多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局拓?fù)鋬?yōu)化中處理組件干涉約束的懲罰函數(shù)方法

朱繼宏， 郭文杰， 張衛(wèi)紅， 何飛

西北工業(yè)大學(xué) 工程仿真與宇航計算技術(shù)實(shí)驗室， 西安 710072

多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局拓?fù)鋬?yōu)化中處理組件干涉約束的懲罰函數(shù)方法

朱繼宏*， 郭文杰， 張衛(wèi)紅， 何飛

西北工業(yè)大學(xué) 工程仿真與宇航計算技術(shù)實(shí)驗室， 西安 710072

包含大量組件的多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計中存在大量的組件干涉約束，研究了包含大量組件的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)整體式拓?fù)洳季謨?yōu)化設(shè)計問題，基于有限包絡(luò)圓方法(FCM)提出了處理組件干涉約束的懲罰函數(shù)方法，構(gòu)造了包含結(jié)構(gòu)剛度和組件之間幾何干涉函數(shù)的內(nèi)外混合懲罰函數(shù)，應(yīng)用基于梯度的優(yōu)化算法對包含數(shù)十個組件上百個干涉約束的多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行剛度優(yōu)化設(shè)計，得到了清晰的支撐結(jié)構(gòu)構(gòu)型和無干涉的組件布局位置，充分體現(xiàn)了提出的混合懲罰函數(shù)方法在解決多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計中組件干涉問題上的有效性和適用性。

拓?fù)鋬?yōu)化； 多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)； 混合懲罰函數(shù)； 干涉約束； 有限包絡(luò)圓法

結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計技術(shù)經(jīng)過近30年的發(fā)展和完善，已經(jīng)逐步成為概念設(shè)計階段的一個重要方法。到目前為止，拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)在科學(xué)研究及工程應(yīng)用領(lǐng)域都取得了顯著成就，已成為航空航天結(jié)構(gòu)設(shè)計中減輕結(jié)構(gòu)重量、提高系統(tǒng)性能的關(guān)鍵技術(shù)手段之一。隨著飛行器性能的不斷提高，飛行器結(jié)構(gòu)系統(tǒng)變得越來越復(fù)雜，飛行器需要搭載的設(shè)備也越來越多。與圖1所示的典型多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)示意圖相似，大多數(shù)飛行器結(jié)構(gòu)系統(tǒng)都可以看做是多個設(shè)備(稱組件或特征)以一定的支撐連接方式與主承力結(jié)構(gòu)進(jìn)行連接而構(gòu)成的多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。

圖1 典型多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)示意圖Fig.1 Illustration of a typical multi-component system

多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)拓?fù)洳季謨?yōu)化的本質(zhì)是實(shí)現(xiàn)組件的空間布局及其支撐結(jié)構(gòu)構(gòu)型的協(xié)同優(yōu)化設(shè)計，將組件從有效載荷轉(zhuǎn)化為承力件參與到傳力路徑布局中，實(shí)現(xiàn)組件、結(jié)構(gòu)的整體式設(shè)計。前期相關(guān)學(xué)者已開展了大量有益的工作，如Chicker-mane[1]、Li[2]和Ma[3]等將多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中互相分離的部分看做不同設(shè)計區(qū)域中的多種組件，組件的結(jié)構(gòu)構(gòu)型和支撐組件的連接位置通過基于密度點(diǎn)的拓?fù)鋬?yōu)化方法實(shí)現(xiàn)協(xié)同優(yōu)化；Zhu等[4-7]提出了基于密度點(diǎn)法的多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)拓?fù)洳季謪f(xié)同優(yōu)化技術(shù)，實(shí)現(xiàn)了組件的空間布局與支撐結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型的協(xié)同設(shè)計；張衛(wèi)紅等[8]近期提出了部件級多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的整體式布局優(yōu)化設(shè)計，實(shí)現(xiàn)了組件、部件位置與支撐結(jié)構(gòu)的協(xié)同優(yōu)化。圖2給出了典型多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化的示意圖。

多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)協(xié)同優(yōu)化面臨的主要挑戰(zhàn)之一是如何有效避免不同組件之間的干涉問題。組件數(shù)目過多會導(dǎo)致組件之間干涉約束函數(shù)的非線性程度增加，使求解變得困難。為了解決這種干涉問題，學(xué)者們提出了運(yùn)用如八叉樹法(Octrees)[9-10]、球體樹法(Sphere Trees)[11]以及基于S邊界樹法(S-bounds Based Trees)[12]等方法判斷不同組件之間的干涉重疊，不同組件的輪廓用一系列不同尺度的立方體或球體近似描述，然而這些方法的局限性在于其只能檢測干涉而無法計算干涉，這樣就無法判斷優(yōu)化問題的尋優(yōu)方向，也就很難獲得最優(yōu)解。因此，現(xiàn)有工作大多采用無需靈敏度分析的遺傳算法[13]和蟻群算法[14]等啟發(fā)式算法來研究包含系統(tǒng)質(zhì)心[13,15]和轉(zhuǎn)動慣量[16]等物理約束的空間裝填布局問題。

