一節(jié)數(shù)學(xué)活動課引起的四問反思

吳熙婷

摘 要：從數(shù)學(xué)活動課《探究四點共圓的條件》的前期準備與課堂實踐，揣摩對教材文本的解讀方式和課堂詮釋的具體策略，通過問題反思，梳理對數(shù)學(xué)活動目的達成的積極因素，促成學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的體悟與積淀。

關(guān)鍵詞：活動；問題；定位；資源

數(shù)學(xué)活動課是課程結(jié)構(gòu)的一個重要部分，是指以在教學(xué)過程中構(gòu)建具有教育性、創(chuàng)造性、實踐性的學(xué)生主題活動為主要形式，以激勵學(xué)生主動參與、主動實踐、主動思考、主動探索、主動創(chuàng)造為基本特征，以促進學(xué)生整體素質(zhì)全面提高為目的的一種新型教學(xué)觀和教學(xué)形式。

同一節(jié)數(shù)學(xué)活動課，一千個老師，便將有一千個解讀方式和詮釋的策略，來影響一千個班級的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與積淀。從初三數(shù)學(xué)活動課《探究四點共圓的條件》的前期準備與課堂實踐中，真切感受一句話：事非經(jīng)過不知難，事非經(jīng)過不知“道”。道是一個首和一個走之底組成的，聯(lián)合起來就表示“從頭開始行走”。對數(shù)學(xué)活動課的研究還未成型，的確需要教師從頭開始行走啟程，展開對教材內(nèi)外資源的揣摩與探究。

一、數(shù)學(xué)活動課的定位

問題1：數(shù)學(xué)活動課怎樣不會流于形式？

“數(shù)學(xué)活動課”即數(shù)學(xué)+活動，活動的生成層次、學(xué)生主體的覆蓋面都是反映活動課教學(xué)特征的重要維度，決定“活動”是只走了形式，還是“走心”走到學(xué)生心里去，學(xué)生真正獲得研究方法的習(xí)得。

（一）活動課不等同于常規(guī)新授課

新授課的內(nèi)容主要包含數(shù)學(xué)概念、定理、法則等的形成、推導(dǎo)，并應(yīng)用在解決問題，穿插活動是它的學(xué)習(xí)方法之一，而不是主題。而數(shù)學(xué)活動課更多的應(yīng)該是要提供給學(xué)生一個探究的步驟：一個數(shù)學(xué)結(jié)論當初是從何而來的，它的過程和方法可能、可以是什么樣子的？如本節(jié)課的探究途徑設(shè)計：定研究對象—畫實例特例—抓特征要素—篩選核心條件，學(xué)生有一個親身的體驗和直觀的借鑒。在《探究四點共圓的條件》中，定研究對象選擇的是四邊形的四個頂點，不是平面內(nèi)隨意分散的任意圖形上的四點，這保證了研究對象的純粹性；接著，不斷地嘗試畫實例（四邊形）、特例（特殊的平行四邊形），抓特征要素：從四邊形的基本元素—邊、角、對角線進行特征的分析，在不斷地尋找—否決—再尋找—再否決的活動過程中，篩選獲得真正的核心條件。

（二）數(shù)學(xué)活動課不等同于復(fù)習(xí)課或超綱課

復(fù)習(xí)課將割裂的章節(jié)內(nèi)容進行整體性的串聯(lián)建構(gòu)，使知識鏈系統(tǒng)化，綜合運用，提煉思想方法。數(shù)學(xué)活動課經(jīng)常都在章末附上，但它也不應(yīng)該是復(fù)習(xí)課或者超綱知識的補充課，因為它有自己獨特的意義所在。因此，本節(jié)課活動一的舊知復(fù)習(xí)和活動五的共圓的模型應(yīng)用都放在課下，課上只做快速的回顧，只為活動的必備認知和技能做一個鋪墊和延伸。數(shù)學(xué)活動課的生活信息素材或者數(shù)學(xué)事實資料以及活動課所生成的結(jié)論，都只作為展開數(shù)學(xué)活動的載體。相對于活動本身，超綱的活動結(jié)論不是學(xué)生真正需要的東西，兩者間顯然是授之于“漁”或是“雜魚”的區(qū)別。

