記清公式 厘清概念 理清思路

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，高考中具有重要的地位.在考試說明（江蘇）中屬于“C”級(jí)要求，是八大重要考點(diǎn)之一，主要考查數(shù)列的概念、公式、性質(zhì)及其綜合應(yīng)用.透視歷屆學(xué)生的易錯(cuò)題，往往因?yàn)槌鯇W(xué)時(shí)其中的公式、概念、方法理解不透徹，進(jìn)而導(dǎo)致出錯(cuò).在后續(xù)學(xué)習(xí)和考試中，怎樣才能避免重蹈覆轍呢？筆者結(jié)合自己的理解，擬以如何準(zhǔn)確把握常見易錯(cuò)題的視角，將部分易錯(cuò)題進(jìn)行分類，剖析錯(cuò)誤、給出正解、并指出應(yīng)對(duì)的方略.

一、記清公式

雖然教材上數(shù)列的基本公式較少，但其變式的靈活性、數(shù)列的抽象性和限制條件的多樣性很容易導(dǎo)致解答時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

易錯(cuò)點(diǎn)1“前幾項(xiàng)”出錯(cuò)

例1已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，若Sn=2n2+3n-1，求an.

錯(cuò)誤解答：∵Sn=2n2+3n-1，∴Sn-1=2（n-1）2+3（n-1）-1=2n2-n-2，

∴an=Sn-Sn-1=4n+1.

錯(cuò)因分析：此解法直接利用“Sn-Sn-1”求“an”，忽略了由“Sn”求“Sn-1”時(shí)，“n”要滿足“n≥2”這個(gè)條件，忽視了a1的特殊性.

正確解答：1° 當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=4；

2° 當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=4n+1.

綜上所述，an=4n=14n+1n≥2.

準(zhǔn)確把握：記清公式an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2，只有當(dāng)“n=1”的結(jié)果能并入“n≥2”的式子，才能合成一個(gè)式子，否則必須寫成分段函數(shù)的形式.

易錯(cuò)點(diǎn)2“等比數(shù)列求和”出錯(cuò)

例2在等差數(shù)列中{an}中，a1=1，前n的和Sn滿足S2nSn=4n+2n+1，n∈N*.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

（2）記bn=（2an+1）pan（p>0），求{bn}的前n項(xiàng)和Tn.

錯(cuò)誤解答：（1）設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，

∴S2nSn=2n+2n（2n-1）2dn+n（n-1）2d=4dn-2d+4dn+2-d，

∵S2nSn=4n+2n+1，∴4dn-2d+4dn+2-d=4n+2n+1，易得d=1，∴an=n.

（2）∵an=n，∴bn=（2n+1）pn，∴Tn=3p+5p2+…+（2n-1）pn-1+（2n+1）pn，

∴pTn=3p2+5p3+…+（2n-1）pn+（2n+1）pn+1，∴（1-p）Tn=3p+2（p2+…+pn）-（2n+1）pn+1①

=3p+2p2（1-pn）1-p-（2n+1）pn+1，

∴Tn=3p1-p+2p2（1-pn）（1-p）2-（2n+1）pn+11-p②

錯(cuò)因分析：對(duì)于問題（2）采用“錯(cuò)位相減法”求和，①式中的“p2+…+pn”是一個(gè)等比數(shù)列的和，其項(xiàng)數(shù)為“n-1”，錯(cuò)為“n”項(xiàng).且由于“p>0”，求和時(shí)還必須討論“p=1”和“p≠1”.

正確解答：（上同）1° 當(dāng)p=1時(shí)，bn=2n+1，∴Tn=n2+2n.

2° 當(dāng)p≠1時(shí)，∴（1-p）Tn=3p+2（p2+…+pn）-（2n+1）pn+1

=3p+2p2-pn+11-p-（2n+1）pn+1

=3p-p21-p-（21-p+2n+1）pn+1，

∴Tn=3p-p2（1-p）2-2（1-p）n+3-p（1-p）2pn+1.

準(zhǔn)確把握1：等比數(shù)列的求和公式：

Sn=na1q=1a1（1-qn）1-q=a1-anq1-qq≠1

首先，運(yùn)用公式時(shí)，要討論“公比q”是否為“1”；其次，當(dāng)q≠1時(shí)，若項(xiàng)數(shù)不能確定，可以采用公式Sn=a1-anq1-q.

準(zhǔn)確把握2：“歸納”是一種重要的合情推理，而在數(shù)列中問題的條件大多是一些對(duì)n∈N*均成立的等式，我們可以從特殊的前幾項(xiàng)入手進(jìn)行歸納推理，或研究其相鄰的式子.例如，本題中的第（1）問，由于已經(jīng)知道是等差數(shù)列，所以可以采用“特殊化”的想法，求出“d”即可.具體做法如下：

∵S2nSn=4n+2n+1，n∈N*，∴S2S1=4+21+1=3，∴S2=3S1=3a1=3，

∴a2=S2-S1=2，∴an=n.

將“n∈N*均成立的等式”采用特殊化法，明顯簡單多了，直接影響著問題解決的速度.

二、厘清概念

易錯(cuò)點(diǎn)3“等差（比）數(shù)列”的概念

無論是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，其概念無疑是最重要的.例如，等差數(shù)列的定義是“從第二項(xiàng)開始，后項(xiàng)與前項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)”，如果將“an”看成后項(xiàng)，則“an-1”是前項(xiàng)，等差數(shù)列的概念就可以用數(shù)學(xué)符號(hào)簡潔地表達(dá)：“an-an-1=d”，但必須加上條件“n≥2”這樣才能體現(xiàn)“從第二項(xiàng)開始”.