隨后，基于梯度優(yōu)化算法的一些方法被相繼提出，如Zhang 和 Zhu 等[17]提出了有限包絡(luò)圓方法(Finite Circle Method, FCM)，這種方法可以獲得組件之間干涉約束函數(shù)的靈敏度，在有限包絡(luò)圓方法中，組件輪廓用一系列包絡(luò)圓近似描述(三維組件為包絡(luò)球)，通過約束包絡(luò)圓之間的不干涉實(shí)現(xiàn)組件之間的不干涉。這種方法雖然可以解決組件之間的干涉問題，但是會引入大量的干涉約束函數(shù)，尤其在組件數(shù)目很多的情況下，由于干涉約束函數(shù)的非線性程度增加，保證組件之間不發(fā)生干涉十分困難，對于約束函數(shù)數(shù)目較多的優(yōu)化問題，相關(guān)學(xué)者通過一定的約束凝聚方式進(jìn)行處理，如P-norm函數(shù)、KS函數(shù)法[18]等。但是對于非線性程度很高的問題，約束凝聚也存在一定的局限性。除有限包絡(luò)圓方法外，單鵬[19]、Kang和Wang[20]提出水平集(Level-set)方法，該方法通過積分運(yùn)算強(qiáng)制約束組件之間的干涉區(qū)域面積為0以保證組件之間不發(fā)生干涉。

圖2 多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化示意圖 Fig.2 Illustration of integrated layout and topology optimization of a multi-component system

早期關(guān)于罰函數(shù)的研究工作是將帶約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題進(jìn)行求解，例如Courant[21]在1943年提出用罰函數(shù)求解微分方程。20世紀(jì)60年代，F(xiàn)iacco和Mccormick[22]提出了混合罰函數(shù)，用來求解包含等式、不等式的約束優(yōu)化問題，擴(kuò)大了罰函數(shù)的應(yīng)用范圍。Chen等[23]用混合罰函數(shù)修正了雞群算法(Chicken Swarm Optimization， CSO)，解決了帶約束優(yōu)化問題。Huang[24]、Jayswal[25]和Yu[26]等用不同形式的罰函數(shù)求解了帶約束優(yōu)化問題。

在此基礎(chǔ)上，本文提出應(yīng)用混合罰函數(shù)方法解決多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化設(shè)計中組件之間相互干涉的問題，應(yīng)用有限包絡(luò)圓方法描述組件的外形輪廓，組件與其支撐結(jié)構(gòu)之間的連接用多點(diǎn)約束技術(shù)(Multi-point Constraints，MPC)模擬[27]，通過罰函數(shù)將包含大量干涉約束的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成無干涉約束的優(yōu)化問題，以結(jié)構(gòu)的整體剛度最大為目標(biāo)對多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行協(xié)同優(yōu)化設(shè)計。

1 優(yōu)化設(shè)計模型定義

1.1 基于罰函數(shù)的干涉約束處理

前期學(xué)者的工作已經(jīng)表明，有限包絡(luò)圓方法在多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化設(shè)計中，可以很好地解決組件之間的干涉問題。事實(shí)上，要盡可能準(zhǔn)確地描述組件的外形需要定義大量的包絡(luò)圓，這樣勢必會導(dǎo)致干涉約束函數(shù)數(shù)目的增加，干涉約束函數(shù)的非線性程度也隨之增加，基于梯度的優(yōu)化算法很難實(shí)現(xiàn)對各個干涉約束函數(shù)的有效約束。

考慮式(1)所示形式的包含不等式約束的最優(yōu)化問題。

(1)

式中：f(x) 為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)；x為優(yōu)化問題設(shè)計變量；ci(x)為第i個優(yōu)化約束函數(shù)。

根據(jù)最優(yōu)化方法理論[27]，這里不加證明地給出上述約束最優(yōu)化問題的外懲罰函數(shù)形式為

minp(x,σ)=f(x)+

(2)

式中：σ為外懲罰因子。同樣地，該約束最優(yōu)化問題對應(yīng)的內(nèi)懲罰函數(shù)可以寫為

(3)