二、數(shù)學(xué)活動課的進入角度

問題2：基于教材載體，怎樣為數(shù)學(xué)活動課尋找篩選恰當?shù)乃夭馁Y源，更好地與活動的切入點有機地聯(lián)系起來？

（一）數(shù)學(xué)猜想的發(fā)散

猜想總是很發(fā)散的，要怎么收攏呢？第一稿中筆者曾考慮怎么讓學(xué)生去猜想“四點共圓的條件”會是“角”的方向？曾設(shè)計了一個圍繞圓周角的性質(zhì)——圓的內(nèi)接四邊形對角互補，反之撤掉圓的背景，對角互補的四邊形四個頂點會落在同一個圓上；又如“同弧所對圓周角相等”基本圖形，反之，若共一邊的兩個三角形公共邊所對的角相等，則這兩個三角形的四個頂點也共圓等等。這其實也就是圓周角的性質(zhì)定理和它的逆向猜想。這樣的設(shè)計，可能受到的影響來自于曾經(jīng)學(xué)過的平行線的性質(zhì)和判定、全等的性質(zhì)和判定、特殊四邊形的性質(zhì)和判定等等教材章節(jié)。作為數(shù)學(xué)課程改革基本思路指導(dǎo)下，以創(chuàng)新課堂教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)方式為方向的活動課，太過明確而顯得狹隘的猜想，或者活動已經(jīng)失去了開始的探究創(chuàng)新意義。因此，活動課的設(shè)計結(jié)構(gòu)與教材的整體建構(gòu)是有所不同的，學(xué)生個體的差異性是促成基于活動過程獲得猜想的全面性和獨特性的自然起點。

具體地說，為什么本節(jié)課最終的結(jié)論是關(guān)于“對角”的？在活動的開始，首先引導(dǎo)四邊形的要素是什么？學(xué)生會回憶，一般是看邊、看角、看對角線！那么為四點共圓選擇條件時，邊的角度出發(fā)為什么不提？對角線為什么不說？這就是得到數(shù)學(xué)結(jié)論的過程中，不可也不該繞道回避的真正問題。從特殊圖形出發(fā)尋找共性條件，特例從哪里開始，比如為什么從平行四邊形開始？可不可以從矩形開始？學(xué)生也可以從正方形開始，因為它擁有平行四邊形中的最強條件。學(xué)生無論從哪里進入，一切基本元素具備的圖形特征皆有可能是四點共圓的條件之一。

（二）數(shù)學(xué)猜想的收攏

在具體的教材資源處理上，如本節(jié)課在畫實例特例的篩選時，若畫圖已發(fā)現(xiàn)矩形可以四點共圓，那正方形作為更特殊的矩形，也可以四點共圓；經(jīng)常會與矩形比照的四邊形是菱形，發(fā)現(xiàn)菱形不可以四點共圓，作為存在的反例，那么平行四邊形就不一定四點共圓了等等，這樣將特殊四邊形之間進行關(guān)聯(lián)性的思考，會發(fā)現(xiàn)原來教材上提供的6個基本圖形頓時就鮮活生動起來，所以教材的處理真的是一門大學(xué)問，學(xué)生從中可發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的奇妙之處，鍛煉邏輯推理能力。

數(shù)學(xué)活動課多以閱讀材料的形式給出，篇幅很有限，開放度卻高。因此活動課備課難度較大，它的“難”很大程度上在于怎樣從無到有，為數(shù)學(xué)活動課尋找、篩選恰當?shù)乃夭馁Y源。在課前相關(guān)資源收集時，就曾發(fā)現(xiàn)一大堆的四點共圓的條件，有些屬于高中階段，甚至是競賽范疇內(nèi)的。因此這個剔除不相干因素的過程也是數(shù)學(xué)活動的必經(jīng)之路和重要組成。

三、數(shù)學(xué)活動的作業(yè)設(shè)計

問題3：數(shù)學(xué)活動課的作業(yè)可以怎樣設(shè)計來延續(xù)強化、觀察評估活動課的效果？

數(shù)學(xué)活動課以學(xué)生活動能力的發(fā)展狀況為評價關(guān)注對象，觀察活動課對各層次學(xué)生可能發(fā)生的數(shù)學(xué)學(xué)科價值。因此，其課后作業(yè)應(yīng)成為“活動”的助力，延續(xù)活動的基本路徑，更看重創(chuàng)造力、質(zhì)疑能力，沒有統(tǒng)一的標準答案，沒有單一的評價指標。

