圓柱刀五軸數(shù)控側(cè)銑直紋面的直線插補(bǔ)誤差分析

周雪梅 曹利新/大連理工大學(xué)

圓柱刀五軸數(shù)控側(cè)銑直紋面的直線插補(bǔ)誤差分析

周雪梅 曹利新/大連理工大學(xué)

0　引言

為解決CNC系統(tǒng)中復(fù)雜曲面的成型問題，相鄰刀位點(diǎn)間運(yùn)動由數(shù)控系統(tǒng)提供的插補(bǔ)功能完成。插補(bǔ)是通過對數(shù)據(jù)點(diǎn)的密化，不斷趨近或逼近理論形體。目前，最常用的插補(bǔ)方法有直線、圓弧、樣條插補(bǔ)，直線插補(bǔ)方法最具典型性。為提高直紋面?zhèn)茹娂庸ぞ群图庸ば剩姸鄬W(xué)者對刀具包絡(luò)面計(jì)算、插補(bǔ)方法誤差及刀位規(guī)劃方法進(jìn)行了大量研究。朱利民［1］建立刀具包絡(luò)面及第一和第二基本型的解析表達(dá)式，并給出了刀具包絡(luò)面最佳逼近設(shè)計(jì)曲面的造型方法。吳大中［2］分析了五坐標(biāo)數(shù)控系統(tǒng)線性插補(bǔ)的理論加工誤差，建立了非線性誤差估計(jì)模型。

Liu［3］提出適用于圓柱銑刀的單點(diǎn)偏置法和兩點(diǎn)偏置法，方法簡單，但計(jì)算誤差大。GONG［4］提出了一種使刀具掃描面和工件曲面間相對法曲率最小化來實(shí)現(xiàn)加工帶寬最大化的局部刀位優(yōu)化算法。REDONNET等［5］提出了適用于圓柱刀側(cè)銑加工的三點(diǎn)刀位規(guī)劃方法，能有效降低加工曲面與刀具干涉，但計(jì)算復(fù)雜。葛榮雨等［6］利用最小二乘優(yōu)化法確定側(cè)銑加工直紋凸輪廓面的刀位計(jì)算。滕飛等［7］利用增量優(yōu)化算法解決刀具軌跡的優(yōu)化問題，實(shí)現(xiàn)了對多余刀位點(diǎn)進(jìn)行的精簡。Watkenti等人［8］提出了多點(diǎn)接觸的刀位優(yōu)化方法。朱利民等［9］通過優(yōu)化刀具的前傾角和側(cè)傾角使得在刀觸點(diǎn)處刀具包絡(luò)曲面與設(shè)計(jì)曲面達(dá)到三階切觸，顯著增大加工帶寬。本文的刀位確定采用最佳一致逼近方法［10］，該方法刀位規(guī)劃誤差明顯小于兩點(diǎn)偏置法、最小二乘刀位規(guī)劃方法。

1　圓柱銑刀的線性插補(bǔ)運(yùn)動

數(shù)控加工是復(fù)雜曲面最主要的加工方式。復(fù)雜曲面廣泛應(yīng)用于工程領(lǐng)域，是葉輪、葉片、凸輪等零件的功能設(shè)計(jì)曲面，針對實(shí)際中不同的應(yīng)用需求，眾多學(xué)者對相關(guān)曲面零件的曲面造型，結(jié)構(gòu)優(yōu)化，加工工藝，結(jié)構(gòu)強(qiáng)度，性能等方面進(jìn)行了大量研究，以滿足工程需求［11-14］。復(fù)雜曲面主要包括自由曲面和直紋面。自由曲面是設(shè)計(jì)人員根據(jù)氣體動力學(xué)原理，通過大量計(jì)算，得到的一組離散數(shù)據(jù)點(diǎn)，不能用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方程表示；而直紋面是指由一系列直線段沿空間兩條曲線掃描而成的曲面［15］。

從刀具與曲面的接觸方式來講，曲面的五坐標(biāo)數(shù)控加工有點(diǎn)接觸成形和線接觸成形兩種方式。刀具在點(diǎn)接觸成形時(shí)，切削過程中刀刃與被加工曲面始終保持相切于一點(diǎn)，由點(diǎn)匯成線，由線組成面，主要適用于自由曲面的切削加工；刀具在線接觸成形時(shí)，其側(cè)刃始終保持與被加工曲面間線接觸加工，利用銑刀刀刃的母線在加工中形成的包絡(luò)面來逼近曲面，更加適合用于加工本文研究的直紋面［16］。側(cè)銑加工屬于線接觸加工成形方法，在五軸數(shù)控系統(tǒng)中直紋面的精加工主要采用側(cè)銑的加工方式。