式中：κ為內(nèi)懲罰因子。

不同的是，外懲罰函數(shù)所求得的最優(yōu)解大多是從原優(yōu)化問題可行域外部趨向于可行域邊界的解，內(nèi)懲罰函數(shù)的尋優(yōu)范圍必須在可行域內(nèi)部。兩種構(gòu)造方式各有利弊，外懲罰函數(shù)可以求解一般約束問題，但無約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解往往是可行域外部趨于可行域邊界的解。內(nèi)懲罰函數(shù)只能求解不等式約束優(yōu)化問題，但能保證無約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解嚴(yán)格落在可行域內(nèi)。

事實(shí)上，上述懲罰函數(shù)構(gòu)造方式有時在求解時面臨一些困難。一方面，原優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)的數(shù)量級不同，構(gòu)造的無約束最優(yōu)化問題的性態(tài)很難保證，如果原目標(biāo)函數(shù)的數(shù)量級遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于約束函數(shù)，那么約束的影響就會很小，極易導(dǎo)致約束無法滿足，反之如果約束函數(shù)的數(shù)量級很大，則原目標(biāo)函數(shù)極有可能被覆蓋掉，導(dǎo)致優(yōu)化無法進(jìn)行。

本文中對懲罰函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，針對多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化設(shè)計方法，提出了新的歸一化的懲罰函數(shù)方法?？紤]由有限包絡(luò)圓方法引入的干涉約束函數(shù)：

(4)

這里先給出由干涉約束函數(shù)構(gòu)造的懲罰函數(shù)的懲罰項(見式(5))，包含結(jié)構(gòu)應(yīng)變能的無干涉約束最優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)稍后給出。

(5)

式中：第1個式子右端前后兩項分別記為外、內(nèi)懲罰項；α和β分別為外、內(nèi)懲罰因子；ri0和sj0分別為ri和sj對應(yīng)的初始值(初始值為非零可行解)。在懲罰函數(shù)范圍變化不大的情況下，通過上述變換可以有效避免因干涉約束函數(shù)數(shù)量級不匹配帶來的病態(tài)問題。其中l(wèi)1為所有非正的干涉約束函數(shù)的數(shù)目，m為干涉約束的總數(shù)目，在優(yōu)化過程中，每次迭代需要對干涉約束函數(shù)進(jìn)行判斷，對于非正的干涉約束函數(shù)采用外懲罰處理，對于大于0的干涉約束函數(shù)用內(nèi)懲罰處理。事實(shí)上，外懲罰項的作用是，當(dāng)干涉約束非正時，增大懲罰項值以使目標(biāo)增大，通過優(yōu)化算法將約束向可行域內(nèi)拉近，一旦約束函數(shù)跳入可行域內(nèi)，在內(nèi)懲罰項的作用下，越接近可行域邊界的函數(shù)受到的障礙作用越大，越不易逃離可行域，以此實(shí)現(xiàn)對各個干涉約束的有效控制。有必要指出，懲罰因子的選取對計算結(jié)果的好壞有重要影響，懲罰因子太大或太小都有可能得不到合適的最優(yōu)解，本文給出適用于本優(yōu)化問題的懲罰因子初始值，并定義迭代格式，使懲罰因子在給定的范圍內(nèi)迭代。

圖3 多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的有限包絡(luò)圓劃分示意圖Fig.3 Illustration of approximation of a multi-component system by finite circle method (FCM)

αt+1=2αt，t=1,2,…,iter,α1=1

(6)

βt+1=2βt,t=1,2,…,iter,β1=10 000

(7)

迭代終止的條件是相應(yīng)的外、內(nèi)懲罰項落在各自的控制誤差ε(ε=0.000 1)內(nèi)。t為迭代步次，iter為迭代進(jìn)行的總次數(shù)。給定外、內(nèi)懲罰因子的上限分別為10和106。

1.2 系統(tǒng)質(zhì)心位置約束

本工作引入系統(tǒng)質(zhì)心位置約束。對于多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)而言，通過杠桿原理可以得到系統(tǒng)的質(zhì)心位置為

(8)

式中：mε和mi分別為組件ε和設(shè)計域單元i的質(zhì)量；[xGyGzG]T、[xGεyGεzGε]T和[xGiyGizGi]T分別為系統(tǒng)、組件及設(shè)計域單元的質(zhì)心位置。

式(8)變形可得

(9)

對于給定的多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，質(zhì)心位置約束可以寫為

(10)

