阻尼矩陣建模方式對高土壩地震反應(yīng)計(jì)算的影響

董 云，陳萬濤，樓夢麟，徐家偉，宋天軍

（1.中國電建集團(tuán)成都勘測設(shè)計(jì)研究院有限公司，四川成都610072；2.同濟(jì)大學(xué)土木工程防災(zāi)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200092）

阻尼矩陣建模方式對高土壩地震反應(yīng)計(jì)算的影響

董 云1，陳萬濤1，樓夢麟2，徐家偉1，宋天軍1

（1.中國電建集團(tuán)成都勘測設(shè)計(jì)研究院有限公司，四川成都610072；2.同濟(jì)大學(xué)土木工程防災(zāi)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200092）

為研究阻尼矩陣對地震反應(yīng)的影響，通過理論分析討論高土石壩地震反應(yīng)中常用阻尼模型的特點(diǎn)和適用范圍。建立有限元模型，基于不同阻尼矩陣建模方式計(jì)算高土壩在不同地震波激勵下的地震反應(yīng)，并和頻域內(nèi)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較分析。結(jié)果表明：以壩體基頻構(gòu)建的阻尼模型，將低估壩體加速度反應(yīng)，而且隨著壩高增加，誤差明顯增大，對位移反應(yīng)影響較??；綜合考慮地震波頻譜特性構(gòu)建阻尼矩陣進(jìn)行地震反應(yīng)分析計(jì)算可能會達(dá)到更好的計(jì)算精度。

高土石壩；阻尼模型；地震反應(yīng)；時(shí)程分析

我國西南地區(qū)地質(zhì)構(gòu)造復(fù)雜，地震頻繁且位于高烈度地震活動區(qū)，修建高壩大庫必須考慮其抗震安全驗(yàn)算和抗震設(shè)計(jì)，保證強(qiáng)震作用下大壩的安全性，將風(fēng)險(xiǎn)降至最低［1-2］。

土石壩的地震反應(yīng)分析主要包括時(shí)域分析和頻域分析兩種方法。在動力計(jì)算時(shí)，阻尼模型的選取對土壩地震反應(yīng)分析結(jié)果有重要的影響。同濟(jì)大學(xué)樓夢麟等［3］對高土石壩地震反應(yīng)計(jì)算中不同阻尼模型的合理性進(jìn)行了討論；為了綜合考慮輸入地震波的頻譜特性，學(xué)者樓夢麟等［4］提出轉(zhuǎn)換頻率ωc的概念，利用非線性回歸方法，對模型在若干條地震波作用下的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析，得到阻尼系數(shù)轉(zhuǎn)換頻率取值的近似計(jì)算公式；作者對Rayleigh阻尼模型中阻尼系數(shù)的優(yōu)化也進(jìn)行了初步的討論［5-6］。

本文通過數(shù)值計(jì)算與理論分析，討論不同阻尼矩陣建模方式對高土石壩地震反應(yīng)計(jì)算的影響。

1 基本運(yùn)動方程及阻尼模型

1.1 基本運(yùn)動方程

對土石壩進(jìn)行地震反應(yīng)分析時(shí)，如果采用滯后阻尼假定，則運(yùn)動方程為：

式中i=-1為虛數(shù)單位。當(dāng)阻尼模型為黏滯阻尼時(shí)，其運(yùn)動方程為：

式（1）和式（2）中的［M］、［C］和［K］分別為體系的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；｛¨u（t）｝、｛˙u（t）｝和｛u（t）｝分別為整個(gè)分析體系的相對加速度分量、相對速度分量和相對位移分量；｛¨ug（t）｝輸入地震加速度；｛peff（t）｝為等效地震荷載分量；η為滯后阻尼系數(shù)；［I］為單位矩陣。