例3{an}，{bn}都是等差數(shù)列，前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，且SnTn=2n-13n+2，則a9b9=.

錯(cuò)誤解答：∵SnTn=2n-13n+2，不妨設(shè)：Sn=2n-1，Tn=3n+2，

∴a9=S9-S8=2；b9=T9-T8=3，∴a9b9=23.

錯(cuò)因分析：由“SnTn=2n-13n+2”，不可以設(shè)“Sn=2n-1，Tn=3n+2”，因?yàn)槿绻鸖n=2n-1，其通項(xiàng)為an=1n=12n≥2，不是等差數(shù)列.

正確解答：∵SnTn=2n-13n+2，不妨設(shè)：Sn=2n2-n，Tn=3n2+2n.

∴a9=S9-S8=33；b9=T9-T8=53，∴a9b9=3353.

準(zhǔn)確把握1：數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式都可視為定義域?yàn)檎麛?shù)集或其子集（從1開始）上的函數(shù)，因此在解題過程中要樹立函數(shù)思想及觀點(diǎn)，應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決問題.特別地，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=a1n+n（n-1）2d=d2n2+（a1-12d）n，它是關(guān)于n的沒有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)形式.反之，前n項(xiàng)和公式滿足形如Sn=An2+Bn所對(duì)應(yīng)的數(shù)列也必然是等差數(shù)列.等比數(shù)列中也有類似的結(jié)論：當(dāng)前n項(xiàng)和公式Sn=A+Bqn（A≠0，B≠0，q≠0、1），如果“A+B=0”則所對(duì)應(yīng)的數(shù)列也必然是等比數(shù)列.

例如：等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=（n-1）（n-2）（n2+10）n2+m+p，則m+p=.

略解：根據(jù)數(shù)列前n項(xiàng)和的特征，易知m=10，p=-2.

準(zhǔn)確把握2：本題還可以運(yùn)用“等差數(shù)列”的性質(zhì)：“若m+n=p+q=2t，則am+an=ap+aq=2at”.本題還可以這樣解：a9b9=a1+a17b1+b17=（a1+a17）×17（b1+b17）×17=S17T17=3353.

當(dāng)然，如果本題所求的變式為：“a9b7=”，“用性質(zhì)”不可求解，而上一種構(gòu)造數(shù)列的解法仍然可用.

易錯(cuò)點(diǎn)4“遞增（減）數(shù)列”的概念

例4已知an=n2-3kn+4，若數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，則k的取值范圍是.

錯(cuò)誤解答：∵an=n2-3kn+4是遞增數(shù)列，∴y=x2-3kx+4，在x≥1上是增函數(shù)，因?yàn)?，?duì)稱軸為x=3k2，所以，∴3k2≤1，得，k≤23.

錯(cuò)因分析：函數(shù)y=x2-3kx+4，x≥1上是增函數(shù)數(shù)列an=n2-3kn+4一定是增數(shù)列，但是，“數(shù)列an=n2-3kn+4一定是增數(shù)列”a1

正確解答：∵an=n2-3kn+4是遞增數(shù)列，∴an

（n+1）2-3k（n+1）+4>n2-3kn+4，n≥1，n∈N恒成立3k<2n+1，n≥1，n∈N恒成立3k<（2n+1）min（n≥1）k<1.

準(zhǔn)確把握：處理數(shù)列問題，首先要“厘清”問題中的概念，我們初學(xué)時(shí)如果只記住概念的大概，后續(xù)學(xué)習(xí)時(shí)往往會(huì)在一些細(xì)微處犯錯(cuò)，“一失全無”，所以我們要在對(duì)易錯(cuò)題的反思中，準(zhǔn)確地把握概念.對(duì)于本題，由于數(shù)列是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集的特殊函數(shù)，作為“函數(shù)”的數(shù)列，其圖象是“一組離散的點(diǎn)”，數(shù)列所對(duì)應(yīng)的函數(shù)若單調(diào)則數(shù)列一定單調(diào)，但數(shù)列單調(diào)，其所在的函數(shù)不一定單調(diào)，處理數(shù)列的單調(diào)性問題，宜用“數(shù)列單調(diào)性的定義”轉(zhuǎn)化為“不等式恒成立問題”.數(shù)列的性質(zhì)與函數(shù)的性質(zhì)有共性也有個(gè)性.再如：數(shù)列的最大（?。╉?xiàng)問題.

變式：已知an=n+7n，則{an}的最小項(xiàng)的值為.

如果把數(shù)列錯(cuò)當(dāng)成連續(xù)的函數(shù)，易錯(cuò)得答案“27”.事實(shí)上，這里的“n”取不到“7”，但其最小項(xiàng)卻與“7”有關(guān)，結(jié)合圖象可知，是其附近的橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)，∵a2=112>a3=163，所以最小項(xiàng)為a3=163.

數(shù)列中常見的易錯(cuò)題還有很多，由于篇幅的限制，本文僅給出了一些最常見問題的處理方法，雖然無法窮盡其類型，但我們?nèi)绻麥?zhǔn)確把握直面易錯(cuò)題的方略：記清公式、厘清概念、分清方法，學(xué)習(xí)的效果將會(huì)事半功倍！

（作者：陸賢彬，江蘇省靖江高級(jí)中學(xué)）