被加工形面的不可展性會引起原理性加工誤差，因此合理優(yōu)化刀具路徑，對于減小加工誤差、提高零件性能具有至關(guān)重要的作用，因此通過參考文獻(xiàn)［10］中誤差明顯小于兩點(diǎn)偏置法和最小二乘方法的最佳一致逼近方法對刀具位置進(jìn)行確定，獲得圓柱刀在五軸數(shù)控系統(tǒng)中側(cè)銑非可展直紋面時(shí)的刀心位置以及刀軸矢量，并且在相鄰兩刀位點(diǎn)之間采用線性插補(bǔ)算法。在利用圓柱刀側(cè)銑加工直紋面的過程，實(shí)際上就是使圓柱面盡可能接近設(shè)計(jì)曲面的過程，屬于面與面的逼近問題，可以采用最小二乘法和最佳一致逼近等方法，由文獻(xiàn)［10］可知，刀具曲面上的特征線與設(shè)計(jì)曲面間的單向Hausdorff距離最能體現(xiàn)圓柱刀與設(shè)計(jì)曲面的貼近程度。特征線與設(shè)計(jì)曲面的單向Hausdorff距離就是特征線上任意一點(diǎn)到設(shè)計(jì)曲面最小距離的最大值，具體最佳一致逼近法參考文獻(xiàn)［10］。

利用最佳一致逼近方法得到刀具刀位點(diǎn)和刀軸矢量后，相鄰刀位點(diǎn)間線性插補(bǔ)過程如圖1所示，pi和pi+1分別為刀具位于第i與第i+1個(gè)刀心點(diǎn)的位置矢量，αi和αi+1分別是刀位點(diǎn)pi，pi+1對應(yīng)的刀軸矢量。當(dāng)?shù)毒咴谌我鈨傻段稽c(diǎn)間進(jìn)行線性插補(bǔ)運(yùn)動時(shí)，機(jī)床的直線運(yùn)動軸和回轉(zhuǎn)軸將使刀具刀心位置從第個(gè)刀位點(diǎn)線性地移動到第i+1個(gè)刀位點(diǎn)的位置上。因此在pi、pi+1間任意一刀心點(diǎn)p的方程可表示為：

式中：為刀心點(diǎn)沿直線段pi，pi+1的線性運(yùn)動的運(yùn)動參數(shù)。

為保證線性插補(bǔ)過程中相鄰插補(bǔ)點(diǎn)間刀軸矢量變化是均勻變化的，對刀軸矢量也進(jìn)行線性插值，即確保在單位時(shí)間內(nèi)矢量αi旋轉(zhuǎn)變換到αi+1的角度增量值是相等的。設(shè)刀軸矢量αi與αi+1之間的夾角為θ；bi為在由刀心點(diǎn)pi、刀軸矢量αi與αi+1所張成的平面內(nèi)并且與刀軸矢量αi垂直的單位矢量。

當(dāng)相鄰刀位點(diǎn)間刀軸矢量αi與αi+1不共線時(shí)，bi的矢量方程式可表示為：

此時(shí)，對應(yīng)于插補(bǔ)點(diǎn)p的刀軸單位矢量方程可表示為

通過式（1）和式（2），可以得到pi，pi+1間任意線性插值點(diǎn)p處刀軸上任意一點(diǎn)Q的位置矢量方程

2　圓柱銑刀包絡(luò)面的計(jì)算

刀具運(yùn)動形成的包絡(luò)曲面即為得到的加工曲面，由文獻(xiàn)［17］可知，在給定刀具運(yùn)動規(guī)律的前提下，回轉(zhuǎn)面刀具的包絡(luò)面可以歸結(jié)到刀具軸線上來討論。因此在利用圓柱刀側(cè)銑加工直紋面時(shí)可以利用已知的刀具軸線，通過包絡(luò)原理得到刀具面上的特征點(diǎn)，從而可以得到刀具包絡(luò)曲面，即刀具切削運(yùn)動形成的加工曲面。已知刀具軸線上一點(diǎn)Q的運(yùn)動方向V，則對應(yīng)于軸線上Q點(diǎn)的刀具包絡(luò)面上的特征點(diǎn)E，在通過P點(diǎn)、沿α×V方向上與刀具曲面的交點(diǎn)。將式（4）或（5）對參數(shù)μ求導(dǎo)，可以得到