1.2 常用阻尼模型及討論

在有限元分析計(jì)算中，黏滯阻尼一般采用比例阻尼模型，分別依次簡稱為質(zhì)量比例阻尼模型、Rayleigh阻尼模型和剛度比例模型［7］，即：

一般情況下，上式中的比例系數(shù)通常取為：

式中：ω1為土石壩的基頻；ξ為結(jié)構(gòu)體系的振型阻尼比，在η值較小的情況下（如η≤0.15）與振型阻尼比ξ相一致；ωp為土石壩的高階振型圓頻率，通常取為ω2或ω3。

由式（1）和式（2）可得頻域方程：

對相同計(jì)算模型，在正弦波作用下，計(jì)算結(jié)果一致，可得頻域內(nèi)阻尼矩陣的計(jì)算公式：

式中：f為正弦波的頻率，由于實(shí)際地震波含有一系列不同的頻率分量，f為阻尼系數(shù)轉(zhuǎn)換頻率fc。在結(jié)構(gòu)體系的動力反應(yīng)計(jì)算中，結(jié)構(gòu)基頻f1對體系的貢獻(xiàn)最大，可以取fc=f1。當(dāng)輸入地震波的主要頻率成分與體系頻率比較接近時(shí)，體系動力計(jì)算的結(jié)果較為合理；如果結(jié)構(gòu)體系基頻與輸入地震波的主要頻率相差較大，可能會引起較大的誤差。尤其是結(jié)構(gòu)體系基頻遠(yuǎn)小于輸入地震波的主要頻率時(shí)，計(jì)算結(jié)果誤差更大。

將式（11）代入式（10），得到方程：

與式（9）相比，相當(dāng)于在迫振頻率分量中引入了ω/ω1的放大系數(shù)，由此造成結(jié)構(gòu)體系的阻尼增大，顯然要低估土石壩的地震反應(yīng)。

由此可見，在阻尼矩陣建立中應(yīng)該考慮輸入地震波的影響，以結(jié)構(gòu)基頻和輸入地震波的卓越頻率來計(jì)算Rayleigh阻尼模型的阻尼系數(shù)［8-9］，此外樓夢麟等［10-11］還提出以結(jié)構(gòu)基頻和輸入地震波Fourier譜的重心頻率來計(jì)算Rayleigh阻尼模型的阻尼系數(shù)的方法。

1.3 Rayleigh阻尼系數(shù)優(yōu)化方法

Rayleigh比例阻尼通常選取結(jié)構(gòu)的某兩階自振頻率及對應(yīng)的阻尼比來進(jìn)行阻尼系數(shù)的計(jì)算，當(dāng)振型阻尼比位于兩階自振頻率之間時(shí)，阻尼比變小，地震反應(yīng)結(jié)果偏大；當(dāng)振型阻尼比位于兩階自振頻率之外時(shí)，阻尼比變大，地震反應(yīng)結(jié)果偏小。因此學(xué)者潘旦光等［12-13］提出了Rayleigh阻尼系數(shù)的優(yōu)化計(jì)算方法。

該方法考慮結(jié)構(gòu)體系動力響應(yīng)分量的誤差，建立求解比例阻尼系數(shù)的優(yōu)化方程，計(jì)算不同阻尼比下輸入地震波的反應(yīng)譜，利用數(shù)學(xué)處理方法，求出輸入地震波反應(yīng)譜的導(dǎo)數(shù)。從而形成一個(gè)僅需地震反應(yīng)譜和結(jié)構(gòu)模態(tài)分析成果，即可得到綜合考慮結(jié)構(gòu)自振頻率特性、輸入地震波頻譜特性的比例阻尼系數(shù)的計(jì)算方法［14-15］。

2 不同阻尼模型的高土壩地震反應(yīng)