在本節(jié)《探究四點共圓的條件》活動課的最后，設(shè)計拋出新問題，延伸把“活動”二字進行到底，比如研究目標設(shè)置為：有公共邊的兩個三角形要滿足什么條件能確定四點共圓呢？學(xué)生可以結(jié)合今天的數(shù)學(xué)活動流程，自行設(shè)計從三角形的角度出發(fā)，進行大膽的探究：三角形的要素又是什么呢？（如邊、角元素）；什么樣的三角形算得上是三角形的特例呢？特殊三角形都有哪些呢？（如等邊三角形、等腰直角三角形等），學(xué)生自己就可設(shè)計幾個特例來簡單、全面地說明判定條件的由來與邊無關(guān)，與公共邊所對的兩個角有關(guān)系。

四、數(shù)學(xué)活動的主體生成與主導(dǎo)預(yù)設(shè)

問題4：活動課上的教師與學(xué)生，主導(dǎo)與主體如何把握？

（一）教師主導(dǎo)預(yù)設(shè)

1.數(shù)學(xué)活動的時機把握

活動課里的過渡和銜接有賴于老師的引導(dǎo)?；顒幽康牡慕沂?，活動流程指令的清晰度，其實也是一節(jié)活動課充分活動的保障。從特殊條件出發(fā)尋找四點共圓的共性條件里，以共同完成一個圖形的一“畫”（四邊形）二“試”（四頂點可否共圓）三“尋”（四邊形的要素特征）四“斷”（特征與共圓之間的判定關(guān)系是否成立）為示范，可以有意識地避免學(xué)生停留于光畫圖嘗試，不經(jīng)歷猜想思辨，迷失活動目標，造成活動課無序的情況，保證活動課的前進與深入?；顒又匦膹氖裁吹胤介_始，包括每畫一個圖形便分析一個圖的特征，判斷特征的作用，追問學(xué)生對條件的分解，觀察學(xué)生活動的進展，促成學(xué)生的活動成果加工梳理，通過思維導(dǎo)圖橫向比對，先把圖形畫出來再全部羅列分析，需要老師的伺機推動與有效組織。

2.數(shù)學(xué)活動課的細節(jié)

活動課的起點基于學(xué)情，活動中的細節(jié)設(shè)計同樣服務(wù)于學(xué)生活動的便捷。本節(jié)課里，為什么共斜邊的兩個直角三角形組合的四邊形教學(xué)設(shè)計用坐標定位？因為由觀察坐標可迅速獲得線段（邊）長度，再由勾股定理逆定理獲得最長邊所對的角是直角；為什么用格點圖作為背景素材？為了避免學(xué)生隨意作圖可能造成的較大誤差，誤導(dǎo)活動基于圖形得到的猜想結(jié)果，方格紙的標準化，可以直觀、快速給予參考。教師要設(shè)計活動中有用、好用的活動工具。

（二）學(xué)生主體生成

1.學(xué)生在活動中的獨立性

學(xué)生個體學(xué)習(xí)活動經(jīng)驗和生成資源就是最好的課堂資源?；顒诱n重視學(xué)生個人獨立嘗試，比如尋找得到的條件之間的重復(fù)、包含、比對需要學(xué)生進行觀察研究、思辨整理。學(xué)生的思考方式與教師思維的相異性是客觀存在的，因此，拘泥于既定的活動途徑是數(shù)學(xué)活動課堂的大忌。在數(shù)學(xué)活動中，學(xué)生自己選擇不同的方向去探索，能在活動過程中更深層次地沉浸其中，在創(chuàng)新性的活動過程和出乎意料的成果中獲得不一樣的喜悅和期待。

2.學(xué)生在活動中的合作性

活動課在大致確定研究對象后，也可分組分工，學(xué)生的交往與碰撞或可獲得意料外的火花。不同組討論不同圖形進行共享，避免重復(fù)研究，最后的結(jié)論或更充分完整。在最后梳理時讓學(xué)生之間去表達互相質(zhì)疑，操作效果會更好，因為說的學(xué)生要想得明白才能說得明白，互相說的過程達到活動課的不同思維的碰撞。

參考文獻：

顧廣林.初中數(shù)學(xué)活動課的實踐與認識[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2010（9）.

編輯 張珍珍