以退為進(jìn)柳暗花明

章貴平

含參不等式恒成立與函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題是近幾年高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，解決含參不等式恒成立問(wèn)題的思路一：將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題.但有時(shí)會(huì)遇到最大值最小值點(diǎn)不好求的情況，導(dǎo)致無(wú)法求出最值或極值.思路二：分離參數(shù)，再求函數(shù)的最值.有時(shí)也會(huì)遇到參數(shù)不好分離或者最值不好求的情況.解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題通常是直接求函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)或者轉(zhuǎn)化為求方程的根，往往無(wú)法直接求出.如何解決此類問(wèn)題，筆者以2015山東文科卷第20題為線索，展開(kāi)對(duì)此類問(wèn)題的探究，談?wù)劷鉀Q此類問(wèn)題的策略——以退為進(jìn).

策略一：以退為進(jìn)設(shè)而不求

例1[K]（2015年山東）設(shè)函數(shù)f（x）=（x+a）lnx，g（x）=[SX（]x2ex[SX）]，已知曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線2x-y=0平行.

（1）求a的值；

（2）是否存在自然數(shù)k，使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）內(nèi)存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）設(shè)函數(shù)m（x）=min{f（x），g（x）}（min{p，q}表示p，q中的較小值），求m（x）的最大值.

分析第三問(wèn)，求函數(shù)m（x）的最大值，首先要求出分段函數(shù)m（x）的解析式，再求出分段函數(shù)每段的最大值.求分段函數(shù)的解析式，前提要求出f（x）=g（x）的解，用高中知識(shí)很難求出此解.至此，解題遇到阻力.退一步，是不是一定要求出方程的根？能否將此根設(shè)出而不求出來(lái)，確定其范圍，從而問(wèn)題得以解決.

解（1）a=1.（2） 解略.

（3）由（2）知，方程f（x）=g（x）在（1，2）內(nèi)存在唯一的根x0，

且x∈（0，x0）時(shí)，f（x）g（x）.

m（x）=[JB（{]（x+1）lnx，x∈（0，x0），[SX（]x2ex[SX）]，x∈（x0，+∞）.[JB）]

當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，若x∈（0，1]，m（x）≤0；

若x∈（1，x0），由m′（x）=lnx+[SX（]1x[SX）]+1>0，

可知0

x∈（x0，+∞）時(shí)，m′（x）=[SX（]x（2-x）ex[SX）]，

可得x∈（x0，2）時(shí)，m′（x）>0，m（x）單調(diào)遞增；

x∈（2，+∞）時(shí)，m′（x）<0，m（x）單調(diào)遞減.

可知m（x）≤m（2）=[SX（]4e2[SX）]，m（x0）

綜上可得函數(shù)m（x）的最大值為[SX（]4e2[SX）].

策略二：以退為進(jìn)曲徑通幽

例2[K]（2015年全國(guó)卷Ⅰ文科）設(shè)函數(shù)f（x）=e2x-alnx.

（Ⅰ）討論f（x）的導(dǎo)函數(shù)f ′（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（Ⅱ）證明：當(dāng)a>0時(shí)f（x）≥2a+aln[SX（]2a[SX）].

分析f（x）≥2a+aln[SX（]2a[SX）]恒成立可以轉(zhuǎn)化成求函數(shù)f（x）最小值.方程f ′（x）=2e2x-[SX（]ax[SX）]=0的根無(wú)法求，導(dǎo)致函數(shù)f（x）的最小值無(wú)法求出，解題受阻.退一步，是否一定要求出最小值？能否通過(guò)說(shuō)明最小值大于零進(jìn)而得到函數(shù)f（x）>0恒成立呢？曲徑通幽，解決問(wèn)題.

解析（Ⅰ）略.

（Ⅱ）設(shè)2e2x-[SX（]ax[SX）]=0的解為x0，即e2x0-[SX（]ax0[SX）]=0.

x∈（0，x0），f ′（x）<0，f（x）單調(diào)遞減；

x∈（x0，+∞），f ′（x）>0，f（x）單調(diào)遞增.