圓柱銑刀包絡(luò)面上特征點(diǎn)E的方程可表示為

式中，r為圓柱銑刀的小端半徑。

3　刀具線性插補(bǔ)引起的幾何誤差

由于數(shù)控系統(tǒng)本身的特點(diǎn)，在我們用到的插補(bǔ)方法中，無論是直線插補(bǔ)、圓弧插補(bǔ)還是樣條插補(bǔ)，都是利用直線或圓弧對曲線進(jìn)行逼近的方法。因此，在實(shí)際加工中刀具切削得到的幾何形狀很難與理想幾何形狀完全符合，這種刀具包絡(luò)面與理想的被加工曲面之間的偏差，即代表由線性插補(bǔ)引起的幾何誤差。五軸數(shù)控加工的成形原理為單參數(shù)面族包絡(luò)原理，實(shí)際加工誤差為刀具包絡(luò)面與設(shè)計(jì)曲面間的法向誤差［1］。因此，線性插補(bǔ)引起的幾何誤差，通過設(shè)計(jì)曲面與刀具包絡(luò)面之間的法向誤差來衡量。

文獻(xiàn)［18］研究了點(diǎn)到隱式曲面的最小距離。并利用離散的牛頓迭代法求取方程組的解，以此得到點(diǎn)到曲面的最小距離。文獻(xiàn)［19］在此基礎(chǔ)上利用正交投影算法研究點(diǎn)到隱式曲面的最小距離，文獻(xiàn)［1］定義兩種用于評價(jià)設(shè)計(jì)曲面與包絡(luò)曲面之問偏差的法向誤差函數(shù)?；诖吮疚膶⑶笕〉毒咔嫣卣鼽c(diǎn)到被加工曲面的最小距離來得到柱刀線性插補(bǔ)的幾何誤差。

過刀具包絡(luò)曲面上特征點(diǎn)E（li）做被加工曲面的垂線，垂足點(diǎn)為S（u*，v*），曲面S在Epi點(diǎn)的單位法矢為ni。對應(yīng)于E（li）點(diǎn)的偏差為

式中，li為離散化的刀軸參數(shù)；u*，v*為特征點(diǎn)E（li）到被加工曲面垂足點(diǎn)所對應(yīng)的曲面參數(shù)；單位法矢ni中i=1，2，3，…，m，m為任意一個(gè)刀位點(diǎn)上特征點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

如果刀具曲面侵入到設(shè)計(jì)曲面實(shí)體之內(nèi)，產(chǎn)生的誤差稱為過切誤差；如果刀具曲面位于設(shè)計(jì)曲面接觸，引起的誤差稱為欠切誤差。若ε為正值，表示欠切；相反則表示產(chǎn)生過切。當(dāng)對凸曲面或曲面的外凸部分進(jìn)行線性插補(bǔ)時(shí)，ε為負(fù)值，會發(fā)生對曲面的過切現(xiàn)象；反之，當(dāng)對凹曲面或曲面的內(nèi)凹部分進(jìn)行線性插補(bǔ)時(shí)，ε為正值，會發(fā)生對曲面的欠切的情況。

4　數(shù)值算例

本節(jié)通過兩個(gè)數(shù)值算例驗(yàn)證前面所討論模型和算法的正確性，在相鄰兩刀位之間通過CNC線性插值。

算例1：在直紋面?zhèn)茹姷段灰?guī)劃方法的研究中，經(jīng)常需要選擇同一算例，采用不同的方法進(jìn)行研究，比較不同方法之間的優(yōu)劣，其中文獻(xiàn)［20］給出的直紋面因其特征明顯，受到許多研究人員采用。該直紋面的方程式如下：