式中：ai、bi(i=1,2,3)構(gòu)成了相應(yīng)坐標(biāo)分量在全局坐標(biāo)系下的變動范圍。

1.3 優(yōu)化模型

應(yīng)用多點(diǎn)約束技術(shù)模擬組件與其支撐結(jié)構(gòu)之間的剛性連接，多點(diǎn)約束技術(shù)引入的多點(diǎn)約束方程是節(jié)點(diǎn)位移的線性組合，多個多點(diǎn)約束方程和邊界條件方程可以統(tǒng)一寫為

Hu=0

(11)

式中：H為由結(jié)構(gòu)單元的形狀函數(shù)、多點(diǎn)約束位置和邊界條件共同決定的系數(shù)矩陣；u為多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的整體位移向量。

考慮多點(diǎn)約束方程，修訂后的系統(tǒng)勢能可以寫為

(12)

式中：K和u分別為結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣和位移向量；F和λ分別為節(jié)點(diǎn)載荷和拉格朗日乘子向量。駐點(diǎn)處的歐拉公式可以寫為

(13)

求解式(13)可以得到u和λ。

優(yōu)化過程中，需要考慮組件布局、結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型這兩類設(shè)計變量，即

(14)

式中：(xε,yε,θε)為描述組件ε位置的幾何設(shè)計變量，包括平動及轉(zhuǎn)動坐標(biāo)；ηi為主結(jié)構(gòu)設(shè)計域單元i的偽密度設(shè)計變量；nca和nda分別為組件數(shù)目、結(jié)構(gòu)拓?fù)湓O(shè)計域單元數(shù)目。應(yīng)用Zhu和Zhang[7]提出的多項式插值模型對設(shè)計域結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計。

(15)

式中：mi和Ei分別為拓?fù)湓O(shè)計域單元i的質(zhì)量和彈性模量；mi0和E0分別為設(shè)計域單元i滿材料時的質(zhì)量和彈性模量。本文分別取γ和τ為16和4。

記系統(tǒng)的應(yīng)變能函數(shù)為C=(uTKu)/2，初始應(yīng)變能記為C0，引入提出的懲罰函數(shù)后，優(yōu)化目標(biāo)包含應(yīng)變能函數(shù)及組件干涉約束函數(shù)，構(gòu)造如式(16)所示的目標(biāo)函數(shù)。

(16)

式中：等號右端第1項，將應(yīng)變能函數(shù)與系統(tǒng)初始應(yīng)變能作比值，將其轉(zhuǎn)化為無量綱的量，比值取到極小值時，系統(tǒng)應(yīng)變能也取到極小值。包含系統(tǒng)應(yīng)變能和懲罰項的目標(biāo)函數(shù)將原來的含有組件干涉約束的約束最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無組件干涉約束的最優(yōu)化問題求解，避免了分別約束各個干涉約束函數(shù)導(dǎo)致的因約束函數(shù)非線性程度過大而無法實(shí)現(xiàn)有效約束的問題，當(dāng)懲罰因子取得合適的值時，式(16)的極小值就是其對應(yīng)的等號右端第1項的極小值[28]。

引入多點(diǎn)約束技術(shù)的多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)滿足的約束條件為

(17)

式中：V和VU分別為結(jié)構(gòu)材料用量及其上限；Γε和ΓD分別為組件及設(shè)計域所占空間。

2 靈敏度求解

2.1 懲罰函數(shù)靈敏度求解

首先推導(dǎo)無組件干涉約束的目標(biāo)函數(shù)P對結(jié)構(gòu)構(gòu)型拓?fù)鋬?yōu)化偽密度設(shè)計變量的靈敏度。

式(16)兩端同時對拓?fù)湓O(shè)計單元偽密度設(shè)計變量求偏導(dǎo)可得：

(18)

式中：C0為常數(shù)，易知由干涉約束函數(shù)構(gòu)成的懲罰項對偽密度設(shè)計變量的靈敏度?Q/?ηi=0，因此，只要求出系統(tǒng)應(yīng)變能函數(shù)對偽密度設(shè)計變量的靈敏度并代回式(18)即可。

式(13)中第1式兩端同時對偽密度設(shè)計變量求偏導(dǎo)可得：

(19)

假設(shè)F=f+G，其中f為設(shè)計無關(guān)載荷，G為設(shè)計相關(guān)載荷，如重力、慣性力、離心力等。設(shè)計無關(guān)載荷f對偽密度設(shè)計變量的靈敏度為0，因此式(13)中第1式可以簡化為

(20)

結(jié)構(gòu)總體應(yīng)變能可以表達(dá)為

(21)