為了研究不同阻尼模型對高土石壩地震反應(yīng)的影響，本文選取了三種不同壩高但斷面比例相似的大壩作為研究對象，計(jì)算其在三條不同地震波激勵下的地震反應(yīng)。高土壩兩邊坡度分別為1∶3和1∶2.75，高度分別為100 m、200 m和300 m。計(jì)算模型壩體材料假定為黏土，黏土密度為1 820 kg/m3、楊氏模量為730 MPa、最大剪切模量為27.1 MPa。限于篇幅僅給出高度為200 m土壩的有限元網(wǎng)格，如圖1所示。

圖1 土壩有限元計(jì)算模型（高度200 m）

根據(jù)前文描述，按以下7種阻尼矩陣建模方式來計(jì)算土壩的地震反應(yīng)。

式中：ω1和ω3分別為高土壩第一、三階模態(tài)自振頻率；ωc為轉(zhuǎn)換頻率；ωr為輸入地震波的卓越頻率；ωs為輸入地震波Fourier譜的重心頻率；ωa和ωb根據(jù)阻尼系數(shù)優(yōu)化方法計(jì)算的頻率。

計(jì)算模型前5階的自振圓頻率如表1所示。

表1 計(jì)算模型前5階自振頻率

本文選擇Hachinohe波、Northridge波及Loma Prieta波的加速度記錄作為輸入，并給出每條地震波的Fourier譜，如圖2所示。

圖2 輸入地震波加速度及Fourier譜

在不同地震動輸入下，假定頻域內(nèi)計(jì)算結(jié)果為精確解，計(jì)算得出不同阻尼模型下的土壩反應(yīng)結(jié)果，和精確解進(jìn)行對比，通過在不同高度不同地震輸入下的誤差分析，討論各個(gè)阻尼計(jì)算模型的精確性。表2～表4中列出了不同阻尼模型在地震波激勵下壩頂絕對加速度及其相對誤差，表5～表7中列出了計(jì)算所得壩頂相對位移峰值及其相對誤差，其中式（13）～式（19）表示本文所提的阻尼模型。

根據(jù)表2～表7計(jì)算結(jié)果可以看出，在不同阻尼矩陣下，位移和應(yīng)力的誤差變化差異較大，加速度的誤差變化相對來說更大，因此當(dāng)強(qiáng)度控制工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，阻尼矩陣的建模方式更值得注意。從加速度計(jì)算結(jié)果可以看出，隨著高度的增加，壩頂加速度峰值減小。

表2 Hachinohe 波作用下加速度反應(yīng)峰值及誤差

表3 Northridge 波作用下加速度反應(yīng)峰值及誤差

表4 Loma Prieta 波作用下加速度反應(yīng)峰值及誤差

表5 壩頂相對位移反應(yīng)峰值及誤差（Hachinohe波）

對于采用質(zhì)量比例阻尼的模型1和采用剛度比例阻尼的模型2，用基頻會明顯的低估壩頂?shù)募铀俣确磻?yīng)，并且地震波高頻成份越豐富計(jì)算誤差越大，同時(shí)誤差隨著壩高的增加而增大。

對于利用結(jié)構(gòu)1階、3階模態(tài)來計(jì)算Rayleigh阻尼系數(shù)的模型3來說，由于輸入地震波頻率成份差異較大，造成兩階自振頻率之間的振型阻尼比小于真實(shí)阻尼比，而在兩階自振頻率之外的振型阻尼比大于真實(shí)阻尼比，分別高估和低估了這些振型對外部激勵的動力反應(yīng)。

表6 壩頂相對位移反應(yīng)峰值及誤差（Northridge波）

表7 壩頂相對位移反應(yīng)峰值及誤差（Loma Prieta波）

對于考慮阻尼轉(zhuǎn)換系數(shù)的模型4，當(dāng)壩高較低時(shí)僅考慮結(jié)構(gòu)的基頻計(jì)算阻尼低估的壩頂加速的反應(yīng)；但當(dāng)壩高較高時(shí)，誤差有所減小。但該方法僅僅選用14條實(shí)際地震波進(jìn)行回歸分析，并不能代表所有地震波的情況，局限性較大，相同模型在不同地震波輸入下可能會產(chǎn)生較大的誤差。

