動態(tài)審題：數(shù)學(xué)思維的簡化、質(zhì)化與活化

陶士梅+王聿松

摘 要：任何復(fù)雜繁難的題目都是由簡單類型組合而成的，如何能“把深奧的問題淺顯化”“把表面的問題本質(zhì)化”“把單一的問題多樣化”是解決問題的第一步?！皠討B(tài)審題”即通過動筆圈畫、語言轉(zhuǎn)譯和聯(lián)想拓展可以有效幫助學(xué)生化繁為簡、透過現(xiàn)象看本質(zhì)、推一及三，助推思維的簡化、質(zhì)化與活化。

關(guān)鍵詞：動態(tài)審題;動筆圈畫;語言轉(zhuǎn)譯;聯(lián)想拓展

請看兩道題目：

題目一：“甲、乙兩人騎車分別從東、西兩村同時出發(fā)相向而行，相遇時距中點2.4千米。已知甲的速度是乙的2倍，那么東、西兩村相距多少千米？”

題目二：“快、慢兩車分別長150米和200米，相向行駛在平直的軌道上。若快車上的人看見慢車駛過窗口的時間是8秒，那么慢車上的人看見快車駛過窗口的時間是多少秒？”

以上題目，學(xué)生如果只是按照常規(guī)的審題方式，基本找不到頭緒，因為沒有清晰的數(shù)量關(guān)系，信息要么少而簡單要么多而繁雜，但是看起來都和問題之間沒有關(guān)系。如何能從這些貌似“無厘頭”的題目中找到突破口，把復(fù)雜繁難的題目變成簡易題型是審題的重要任務(wù)。

一、動態(tài)審題的內(nèi)涵

眾所周知“審題”就是對題目的含義進行分析和研究，正確地理解題意，明確題目要求，從而確定答題方式。其中的關(guān)鍵詞是“分析和研究”。可事實上很多小學(xué)生在審題時經(jīng)常只是單一地讀、用眼睛瀏覽、靠想象來整理信息，如果有思路就下筆，沒有思路就放棄，尤其是面對稍微復(fù)雜一點的“變式”題目只會望而卻步，根本不會分析和研究。事實上，任何復(fù)雜繁難的問題都是由若干個簡單問題組合而成的，如何能讓學(xué)生學(xué)會“把深奧的問題淺顯化”“把現(xiàn)象的問題本質(zhì)化”“把單一的題目類型化”是審題的重要任務(wù)。

動態(tài)審題其本質(zhì)就是綜合調(diào)動學(xué)生的眼、口、手、腦等多種器官的參與，通過動態(tài)作圖、動態(tài)轉(zhuǎn)譯和動態(tài)聯(lián)想把數(shù)學(xué)信息明朗化、數(shù)學(xué)語言簡易化、單一題型多樣化，從而降低題目難度，實現(xiàn)簡易解題。這里的“動態(tài)”有三層意思：一是讓學(xué)生在審題的時候能夠協(xié)調(diào)眼、手、腦的綜合參與，通過圈畫找出問題的關(guān)鍵點，或者通過畫線段圖、示意圖把暗藏的數(shù)量關(guān)系清晰明朗，從而找到解決問題的突破口;二是讓學(xué)生在審題的時候能夠聯(lián)動自己已有的知識體系，通過數(shù)學(xué)語言的相互轉(zhuǎn)譯達到通過表面透視到問題的本質(zhì)，從而撥開一些外在的信息干擾直擊問題核心;三是讓學(xué)生在審題的時候不拘泥于單一的題目，能靈動地進行思維類比、聯(lián)想和輻射，從而清晰地把握住與此相關(guān)或者相似題目的聯(lián)系或區(qū)別，或者以此為點的知識結(jié)構(gòu)的建構(gòu)。

二、一般審題與動態(tài)審題的關(guān)聯(lián)

