一種新型初始扭轉(zhuǎn)Euler-Bernouli梁單元

辛 旭 飛

(國核電力規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院，北京 100094)

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一種新型初始扭轉(zhuǎn)Euler-Bernouli梁單元

辛 旭 飛

(國核電力規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院，北京 100094)

采用有限元理論，借鑒平面Euler梁單元的位移模式，提出了一種2節(jié)點(diǎn)8自由度的初始扭轉(zhuǎn)Euler梁單元，基于該單元的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，自編有限元程序，求解初始扭轉(zhuǎn)梁的自振頻率，并通過算例，分析證明了初始扭轉(zhuǎn)Euler梁單元的合理性和高效性。

初始扭轉(zhuǎn)Euler梁，單元?jiǎng)偠染仃?，有限元程?/p>

0 引言

近年來涌現(xiàn)出的大量新型空間結(jié)構(gòu)，如網(wǎng)殼、懸索、張拉索—膜結(jié)構(gòu)，充分體現(xiàn)了現(xiàn)代建筑結(jié)構(gòu)富于變換的特點(diǎn)。為滿足建筑造型和工程結(jié)構(gòu)的需要,新型空間結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)采用了大量初始扭轉(zhuǎn)桿件。2008年北京奧運(yùn)會(huì)主體育館“鳥巢”就是這類結(jié)構(gòu)的典型代表，如圖1所示。

初始扭轉(zhuǎn)構(gòu)件指構(gòu)件本身的幾何形態(tài)呈現(xiàn)扭轉(zhuǎn)狀態(tài)。由于扭轉(zhuǎn)角的存在,初始扭轉(zhuǎn)構(gòu)件兩個(gè)彎曲方向的受力和變形相互耦合，其受力比較復(fù)雜。故部分學(xué)者[1-3]進(jìn)行了該梁力學(xué)性能的理論研究。

于是，部分學(xué)者開始借助有限元技術(shù)，用殼單元模擬初始扭轉(zhuǎn)梁[4,5]。但由于位移模式不準(zhǔn)確，結(jié)果仍有誤差，而且耗時(shí)、耗資。為了彌補(bǔ)殼單元模擬初始扭轉(zhuǎn)梁的不足，部分學(xué)者[6,7]直接開展了該梁的靜力和動(dòng)力有限單元研究，但考慮因素相對(duì)較少。

基于初始扭轉(zhuǎn)梁研究不足的現(xiàn)狀，本文針對(duì)忽略剪切效應(yīng)的常規(guī)初始扭轉(zhuǎn)梁，采用有限元基本理論，開展了新型初始扭轉(zhuǎn)Euler-Bernouli梁有限單元的研究。

1 初始扭轉(zhuǎn)Euler-Bernouli梁單元?jiǎng)偠染仃嚭唾|(zhì)量矩陣的建立

如圖2所示，初始扭轉(zhuǎn)梁結(jié)構(gòu)存在兩種坐標(biāo)系，梁單元整體坐標(biāo)系(x-y-z)和梁截面局部坐標(biāo)系(x′-y′-z)。在整體坐標(biāo)系下定義節(jié)點(diǎn)自由度和建立單元?jiǎng)偠染仃嚒?/p>

單元有2個(gè)節(jié)點(diǎn)，并且每個(gè)節(jié)點(diǎn)有4個(gè)節(jié)點(diǎn)自由度。根據(jù)節(jié)點(diǎn)自由度，使用插值理論構(gòu)造初始扭轉(zhuǎn)梁單元的位移場。

(1)

(2)

其中，w(z)，v(z)分別為y方向，x方向的位移；u1，u2分別為節(jié)點(diǎn)1,節(jié)點(diǎn)2沿y方向的位移；u3,u4分別為節(jié)點(diǎn)1,節(jié)點(diǎn)2沿y方向的轉(zhuǎn)角；u5,u6分別為節(jié)點(diǎn)1,節(jié)點(diǎn)2沿x方向的位移；u7,u8分別為節(jié)點(diǎn)1,節(jié)點(diǎn)2沿x方向的轉(zhuǎn)角。

在式(1)的基礎(chǔ)上，建立初始扭轉(zhuǎn)梁單元的應(yīng)變能和動(dòng)力。

因不考慮剪切應(yīng)變和軸向變形，扭梁中應(yīng)變能U僅為兩個(gè)方向彎曲引起的應(yīng)變能：

(3)

其中，l為梁單元長度；E為材料的彈性模量；Ixx，Ixy，Iyy均為初始扭轉(zhuǎn)梁截面慣性矩。

Ixx，Ixy，Iyy的計(jì)算公式為：

(4)

其中，b，h分別為梁截面的寬度和高度；θ為截面扭轉(zhuǎn)角，θ=c·z+θ0，θ0為坐標(biāo)原點(diǎn)處截面的初始扭轉(zhuǎn)角，c為扭率。

初始扭轉(zhuǎn)梁的動(dòng)能T包括線位移引起項(xiàng)和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量項(xiàng)，為：

(5)

最終扭轉(zhuǎn)梁的應(yīng)變能U和動(dòng)能T的矩陣表達(dá)形式為：

(6)

(7)

基于K和M，可以方便地建立初始扭轉(zhuǎn)梁單元的動(dòng)力方程，求解出扭轉(zhuǎn)梁的動(dòng)力特性。

2 算例驗(yàn)證

表1 初始扭轉(zhuǎn)梁本文計(jì)算結(jié)果與Banerjee[7]所得結(jié)果的比較

表2 兩端固定梁自振頻率表 ×103

根據(jù)上述初始扭轉(zhuǎn)梁有限元理論的介紹，本文自編程序計(jì)算初始扭轉(zhuǎn)Euler梁的自振頻率。通過與Banerjee[7]所得結(jié)果的對(duì)比來說明這種梁單元的有效性和精度。

由表1可見，本文所算結(jié)果與Banerjee所算結(jié)果基本一致，說明本文所提扭轉(zhuǎn)梁單元的正確性。由表2可見，對(duì)于梁的前四階自振頻率值，從5個(gè)、6個(gè)單元開始趨于穩(wěn)定(頻率值變化小于2%)，說明本文所提新型單元具有較高的計(jì)算效率，只需要少量單元，就能獲得理想的計(jì)算結(jié)果。

3 結(jié)語

本文基于有限元理論，建立了一種新型的初始扭轉(zhuǎn)梁單元模型。通過算例分析表明本文所建立的有限元模型不但精度高，而且計(jì)算效率高，方便工程應(yīng)用。

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On new pre-twisted Euler-Bernouli beam element

Xin Xufei

(StateNuclearElectricPowerPlanningDesignandResearchInstitute,Beijing100094,China)

The paper adopts the finite element theory, points out 2-joint and 8 DOF pre-twisted Euler beam element by referring to the displacement model of the plane Euler beam element, designs the finite element program based on the stiffness and quality matrix of the element, solves the self-vibration frequency of the pre-twisted beam, and through the example, analyzes the pre-twisted Euler beam is reasonable and efficient.

pre-twisted Euler beam, element stiffness matrix, finite element program

1009-6825(2016)20-0035-02

2016-05-13

辛旭飛(1979- )，男，工程師

TU311.4

A