式中，c1（u）=ui+20.429j，c2（u）=ui+0.0382u2j+33.995k為直紋面的兩條準(zhǔn)線方程為直紋面的準(zhǔn)線參數(shù)為直紋面的直母線參數(shù)；i，j，k分別表示坐標(biāo)系｛O-XYZ｝三個(gè)坐標(biāo)軸的單位矢量。由表達(dá)式可以看出，準(zhǔn)線c1（u）為O-XY平面內(nèi)一平行于X軸的直線，準(zhǔn)線c2（u）為一平行于O-XY平面的拋物線。如圖2所示，隨著準(zhǔn)線參數(shù)u的增大，直母線兩端法線間的夾角Q也隨之逐漸增大，即直紋面的扭曲加重。利用MATLAB軟件實(shí)現(xiàn)直紋曲面造型如圖3。采用直徑20m的圓柱銑刀，按照文獻(xiàn)［10］給出的最佳一致逼近方法對刀位進(jìn)行規(guī)劃。確定刀位時(shí)，在刀軸上均勻選擇10個(gè)離散點(diǎn)參與計(jì)算，計(jì)算精度取10-8。

在直紋面準(zhǔn)線參數(shù)域［0，23.014］內(nèi)，均勻選擇14個(gè)參數(shù)規(guī)劃理論刀位，相鄰刀位間采用線性插補(bǔ)均勻插入10個(gè)點(diǎn)，計(jì)算結(jié)果如圖4a，其中圓圈為各理論刀位下的最大誤差值、圓點(diǎn)為相鄰刀位間線性插補(bǔ)點(diǎn)處的最大誤差值?？梢钥闯觯捎诓捎镁€性插補(bǔ)，刀位點(diǎn)（圓圈）的前、后刀具的運(yùn)動方向不同，導(dǎo)致刀位點(diǎn)處的誤差曲線出現(xiàn)突變，而且隨著直紋面扭曲程度的加重，突變更加嚴(yán)重。

為了減小由于理論刀位點(diǎn)處由于線性插補(bǔ)引起的突變誤差，可以采取加密理論刀位點(diǎn)的辦法。圖4b，4c分別為在直紋面準(zhǔn)線參數(shù)域［0，23.014］內(nèi)，均勻選擇29，59個(gè)理論刀位點(diǎn)的計(jì)算結(jié)果，相鄰刀位間線性插補(bǔ)點(diǎn)的數(shù)量保持不變。由圖可以看出，隨著理論刀位點(diǎn)的增多，由于線性插補(bǔ)引起的誤差迅速減小，剩余的誤差為直紋面扭曲引起的刀位規(guī)劃誤差。

算例2.利用文獻(xiàn)［21］給出的兩條準(zhǔn)線均為3次B樣條曲線的直紋曲面，控制頂點(diǎn)如表1、表2所示，節(jié)點(diǎn)矢量為［0，0，0，0，0.2，0.4，0.6，0.8，1.0，1.0，1.0，1.0］。B樣條曲線是利用控制點(diǎn)定義的，B樣條曲線的方程為，其中di， i=0，1，2，…，n為曲線控制頂點(diǎn)，Ni，k（u）為k次B樣條曲線的基函數(shù)。直母線兩端法線間的夾角Q隨準(zhǔn)線參數(shù)的變化規(guī)律如圖5所示。由圖中可以看出，此直紋面的扭曲度變化不大，扭曲程度較算例1要小。利用MATLAB軟件得到此直紋面的曲面造型，如圖6。采用直徑10mm的圓柱刀，按照文獻(xiàn)［10］給出最佳一致逼近方法規(guī)劃刀位。

表1　直紋面頂部線上控制點(diǎn)表mm

表2　直紋面頂部線上控制點(diǎn)表mm

在直紋面準(zhǔn)線參數(shù)域［0，1］內(nèi)，分別均勻選擇14，29，59個(gè)參數(shù)規(guī)劃理論刀位，相鄰刀位間采用線性插補(bǔ)均勻插入10個(gè)點(diǎn)，各個(gè)刀位點(diǎn)處誤差計(jì)算結(jié)果分別如圖7所示，其中圓圈為各理論刀位下的最大誤差值、圓點(diǎn)為相鄰刀位間線性插補(bǔ)點(diǎn)處的最大誤差值。由圖可以看出，由于該算例直紋面的扭曲程度較小，曲面扭曲程度的大小并未造成線性插補(bǔ)刀位點(diǎn)處的誤差曲線出現(xiàn)突變，但相鄰刀位點(diǎn)間由于線性插補(bǔ)引起的誤差較大，隨著理論刀位點(diǎn)的增多，由于線性插補(bǔ)引起的誤差迅速減小，而且在刀位點(diǎn)附近的幾何誤差比較小，兩刀位點(diǎn)中間點(diǎn)處的誤差較大。