一般審題的主要表征就是用眼睛看，靠想象來整理信息，往往只見樹木不見森林，當(dāng)單一、靜態(tài)的審題方式遇到數(shù)量關(guān)系隱蔽或者信息稍復(fù)雜的時候就會束手無策。動態(tài)審題強調(diào)的是多感官的綜合參與，強調(diào)通過畫圖、轉(zhuǎn)譯、聯(lián)想等方式對信息進行梳理、透視和輻射，從而實現(xiàn)沒有頭緒中找到突破、繁難題目實現(xiàn)簡易轉(zhuǎn)化、窺一斑而知全豹的目的。

1. 一般審題重在動眼，動態(tài)審題基于動手

審題是一個對題目中的有用信息進行輸入、處理，然后輸出的復(fù)雜過程。但是因為一般題目的數(shù)量關(guān)系都清楚簡單，學(xué)生用眼睛閱讀后就可以直接把問題解決掉，所以很多學(xué)生養(yǎng)成了“看題目”的審題方式。但是隨著知識的增多，題目的變化越來越復(fù)雜，“看題目”的方式只能讓更多的學(xué)生無所適從，當(dāng)面臨稍微復(fù)雜的題目時經(jīng)常出現(xiàn)不嘗輒止、過早否定自己的消極態(tài)度。

筆者帶著一道略微復(fù)雜的題目對本校六年級（4個班，共235名學(xué)生）進行了兩次調(diào)查（在學(xué)生剛剛學(xué)完圓柱體積計算之后）和一次訪談，情況如下：

第一次：“把一個正方體削成一個體積最大的圓柱，圓柱體積是正方體體積的幾分之幾？”（教師沒有任何要求和提示）

在第一次沒有動筆畫圖但是也做對的學(xué)生當(dāng)中，當(dāng)問及為什么不畫圖也能做對呢？他們回答說在腦子中畫圖的，這部分人屬于抽象思維特別出色的，但是因為其抽象思維并不成熟，所以導(dǎo)致正確率并不高。

第二次：教師強制要求130人都動筆畫圖，然后再對答案，結(jié)果如下：

經(jīng)過這樣反復(fù)比較，教師進行了第三次調(diào)查。此次調(diào)查采取訪談形式。

師：一開始覺得題目難度怎么樣？后來呢？

生：一開始覺得題目不好做，不知道該怎么下手。后來畫圖之后覺得原來挺簡單的。

師：以后面對看起來不好處理的問題時，你想怎么應(yīng)對？

生：畫圖。

2. 一般審題著眼形式，動態(tài)審題注重本質(zhì)

在剛學(xué)了乘法分配律a×c+b×c=（a+b）×c之后，練習(xí)中出現(xiàn)了如99×78+78這樣的題目大多數(shù)學(xué)生就迷糊了。他們不知道此形式與彼形式之間本質(zhì)的聯(lián)系：都表示兩個數(shù)分別與同一個數(shù)相乘再相加，相當(dāng)于把兩個數(shù)先相加再同這個數(shù)相乘。一般的審題只看到形式，看不到形式背后的本質(zhì)。數(shù)學(xué)書上的陳述一般都是一種嚴(yán)密的學(xué)術(shù)形態(tài)，只有少數(shù)優(yōu)秀的學(xué)生能夠跨過“抽象”的門檻，嚴(yán)格地按照形式化的敘述把握數(shù)學(xué)本質(zhì)含義。但是對于大多數(shù)學(xué)生來說，我們需要學(xué)會把數(shù)學(xué)敘述轉(zhuǎn)譯成“非形式化”的語言去理解，或者把數(shù)學(xué)敘述轉(zhuǎn)譯成圖象去探索，又或者轉(zhuǎn)譯成數(shù)學(xué)符號去把握等，這樣才能幫助我們探尋到現(xiàn)象背后的本質(zhì)，對解決問題有曲徑通幽、直擊核心的效果。比如本題如果轉(zhuǎn)化成這樣的敘述，問題就迎刃而解了——“99個78加上1個78就是100個78，所以99×78+78=100×78”。