綜合考慮結(jié)構(gòu)的自振頻率與地震波的頻譜特性來確定阻尼系數(shù)的模型5和模型6，地震反應(yīng)誤差相對較小。但是對于卓越頻率和基頻相差較大或者高頻成份較為豐富的地震輸入，可能使得兩階自振頻率的頻譜成份較多，從而高估這些振型對外部激勵的動力反應(yīng)。

采用優(yōu)化系數(shù)的阻尼模型7誤差相對較小，但是在不同地震波輸入下，加速度和位移反應(yīng)并不能同時(shí)取得較為合理的分析結(jié)果，阻尼矩陣的建立需要考慮地震波的頻譜特性。

3 結(jié) 論

（1）在時(shí)域中計(jì)算高土石壩的地震反應(yīng)時(shí)，選取振型數(shù)量的多少會改變實(shí)際阻尼比的計(jì)算結(jié)果，若計(jì)算地震響應(yīng)時(shí)需要較多的振型時(shí)，僅僅考慮前幾階振型可能會產(chǎn)生較大的誤差，不足以控制整個(gè)結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)。

（2）總體上看，若以土壩計(jì)算模型的第一階頻率來計(jì)算阻尼系數(shù)，形成阻尼矩陣，可能使加速度計(jì)算結(jié)果偏小，土壩高度越大，誤差可能越大，而對位移反應(yīng)的影響較小。

（3）阻尼模型5、模型6采用模型第一階頻率與地震波的特征頻率形成阻尼矩陣，位移和加速度反應(yīng)的計(jì)算誤差較小。阻尼系數(shù)優(yōu)化方法綜合結(jié)構(gòu)自振振型和地震波頻率特性建立阻尼矩陣，計(jì)算誤差相對最小，且不會低估壩體反應(yīng)。

（4）一般情況下實(shí)際地震波的特征頻率一般在3 Hz～4 Hz之間，當(dāng)高階振型對計(jì)算模型的地震反應(yīng)的貢獻(xiàn)較為顯著時(shí)，綜合考慮地震波頻譜特性構(gòu)建阻尼矩陣進(jìn)行地震反應(yīng)分析計(jì)算可能會達(dá)到更好的計(jì)算精度。

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Influence of Damping Matrix Modeling on Seismic Response Analysis of High Earth－rock Dam

DONG Yun1，CHEN Wantao1，LOU Menglin2，XU Jiawei1，SONG Tianjun1
（1.Power China Chengdu Engineering Corporation Limited，Chengdu，Sichuan 610072，China；2.State Key Laboratory for Disaster Reduction in Civil Engineering，Tongji University，Shanghai 200092，China）

In order to study the effect of damping matrix of earthquake response，a theoretical analysis method was used to show the characteristics and applicable scope of traditional damping model.The influence of different damping models in seismic response analysis of high earth dams was analyzed.The linear seismic response was presented for high earthrock dam in time domain by using implicit algorithms based on different damping matrix，a comparison of the results by the time domain method and by the frequency domain method was given to show the difference of damping models.The results showed that the frequency characteristic of earthquake wave could have great influence on the earthquake response of earth－rock dams，the damping model with fundamental frequency of dam，the acceleration response could be underestimated，moreover，with the dam height increases the error increased significantly，the displacement has little effect.Considering the spectral characteristics of seismic wave damping matrix construct seismic response analysis and calculation may achieve better accuracy.

high earth－rock dam；damping model；seismic response；time history analysis

TV312

A

1672—1144（2016）05—0095—05

10.3969/j.issn.1672-1144.2016.05.018

2016－07－14

2016－08－29

國家“十二五”科技支撐計(jì)劃項(xiàng)目（2013BAC05B04）

董 云（1983—），男，甘肅武威人，博士，高級工程師，主要從事工程結(jié)構(gòu)抗震方面的工作。E－mail：tsssdy@163.com