聯(lián)立式(19)～式(21)，應(yīng)變能對偽密度設(shè)計變量ηi的靈敏度可以寫為

(22)

根據(jù)已知的?HT/?ηi=0，可以得到：

(23)

由于uTHT=0，故式(23)可以簡化為

(24)

式(24)中設(shè)計相關(guān)載荷G和整體剛度矩陣K可根據(jù)材料質(zhì)量和材料插值模型求得。結(jié)構(gòu)整體位移向量u可以通過一次有限元分析得到。將式(24)代入到式(18)可以求得：

(25)

式(16)兩端同時對組件平動幾何設(shè)計變量ξi求偏導(dǎo)得：

(26)

先求應(yīng)變能函數(shù)對組件幾何設(shè)計變量的偏導(dǎo)，可得：

(27)

(28)

由?F/?ξi=0，uTHT=0，可以得到：

(29)

假設(shè)ξi是第i個組件的平動坐標(biāo)設(shè)計變量，由于在有限元分析過程中組件平動不會影響總體剛度矩陣，可知?K/?ξi=0，這樣式(29)就可以簡化為

(30)

如果ξi是第i個組件的轉(zhuǎn)動坐標(biāo)設(shè)計變量，則當(dāng)組件在有限元分析過程中發(fā)生轉(zhuǎn)動時，組件的剛度矩陣可以寫為

(31)

(32)

最終，系統(tǒng)總體應(yīng)變能對轉(zhuǎn)動設(shè)計變量的靈敏度可以寫為

(33)

系統(tǒng)的應(yīng)變能函數(shù)對組件幾何設(shè)計變量的靈敏度可以統(tǒng)一寫為

(34)

懲罰項Q對組件幾何設(shè)計變量的靈敏度可以根據(jù)有限包絡(luò)圓方法很容易地求得，聯(lián)立式(34)代回到式(26)中即可。

2.2 質(zhì)心位置約束靈敏度求解

式(8)兩端同時對第i個設(shè)計域單元的偽密度設(shè)計變量ηi求偏導(dǎo)，可得

(35)

式(35)變形可得

(36)

將式(15)代入到式(36)可得

(37)

類似地，系統(tǒng)質(zhì)心位置對組件位置幾何設(shè)計變量的靈敏度可以很方便地求解。需要指出的是，本工作中，由于組件的轉(zhuǎn)動中心及平動參考中心定義在組件質(zhì)心上，因此，組件轉(zhuǎn)動不會改變組件的質(zhì)心位置。這樣一來，系統(tǒng)質(zhì)心對組件轉(zhuǎn)動幾何設(shè)計變量的靈敏度即為0。假定ξi是某個組件的一個平動位置設(shè)計變量，那么式(8)兩端同時對ξi求偏導(dǎo)可得

(38)

式(38)中，如果ξi=xG ε，則式(37)可以寫為

(39)

同樣道理，如果ξ=yGε，則式(38)可以寫為

(40)

本工作中，組件只在xOy平面內(nèi)運(yùn)動，故組件的運(yùn)動對整個系統(tǒng)z向質(zhì)心分量無影響。

2.3 其他約束函數(shù)的靈敏度求解

對于設(shè)計域材料用量約束，其對偽密度設(shè)計變量的靈敏度為常數(shù)，對各組件幾何設(shè)計變量的靈敏度均為0。

3 數(shù)值算例

3.1 包含3個組件的懸臂梁結(jié)構(gòu)系統(tǒng)

圖4 懸臂梁結(jié)構(gòu)系統(tǒng)示意圖Fig.4 Illustration of cantilever system

考慮如圖4所示的懸臂梁結(jié)構(gòu)，3個組件在設(shè)計區(qū)域內(nèi)按圖布置，拓?fù)湓O(shè)計域為1.5 m×0.6 m 的矩形區(qū)域，厚度為0.02 m，左端上、下施加邊界條件，各固定一段長度為0.08 m的區(qū)域，下端在距固定端0.75 m、1.50 m處均施加水平向右、豎直向下的1 kN的集中力。設(shè)計域內(nèi)，按圖4所示安放3個組件(組件尺寸如圖5所示)，每個組件與設(shè)計域之間通過多點(diǎn)約束技術(shù)建立剛性連接，圖6給出了組件的有限包絡(luò)圓近似及組件與設(shè)計域建立連接的位置。設(shè)計區(qū)域及組件的材料屬性如表1所示。