故f（x0）為函數(shù)f（x）的最小值.

f（x0）=e2x0-alnx0=[SX（]ax0[SX）]+2a0+aln[SX（]2a[SX）]

=2a+2aln[SX（]2a[SX）].

故當(dāng)a>0，f（x）>2a+aln[SX（]2a[SX）].

策略三：以退為進(jìn)回歸本質(zhì)

例3[K]（2012年全國(guó)文科）已知函數(shù)f（x）=[SX（]13[SX）]x3+x2+ax.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）設(shè)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，若過(guò)兩點(diǎn)（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線l與x軸的交點(diǎn)在曲線y=f（x）上，求a的值.

分析此題第二問(wèn)常規(guī)思路：先求出兩個(gè)極值點(diǎn)，再求出直線l的方程從而求出直線l與x軸的交點(diǎn).f ′（x）=x2+2x+a，兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2=-1±[KF（]1-a[KF）]，最大值和最小值點(diǎn)的坐標(biāo)將非常復(fù)雜，根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求得直線l的方程將更加復(fù)雜，學(xué)生很難有信心再繼續(xù)進(jìn)行，解題受挫，無(wú)法繼續(xù)進(jìn)行.退一步，回歸問(wèn)題本質(zhì)，此題關(guān)鍵是求出直線l的方程，能否找到不求極值點(diǎn)直接求出直線方程的方法？

解析（1）略.

（2）f ′（x）=x2+2x+a，

x21+2x1+a=0，x22+2x2+a=0.

f（x1）[WB]=[SX（]13[SX）]x31+x21+ax1

=[SX（]13[SX）]x1（-2x1-a）+x21+ax1

[DW]=[SX（]13[SX）]x21+[SX（]23[SX）]ax1

=[SX（]23[SX）]（a-1）x1-[SX（]13[SX）]a，

同理f（x2）=[SX（]23[SX）]（a-1）x2-[SX（]13[SX）]a.

所以直線l過(guò)點(diǎn)（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），

得直線l的方程為y=[SX（]23[SX）]（a-1）x-[SX（]13[SX）]a，

直線與x軸的交點(diǎn)為（[SX（]a2（a-1）[SX）]，0）得

[SX（]13[SX）][[SX（]a2（a-1）[SX）]]3+[[SX（]a2（a-1）[SX）]]2+a[[SX（]a2（a-1）[SX）]]=0，

得a=0，[SX（]23[SX）]，[SX（]34[SX）].

策略四：以退為進(jìn)另辟蹊徑

例4[K]（2014年廣東省韶關(guān)市二模）已知函數(shù)f（x）=ln（x+[SX（]1a[SX）]）-ax，其中a∈[WZ]R[WBX]，a≠0.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）若不等式f（x）

（3）若方程f（x）=0存在兩個(gè)異號(hào)實(shí)根x1，x2，求證：x1+x2>0.

分析（1）（2）略.

（3）欲證明x1+x2>0，首先想到韋達(dá)定理，但函數(shù)不是二次函數(shù)，無(wú)法使用.也可以通過(guò)求出方程的根，超越方程且含參數(shù)，求方程的根顯然難度太大.能否退一步，另辟蹊徑？

解析（3）方程f（x）=0存在兩個(gè)異號(hào)實(shí)根x1，x2，

f ′（x）=[SX（]1x+[SX（]1a[SX）][SX）]-a=-[SX（]axax+1[SX）].

當(dāng)a<0時(shí)，f ′（x）>0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，方程不可能有[J1.45mm]兩個(gè)實(shí)根.所以a>0.

不妨設(shè)-[SX（]1a[SX）]

構(gòu)造函數(shù)g（x）=ln（x+[SX（]1a[SX）]）-ln（x-[SX（]1a[SX）]）-2ax，

g ′（x）=[SX（]1x+[SX（]1a[SX）][SX）]-[SX（]1x-[SX（]1a[SX）][SX）]=[SX（]2a3x21-a2x2[SX）]>0，

函數(shù)g（x）在（0，[SX（]1a[SX）]）上為增函數(shù)，所以g（x）>g（0）=0，即f（x）>f（-x）在（0，[SX（]1a[SX）]）上恒成立.

