插圓柱頸共鳴器聲波傳播圖示Fig.1 The wave propagation in a single HR

對(duì)于管中的一維平面波，方程如下：

(1)

c0是聲波在空氣中的傳播速度，利用聲壓連續(xù)邊界條件和體積速度連續(xù)邊界條件，計(jì)算出單腔共振式共鳴器的頸口聲阻抗為：

(2)

ρ0是空氣密度，式中：

(3)

Sc是腔體截面積，Sn是連接頸截面積，由聲阻抗可得到傳遞損失：

(4)

Spi是主管路截面積

1.2 聲帶隙理論帶隙

圖2 聲子晶體管路中聲波傳播示意圖Fig.2 The schematic diagram of an acoustic waveguide in the artificial periodic pipe

(5)

式中T為：

如果考慮無(wú)限周期，Bloch定理[15]給出

(6)

q為波矢。結(jié)合方程(5)和(6)，可得到色散關(guān)系：

(7)

方程(7)可用于計(jì)算聲帶隙結(jié)構(gòu)。布拉格波矢的實(shí)部Re(q)可用于描述通帶。虛部Im(q)用于描述禁帶。

1.3 無(wú)限周期能帶結(jié)構(gòu)

首先計(jì)算無(wú)限周期的能帶結(jié)構(gòu)，計(jì)算中結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。將共鳴器周期排布在管路上，主管路橫截面為5 cm×5 cm，晶格常數(shù)為a=1 m。單腔赫姆霍茲共鳴器的聲阻抗可由方程(2)得到，方程(7)同時(shí)給出了能帶結(jié)構(gòu)的理論結(jié)果。圖3給出了在該管路結(jié)構(gòu)下的能帶特性曲線，在0～600 Hz中出現(xiàn)了四個(gè)帶隙，分別為58.7 Hz～118.9 Hz，171.5 Hz～224.9 Hz, 343 Hz～368.9 Hz,514.5 Hz～625.5 Hz。虛波矢Im(q)可用于描述振動(dòng)衰減的大小，Im(q)值越大，則振動(dòng)衰減越快。由虛波矢可發(fā)現(xiàn)，聲子晶體管路存在多階布拉格聲帶隙，共鳴器共振頻率以上的各階帶隙，向高頻發(fā)展生成帶隙；共鳴器共振頻率以下的各階聲波帶隙，向低頻發(fā)展生成帶隙。觀察發(fā)現(xiàn)，與局域共振聲帶隙臨近的布拉格聲帶隙，帶隙寬度大，并且具有較強(qiáng)的聲波衰減能力。反之，越是遠(yuǎn)離局域共振聲波帶隙，聲波的衰減能力越弱，帶隙寬度越小。

表1 標(biāo)準(zhǔn)單腔赫姆霍茲共鳴器參數(shù)(m)

圖3 周期性附加單腔赫姆霍茲共鳴器一維管路能帶結(jié)構(gòu)Fig.3 The acoustic BGs of the pipe periodically installing single HR

從能帶結(jié)構(gòu)中可以發(fā)現(xiàn)90 Hz頻率處，存在一個(gè)平直帶，這是由于共鳴器的共振頻率導(dǎo)致。共鳴器共振頻率為：

(8)

式中:Sc是腔體截面積，lc是腔體長(zhǎng)度，Sn是連接頸截面積，ln是連接頸長(zhǎng)。可計(jì)算得出共鳴器的共振頻率為90 Hz，對(duì)應(yīng)于能帶結(jié)構(gòu)中的平直帶。

1.4 有限周期結(jié)構(gòu)傳輸特性

上文采用傳遞矩陣法計(jì)算得到的周期性附加赫姆霍茲共鳴器一維周期管路能帶結(jié)構(gòu)，是建立在無(wú)限周期的基礎(chǔ)上。對(duì)于有限周期結(jié)構(gòu)，可以采用有限元法仿真其聲波傳輸特性，根據(jù)傳遞損失頻響曲線來(lái)判定聲帶隙是否存在及其帶隙的位置和寬度。文中采用有限元分析軟件COMSOL對(duì)有限周期結(jié)構(gòu)的傳輸特性進(jìn)行計(jì)算。圖4給出了6個(gè)周期的管路傳輸特性示意圖，其幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)與表1一致。

圖4 有限周期管路結(jié)構(gòu)示意圖
Fig.4 The schematic diagram of wave transmission in finite artificial periodic pipe