5　總結(jié)

通過上述兩個(gè)算例，對扭曲程度不同的兩個(gè)直紋面利用最佳一致逼近方法規(guī)劃刀位，在任意相鄰刀位點(diǎn)間采用線性插補(bǔ)算法，得到刀具線性運(yùn)動的包絡(luò)曲面，利用包絡(luò)面上特征點(diǎn)到設(shè)計(jì)曲面的距離計(jì)算由于線性插補(bǔ)引起的誤差，通過對比發(fā)現(xiàn)：

1）盡管最佳一致逼近方法可以使單個(gè)刀位下的幾何殘留誤差很小，但因相鄰刀位點(diǎn)間的線性插補(bǔ)引起的誤差依然需要重視，尤其是對于相鄰刀位點(diǎn)間的距離或刀軸矢量間的夾角較大的情況。在兩相鄰刀位點(diǎn)間因線性插補(bǔ)引起的誤差變化成近似拋物線分布，刀位點(diǎn)附近的幾何誤差小，兩刀位點(diǎn)中間點(diǎn)處的誤差大。

2）在刀具尺寸和刀位規(guī)劃方法一定的情況下，直紋面?zhèn)茹姷膸缀螝埩粽`差主要受直紋面的扭曲程度和刀位點(diǎn)間距離影響。隨著刀位點(diǎn)數(shù)量的增多，由線性插補(bǔ)引起的誤差迅速減小，剩余的誤差主要是由直紋面扭曲引起的。因此，為了提高曲面加工精度，保證加工效率，要合理選取刀位點(diǎn)的數(shù)量以及刀位點(diǎn)的分布情況，降低非線性誤差，提高直紋面?zhèn)茹娋取?/p>

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■在五軸聯(lián)動數(shù)控系統(tǒng)中，相鄰刀位點(diǎn)間的運(yùn)動通過直線、圓弧或樣條曲線進(jìn)行插補(bǔ)運(yùn)動，其中直線插補(bǔ)方法最具典型性。以圓柱刀側(cè)銑加工直紋面時(shí)因線性插補(bǔ)引起的非線性誤差為研究對象，首先，在被加工曲面上采用最佳一致逼近法規(guī)劃圓柱刀側(cè)銑直紋面的刀具位置；然后，利用包絡(luò)原理建立刀具線性插補(bǔ)時(shí)所形成的包絡(luò)面解析表達(dá)式；以理想曲面為基準(zhǔn)面，利用牛頓迭代法求取點(diǎn)到曲面的最小距離，從而建立刀具包絡(luò)面與理論曲面的誤差模型，以此得到刀具線性插補(bǔ)時(shí)產(chǎn)生的非線性誤差；最后，利用MATLAB軟件通過數(shù)值算例對影響非線性誤差的規(guī)律、大小以及其影響因素進(jìn)行了分析。

■線性插補(bǔ)；非線性誤差；側(cè)銑；包絡(luò)原理；最佳一致逼近方法

Linear Interpolation Error Analysis for Cylindrical Cutter of Five-axis CNC FlankMilling Ruled Surface

Zhou Xue-mei，Cao Li-xin/School of Mechanical Engineering，Dalian University of Technology

Linear，circular，and spline interpolation are used for interpolation motion in the five-axis CNC system，and the line interpolation method is most typical one. Aiming at the nonlinearerrorsdue to the linear interpolating during the rule surfaces flank milling by using cylindricalmilling cutter，the cutterposition and orientationwere determined by using the best uniform approximation method firstly.Then，the cylindrical cutter's envelope surface which was generated by cutter's linear interpolation motion between adjacent cutter location pointswas builded by the envelope principle.The nonlinear errors between the envelope surface and designed surface were obtained based on theminimum distance calculation between a point of envelope surface and the designed surface by using Newton iteration method.The pattern，scale and influence factors of the nonlinear errorwere analyzed via numericalexamplesby MATLABsoftware.

linear interpolation；nonlinear error；flank milling；envelope theory；best uniform approximationmethod

TH164；TK05

A

1006-8155（2016）04-0068-06

10.16492/j.fjjs.2016.04.0036

2016-04-21遼寧大連116024