所以f（x2）>f（-x2）<0，即f（x1）

得x1>-x2，即x1+x2>0.

策略五：以退為進(jìn)化歸前行

例5[K]（2015年湖北省七市聯(lián)考試卷）已知函數(shù)f（x）=2lnx-x2+ax （a∈[WZ]R[WBX]）.

（1）當(dāng)a=2時(shí)，求f（x）的圖象在x=1的處的切線方程；

（2）若函數(shù)f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A（x1，0）B（x2，0） （0

求證：f ′（[SX（]x1+x22[SX）]）<0 （其中f ′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)）.

分析（1）略.

（2）證明f ′（[SX（]x1+x22[SX）]）<0，先求出[SX（]x1+x22[SX）]，需要求出函數(shù)f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A（x1，0），B（x2，0）.利用高中知識(shí)求方程2lnx-x2+ax=0的根無(wú)法進(jìn)行，解題受阻.退一步，能否不求方程的根，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，化歸前行？

解析2lnx1-x21+ax1=0，2lnx2-x22+ax2=0，

兩式相減得a=（x1+x2）-[SX（]2（lnx1-lnx2）x1-x2[SX）].

f ′（x）=[SX（]2x[SX）]-2x+a

f ′（[SX（]x1+x22[SX）]）=[SX（]4x1+x2[SX）]-（x1+x2）+（x1+x2）-[SX（]2（lnx1-lnx2）x1-x2[SX）]

=[SX（]4x1+x2[SX）]-[SX（]2（lnx1-lnx2）x1-x2[SX）].

只需要證[SX（]4x1+x2[SX）]-[SX（]2（lnx1-lnx2）x1-x2[SX）]<0

[SX（]4（x1-x2）x1+x2[SX）]-（lnx1-lnx2）<0

[SX（]4（[SX（]x1x2[SX）]-1）[SX（]x1x2[SX）]+1[SX）]-ln[SX（]x1x2[SX）]<0.

令[SX（]x1x2[SX）]=t （0

設(shè)u（t）=[SX（]4（t-1）t+1[SX）]-lnt，

u′（t）=[SX（]（t-1）2t（t+1）2[SX）]>0，

所以函數(shù)u（t）在（0，1）上為增函數(shù)，u（t）

古代兵書(shū)中的三十六計(jì)最后一計(jì)“走為上計(jì)”即欲進(jìn)先退，數(shù)學(xué)解題中“走”有時(shí)也不失為“上策”.不少數(shù)學(xué)題若強(qiáng)行推進(jìn)“則舉步維艱”，但若“后退一步”，可能就是海闊天空.給思維留下廣闊的回旋空間，對(duì)問(wèn)題的思考?？煞寤芈忿D(zhuǎn)，讓思維活動(dòng)能左右逢源，打開(kāi)了解題的通道.所以我們?cè)诮忸}中如果遇到困難，不妨主動(dòng)地心平氣和地先退回來(lái)，退到哪里去？退到基礎(chǔ)的地方去，推導(dǎo)問(wèn)題的本質(zhì)上去.如退到定義、公式或簡(jiǎn)單情況等處去，改變自己的思維方向，以退為進(jìn)，柳暗花明.

[BP（]相關(guān)練習(xí)

1（2013年全國(guó)新課標(biāo)卷）已知函數(shù) .

（1）設(shè) 是 的極值點(diǎn)，求 ，并討論 的單調(diào)性；

（2）當(dāng) 時(shí)，證明 .

2（2015安徽明校沖刺卷）已知函數(shù)

（1）當(dāng) 時(shí)，求 的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù) 的圖像與 軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn) ，

求證：

3已知函數(shù) 的圖象在點(diǎn) （e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）處的切線斜率為3.

（1）求實(shí)數(shù) 的值；

（2）若 k∈Z，且 對(duì)任意 恒成立，求 的最大值.[BP）]