圖5為有限元計(jì)算的有限周期結(jié)構(gòu)中聲波傳輸特性曲線，其主要消聲頻段在59 Hz～119 Hz，172 Hz～225 Hz，以及343 Hz～369 Hz，與圖3(a)中理論能帶結(jié)構(gòu)中的帶隙位置，帶隙寬度基本相符。

圖5 有限周期結(jié)構(gòu)聲波傳輸特性曲線Fig.5 The characteristics of wave transmission in finite artificial periodic pipe

2 分析與討論

在分析聲帶隙特性時(shí)，首先研究晶格常數(shù)對(duì)帶隙特性的影響，通過(guò)改變周期管路的晶格常數(shù)，來(lái)觀察帶隙位置及寬度的變化，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)帶隙耦合，分析帶隙耦合條件。然后，研究共鳴器結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)帶隙特性的影響，通過(guò)改變結(jié)構(gòu)參數(shù)，探究是否能夠通過(guò)不同途徑實(shí)現(xiàn)帶隙耦合。

2.1 晶格常數(shù)對(duì)帶隙特性的影響

首先通過(guò)改變晶格常數(shù)來(lái)觀察帶隙的變化，為直觀起見，結(jié)合具體算例進(jìn)行闡述。赫姆霍茲共鳴器的參數(shù)設(shè)計(jì)如表1所示，令晶格常數(shù)為a=2，設(shè)計(jì)周期為N=8的周期性附加單腔赫姆霍茲共鳴器的一維管路結(jié)構(gòu)。

圖6 晶格常數(shù)a=2 m帶隙耦合聲學(xué)特性Fig.6 The characteristics of coupled acoustic band-gap with lattice constant a=2 m

圖6給出依照上述設(shè)計(jì)得到周期管路帶隙特性以及有限結(jié)構(gòu)中的消聲效果。圖6(a)是無(wú)限周期管路的帶隙特性?？梢钥闯?，在0 Hz～600 Hz的范圍中共存在五個(gè)帶隙，在目標(biāo)頻率(90 Hz)處得到了一個(gè)范圍是44.6 Hz～136.2 Hz的耦合帶隙。圖6(b)中顯示的是有限結(jié)構(gòu)中的傳遞損失頻率響應(yīng)曲線，在0 Hz～600 Hz的范圍中共存在五處噪聲衰減區(qū)域，其頻率范圍和圖6(a)中的帶隙頻率范圍吻合較好。從頻響曲線上還可以看出，在耦合帶隙的絕大部分頻率范圍內(nèi)都達(dá)到了30 dB以上的噪聲衰減，消聲效果良好。

圖7 晶格常數(shù)a=1 m聲學(xué)特性Fig.7 The acoustic characteristics with lattice constant a=1 m

圖8 晶格常數(shù)a=3 m聲學(xué)特性Fig.8 The acoustic characteristics with lattice constant a=3 m

圖7和圖8分別給出了晶格常數(shù)選為a=1 m(<2 m)和a=3 m(>2 m)時(shí)的情況，來(lái)探究當(dāng)晶格常數(shù)比2 m更小或更大時(shí)，對(duì)應(yīng)的帶隙特性(是否能產(chǎn)生更寬的消聲頻帶)及消聲特性。

通過(guò)對(duì)比可以看出，選擇更小或更大的晶格常數(shù)都沒(méi)能在目標(biāo)頻率(90 Hz)附近產(chǎn)生更寬的帶隙，也沒(méi)能在有限結(jié)構(gòu)中實(shí)現(xiàn)更寬的消聲頻帶。

通過(guò)對(duì)晶格常數(shù)的調(diào)整，發(fā)現(xiàn)在不同晶格常數(shù)條件下，隨著帶隙的位置變化會(huì)發(fā)生帶隙耦合現(xiàn)象。進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，由式(8)計(jì)算得共鳴器的共振頻率fr，又一階布拉格帶隙的中心頻率為

(9)

當(dāng)a=2 m，恰好共鳴器的共振頻率fr等于一階布拉格帶隙的中心頻率f1，即一階布拉格帶隙中心頻率落在共鳴器產(chǎn)生的帶隙頻率段中心，于是發(fā)生了精確耦合現(xiàn)象。

即當(dāng)

(10)

共鳴器的共振頻率fr等于N階布拉格帶隙的中心頻率fn時(shí)，會(huì)發(fā)生帶隙精確耦合現(xiàn)象。

2.2 共鳴器結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)晶格常數(shù)的影響

如圖9中所示，在表1參數(shù)模型的基礎(chǔ)上，設(shè)定晶格常數(shù)a=3 m，適當(dāng)調(diào)節(jié)共鳴器結(jié)構(gòu)參數(shù)，觀察改變參數(shù)后，對(duì)帶隙位置及寬度的影響，是否會(huì)產(chǎn)生耦合現(xiàn)象。