首先應(yīng)用傳統(tǒng)的分別約束組件之間各個干涉約束函數(shù)的方法對上述系統(tǒng)進(jìn)行布局優(yōu)化設(shè)計，要求整體剛度最大，使組件之間滿足非干涉要求，約束設(shè)計區(qū)域材料用量比的上限為0.4，組件在系統(tǒng)中的初始布局如圖4所示，經(jīng)過120次迭代，優(yōu)化問題收斂，系統(tǒng)應(yīng)變能C=0.051 J。最終所有組件之間均未發(fā)生干涉。圖7直接給出了最終的優(yōu)化結(jié)果。

圖5 懸臂梁結(jié)構(gòu)系統(tǒng)組件尺寸Fig.5 Size of components in cantilever system

圖6 組件有限包絡(luò)圓描述Fig.6 Approximation of components by FCM

表1 懸臂梁結(jié)構(gòu)的材料屬性Table 1 Material properties of cantilever system

圖7 用傳統(tǒng)約束處理方法得到的優(yōu)化結(jié)果 Fig.7 Optimized design using standard method for dealing with constraints

隨后，應(yīng)用本文提出的方法，對上述結(jié)構(gòu)系統(tǒng)重新進(jìn)行布局優(yōu)化設(shè)計，圖8給出了結(jié)構(gòu)的優(yōu)化迭代歷史。

圖9給出了上述兩種方法的優(yōu)化過程收斂曲線。

對比分別約束各干涉約束函數(shù)與應(yīng)用本文提出的懲罰函數(shù)方法求得的結(jié)果可發(fā)現(xiàn)，兩者拓?fù)湓O(shè)計域構(gòu)型相似但不完全相同，均形成了合適的傳力路徑，組件作為承力件合理地布置在設(shè)計域內(nèi)。

圖8 優(yōu)化迭代歷史Fig.8 Iteration history of optimization

圖9 兩種方法的優(yōu)化過程迭代曲線Fig.9 Convergence history of optimization by above two methods

優(yōu)化過程中，應(yīng)用懲罰函數(shù)方法計算的應(yīng)變能變化平穩(wěn)，而傳統(tǒng)的分別約束各個干涉約束函數(shù)的方法計算的應(yīng)變能跳動較大，兩者最終都收斂，優(yōu)化結(jié)果顯示兩種方法計算的系統(tǒng)應(yīng)變能相差不大，相對誤差為3%?？梢?，本文所提方法是有效可行的。

為了進(jìn)一步驗證方法的適用性，仍以上述懸臂梁為拓?fù)湓O(shè)計域，用本文所提方法處理組件之間的干涉約束，初始將各組件干涉布置，各組件的初始布局如圖10所示，其中虛線部分表示組件之間的干涉區(qū)域。這里，由于算法要求各個干涉約束的初始值均為可行解，故仍以第1組算例中各個干涉約束函數(shù)的初始值作為本次計算的初始值。圖11給出了此初始條件下優(yōu)化問題的設(shè)計結(jié)果。

如圖12所示，經(jīng)過88次迭代，系統(tǒng)應(yīng)變能函數(shù)收斂于0.048 J，由于初始組件是干涉的，在前4步迭代中，組件只在自身位置只發(fā)生微小擾動，從第5步開始，在懲罰函數(shù)的驅(qū)動下，組件逐漸分開，圖12中給出了第5～10步迭代的組件布局，從第10步開始，描述組件的包絡(luò)圓之間已經(jīng)完全沒有干涉，后續(xù)迭代中組件仍然保持著互不干涉?？梢?，本文所提的約束處理方法能有效避免組件之間的干涉。

圖10 組件初始干涉工況示意圖Fig.10 Illustration of system with original overlapped components

圖11 組件初始干涉的優(yōu)化結(jié)果 Fig.11 Optimized design of system with original overlapped components

圖12 組件初始干涉的優(yōu)化過程迭代曲線Fig.12 Convergence history of optimization of system with original overlapped components

3.2 包含24個組件的簡化掛架結(jié)構(gòu)系統(tǒng)

以一個24組件的簡化掛架結(jié)構(gòu)系統(tǒng)為例，進(jìn)一步驗證所提方法在解決多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化問題中的適用性。多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化設(shè)計中，當(dāng)干涉約束數(shù)目增多時，傳統(tǒng)的約束處理方式將不再實(shí)用，這里所有組件之間的干涉約束函數(shù)數(shù)目為484個，傳統(tǒng)的處理干涉約束的方法已經(jīng)很難有效地解決這一問題。