將共鳴器連接頸長(zhǎng)度由0.121 m變?yōu)?.08 m，發(fā)現(xiàn)局域共振聲帶隙與布拉格聲帶隙靠攏。觀察圖9(a)和圖9(b)發(fā)現(xiàn)最靠近局域共振帶隙的一階布拉格帶隙寬度隨著參數(shù)的調(diào)整，帶隙寬度由114.3 Hz～145.4 Hz變?yōu)?14.3 Hz～154.3 Hz，增加了10 Hz，波矢的絕對(duì)值也相應(yīng)增大，即帶隙的衰減能力增強(qiáng)，而對(duì)于二階布拉格帶隙的影響則相對(duì)較小。

為了進(jìn)一步觀察，將共鳴器連接頸長(zhǎng)度由0.08 m調(diào)為0.027 3 m，如圖10(a)和圖10(b)所示，通過(guò)對(duì)共鳴器結(jié)構(gòu)參數(shù)的調(diào)整，局域共振帶隙與一階布拉格帶隙發(fā)生耦合現(xiàn)象，帶隙寬度由參數(shù)調(diào)整之前的114.3 Hz～154.3 Hz變?yōu)?23.6 Hz～221.4 Hz，帶隙寬度增加了57.8 Hz。說(shuō)明在一定條件下，通過(guò)對(duì)共鳴器結(jié)構(gòu)參數(shù)的調(diào)整，也可以實(shí)現(xiàn)帶隙耦合，也可以實(shí)現(xiàn)低頻帶隙展寬。

圖9 共鳴器參數(shù)調(diào)整下能帶結(jié)構(gòu)特征Fig.9 The acoustic characteristics of HR with the 1st group parameters

圖10 共鳴器參數(shù)二次調(diào)整下能帶結(jié)構(gòu)特征Fig.10 The acoustic characteristics of HR with the 2nd group parameters

3 結(jié) 論

本文采用理論與數(shù)值方法研究了周期性附加單腔赫姆霍茲共鳴器一維管路的聲帶隙特性。

首先由虛實(shí)波矢圖可知，距離局域共振帶隙越近的布拉格帶隙，其帶隙寬度及其對(duì)聲波的衰減能力越強(qiáng)。進(jìn)一步通過(guò)理論分析，得出共鳴器共振頻率等于一階布拉格帶隙的中心頻率時(shí)，發(fā)現(xiàn)帶隙耦合，即帶隙耦合條件為fr=fn。耦合時(shí)的帶隙寬度對(duì)比于非耦合時(shí)的帶隙寬度有明顯的增加。同時(shí)可以調(diào)節(jié)共鳴器參數(shù)，進(jìn)一步調(diào)節(jié)其結(jié)構(gòu)參數(shù)，改變共鳴器的共振頻率，局域共振帶隙與布拉格帶隙也可產(chǎn)生耦合，為管路低頻降噪提供了更有效地方法。

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Coupled acoustic band-gap charateristics of an one-dimensional pipe periodically installing single-chamber Helmholtz resonators

CAO Xiaofeng, YU Dianlong, LIU Jiangwei, WEN Jihong

(The Laboratory of Science and Technology on Integrated Logistics Support, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)

The presence of band gaps in phononic crystals to forbid acoustic wave propagation within band-gaps’ frequency range provides a new way to control noise and vibration. Acoustic wave propagation characteristics of an one-dimensional pipe periodically installing single-chamber Helmholtz resonators(HRs) were investigated theoretically and numerically here, the features of local resonance band-gaps (BGs) and Bragg-type BGs were analyzed. By adjusting parameters, it was shown that local resonance BGs and Bragg-type BGs can be coupled to realize sound isolation within a lower and wider frequency range. A further analysis for the BGs width and their transmission loss was done under different lattice constants. The results showed that adjusting parameters can make two kinds of acoustic band-gaps be coupled; this provides a new way for widending lower frequency acoustic BGs via using Helmhotlz resonators with appropriate parameters.

noise control; phononic crystals; plane wave assumption; acoustic band-gap coupling

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11372346)

2015-08-19 修改稿收到日期：2015-10-11

曹曉豐 男，碩士，1991年出生

郁殿龍 男，副研究員，碩士生導(dǎo)師，1975年出生

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10.13465/j.cnki.jvs.2016.19.004