圖13給出了簡化掛架結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的工況示意，一個長、寬、厚度為2.25 m×1.55 m×0.02 m的簡化掛架，以掛架左下角點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，x軸正向水平向右，y軸正向豎直向上。掛架左端完全固定，右上角施加豎直向下的大小為1 kN 的集中力，右下角及下邊框距右下角0.75 m 的位置分別施加大小為1 kN、方向向下的集中力，所有組件按圖中所示位置作為初始布局，組件分別編號為1～24。系統(tǒng)中組件及拓?fù)湓O(shè)計域的材料屬性見表2。優(yōu)化問題要求該系統(tǒng)剛度最大，以改進(jìn)的混合懲罰函數(shù)方法建立優(yōu)化目標(biāo)，拓?fù)湓O(shè)計域為整個矩形區(qū)域，約束設(shè)計區(qū)域材料用量比的上限為0.5。

圖13 簡化掛架結(jié)構(gòu)系統(tǒng)示意圖Fig.13 Illustration of simplified pylon system

圖13中，所有形狀相同的組件尺寸均相同，涉及到5種共24個不同的組件，組件的尺寸在圖14 中給出，組件的包絡(luò)圓劃分及其MPC連接位置如圖15所示。

表2 簡化掛架結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的材料屬性Table 2 Material properties of simplified pylon system

圖14 簡化掛架結(jié)構(gòu)系統(tǒng)組件尺寸Fig.14 Sizes of components in simplified pylon system

圖15 簡化掛架結(jié)構(gòu)系統(tǒng)組件有限包絡(luò)圓描述 Fig.15 Approximation of components in simplified pylon system by FCM

圖16給出了優(yōu)化過程構(gòu)型迭代歷史。

可見，在結(jié)構(gòu)拓?fù)?、組件布局的協(xié)同優(yōu)化設(shè)計中，組件首先找到一個接近最優(yōu)解的位置，隨著結(jié)構(gòu)構(gòu)型的不斷清晰，組件只在自身位置附近作微小擾動以達(dá)到最優(yōu)解。組件之間的干涉可以得到有效控制，最終，所有組件之間沒有干涉情況且系統(tǒng)目標(biāo)函數(shù)收斂。

對上述算例引入質(zhì)心位置約束重新計算，本例約束系統(tǒng)質(zhì)心位置xG≥1.20 m且yG≤0.77 m。由于組件材料密度大于支撐結(jié)構(gòu)材料密度，為了滿足質(zhì)心位置約束，組件被迫分布到靠近系統(tǒng)右下角點(diǎn)處，最終系統(tǒng)質(zhì)心位置為(1.200，0.716) m，滿足質(zhì)心約束條件及組件之間的非干涉要求，系統(tǒng)應(yīng)變能為0.066 J。不加質(zhì)心與加質(zhì)心的優(yōu)化結(jié)果對比如圖17所示。圖18給出了兩種情況下系統(tǒng)的應(yīng)變能收斂曲線。

圖16 簡化掛架系統(tǒng)優(yōu)化迭代歷史Fig.16 Optimization design history of simplified pylon system

圖17 優(yōu)化結(jié)果對比Fig.17 Comparison of optimized design

圖18 系統(tǒng)應(yīng)變能收斂曲線Fig.18 Convergence history of global strain energy

3.3 結(jié)果分析與討論

分析對比3.1節(jié)使用傳統(tǒng)的分別約束各個干涉約束函數(shù)的組件、結(jié)構(gòu)協(xié)同優(yōu)化設(shè)計結(jié)果與應(yīng)用本文提出的方法得到的優(yōu)化結(jié)果，不難發(fā)現(xiàn)：本文提出的方法在處理組件之間的干涉問題上是有效可行的，對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)平穩(wěn)收斂，傳統(tǒng)的分別將各個干涉約束作為約束函數(shù)的方法，由于約束函數(shù)本身存在的非線性而不易找到可以平穩(wěn)收斂的可行解。正如圖9所示，傳統(tǒng)的方法中，結(jié)構(gòu)的拓?fù)渫M件的布局不易協(xié)調(diào)，如果結(jié)構(gòu)構(gòu)型已經(jīng)逐步清晰，一旦組件之間發(fā)生了干涉，約束函數(shù)會設(shè)法將組件分開，但此時極有可能使組件與結(jié)構(gòu)之間已經(jīng)形成的連接斷開，導(dǎo)致應(yīng)變能目標(biāo)迅速攀升，要再次尋找到有效的可行解，仍需要多次迭代，嚴(yán)重的甚至找不到有效的可行解，使組件懸空。這也是圖9中，傳統(tǒng)方法優(yōu)化過程中目標(biāo)函數(shù)跳躍的原因。

在3.2節(jié)，由大量組件引入了大量的干涉約束函數(shù)，由于此時的干涉約束之間的非線性程度嚴(yán)重增加，已經(jīng)使傳統(tǒng)的方法失效，但應(yīng)用本文提出的方法，在保證結(jié)構(gòu)構(gòu)型清晰合理的同時，可以有效避免組件之間的干涉。

4 結(jié) 論

1) 提出了多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化中處理組件干涉約束的歸一化的混合懲罰函數(shù)方法，考慮了所有干涉約束函數(shù)對系統(tǒng)布局優(yōu)化的影響，使包含組件干涉約束的優(yōu)化問題變?yōu)闊o組件干涉約束的優(yōu)化問題。

2) 本文所提方法通過數(shù)值算例有效地解決了多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化設(shè)計中的組件干涉問題，使包含大量干涉約束的多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化設(shè)計成為可能。

3) 本文提出的歸一化的混合懲罰函數(shù)方法，由于其構(gòu)造的函數(shù)在0點(diǎn)不連續(xù)，干涉約束函數(shù)在0點(diǎn)對組件幾何設(shè)計變量的靈敏度不存在。但在實(shí)際處理過程中，組件之間的干涉約束函數(shù)基本不會在0點(diǎn)處停留，實(shí)際也就沒有導(dǎo)數(shù)不存在的情況，但是為了避免這種情況的發(fā)生，本工作在干涉約束函數(shù)為0時，將其對組件幾何設(shè)計變量的導(dǎo)數(shù)取懲罰函數(shù)的左導(dǎo)數(shù)0。后續(xù)工作中，實(shí)現(xiàn)懲罰函數(shù)在0點(diǎn)連續(xù)且可導(dǎo)是值得深入研究的問題。

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Apenaltyfunctionbasedmethodfordealingwithoverlapconstraintsinintegratedlayoutandtopologyoptimizationdesignofmulti-componentsystems

ZHUJihong*,GUOWenjie，ZHANGWeihong，HEFei

LaboratoryofEngineeringSimulation&AerospaceComputing,NorthwesternPolytechnicalUniversity,Xi’an710072,China

There are an amount of overlap constraints in the integrated layout and topology optimization design of a multi-component system containing tens of components. The integrated layout and topology optimization design of multi-component systems containing varieties of components are discussed in this paper. The finite-circle method (FCM) based penalty function is applied to deal with the overlap constraints among different components. A combined penalty function consisting of compliance and overlap constraints functions is chosen as the new objective. The gradient based optimization algorithm is implemented to maximize the stiffness of the system involving hundreds of overlap constraints, a total of tens of different components. Clear configurations of structure and non-overlapping positions of components are obtained in the simultaneous integrated layout and topology optimization deign. The optimized designs have shown the validity and efficiency of the proposed penalty function in dealing with overlap constraints in the integrated layout and topology optimization design of multi-component systems.Key words: topology optimization; multi-component system; combined penalty function; overlap constraint; finite-circle method

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2015-12-17；退修日期2016-03-28；錄用日期2016-04-29； < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時間

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*

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朱繼宏， 郭文杰， 張衛(wèi)紅， 等. 多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局拓?fù)鋬?yōu)化中處理組件干涉約束的懲罰函數(shù)方法J. 航空學(xué)報，2016,37(12)：3721-3733.ZHUJH,GUOWJ,ZHANGWH,etal.Apenaltyfunctionbasedmethodfordealingwithoverlapconstraintsinintegratedlayoutandtopologyoptimizationdesignofmulti-componentsystemsJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2016,37(12):3721-3733.

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10.7527/S1000-6893.2016.0137

V214.19

A

1000-6893(2016)12-3721-13

朱繼宏男， 教授， 博士生導(dǎo)師。主要研究方向： 結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計。Tel.: 029-88493914-1222E-mail: jh.zhu@nwpu.edu.cn

郭文杰男， 碩士研究生。主要研究方向： 結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計。Tel.: 029-88493914-1222E-mail: wjguo@mail.nwpu.edu.cn

張衛(wèi)紅男， 教授， 博士生導(dǎo)師。主要研究方向： 多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計。Tel.: 029-88495774E-mail: zhangwh@nwpu.edu.cn

何飛男， 碩士研究生。主要研究方向： 動載作用下結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計。Tel.: 029-88493914-1222E-mail: hefei@mail.nwpu.edu.cn

*Correspondingauthor.Tel.：029-88493914-1222E-mailjh.zhu@nwpu.edu.cn