3. 一般審題旨在就題論題，動態(tài)審題強化舉一反三

數(shù)學(xué)知識之間都是互相關(guān)聯(lián)的，比如學(xué)生們學(xué)會了加法運算律的那套方法可以遷移到乘法運算律中運用，學(xué)習(xí)了長方形的周長、面積計算后，發(fā)現(xiàn)它可以同樣運用到平行四邊形和梯形中，這種遷移運用給學(xué)生帶來巨大的成功體驗，能充分體會到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣。做題更是一種遷移學(xué)習(xí)活動，是否能舉一反三、推一及百是數(shù)學(xué)素養(yǎng)高低的重要體現(xiàn)。

一般人在練習(xí)“把一個正方體削成一個體積最大的圓柱，圓柱體積是正方體體積的幾分之幾？”時做完就完了。但是如果能展開聯(lián)想：“把一個正方體削成一個體積最大的圓錐，圓錐的體積是正方體的幾分之幾？”或者“把一個長5厘米、寬4厘米、高3厘米的長方體削成一個體積最大的圓柱體，圓柱體的體積是多少？”通過這樣一聯(lián)想，就可以把長方體、正方體、圓柱體、圓錐體等物體的體積以及相互之間的關(guān)系做個梳理。推一及三的做題方式可以有效促進知識由點及面，思維由點及面。

三、動態(tài)審題的實踐路徑

數(shù)學(xué)題目客觀上是靜態(tài)的，動態(tài)審題就是通過主觀上的動手和動腦讓靜態(tài)的文字變得簡潔、豐富。動態(tài)審題以主動、聯(lián)動與靈動的特點可以有效地幫助學(xué)生在圈畫、轉(zhuǎn)譯和聯(lián)想中找準(zhǔn)突破口，抓住本質(zhì)核心，舉一反三，從而助推思維的簡化、質(zhì)化與活化。

（一）動筆圈畫——簡化思維

審題本身是一種隱性的思維過程，無法顯現(xiàn)和量化。正因為如此，很多孩子把本該三步思考的過程懶惰地減縮為兩步或一步，從而導(dǎo)致信息零散缺乏聯(lián)系，無法順利解決問題。無論是線段圖還是實物圖，其實都是用可以看得見的方式強制性地把數(shù)學(xué)信息進行梳理和顯現(xiàn)的過程。在動筆圈畫的過程中，一些隱蔽的信息也能明朗起來，思路逐漸清晰。

1. 線段圖——化隱為顯

“線段圖”具有直觀形象的特點，是學(xué)生進行抽象思維的“拐棍”。尤其對一些較復(fù)雜的問題，通過線段圖把重要信息進行梳理，使學(xué)生清楚地從圖上看到一些隱含的數(shù)量關(guān)系，從而獲取新的信息和解題線索，找到突破口。

比如：甲、乙兩人騎車分別從東、西兩村同時出發(fā)相向而行，相遇時距中點2.4千米。已知甲的速度是乙的2倍，那么東、西兩村相距多少千米？

（甲的速度是乙的2倍，同樣時間內(nèi)說明路程就是乙的2倍）

從圖1中可以看出，甲的路程比中點多2.4千米，乙的路程比中點少2.4千米，所以甲比乙多2.4×2=4.8千米;又因為甲的路程是乙的路程的2倍，即比乙多1倍，所以 4.8千米就是一倍的路程，所以全程就是4.8×3=14.4千米，線段圖立刻使隱含的數(shù)量關(guān)系明朗起來。

2.示意圖——化抽象為形象

小學(xué)生心理正處于具體形象思維階段，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更多地依賴于實物或圖形等直觀材料的支持。實物圖或示意圖可以將許多抽象的數(shù)學(xué)概念、算理、數(shù)量關(guān)系形象化、簡單化，給人以直覺的啟示。因此，巧妙合理地運用實物圖或示意圖這種簡便易行的教學(xué)方式，有助于學(xué)生思路的開啟。

比如“有一桶油，連油帶桶一共重18千克，倒掉一半的油以后，連油帶桶一共重10千克，油重多少千克？桶重多少千克？”

這種也屬于非普通數(shù)量關(guān)系的題目，一般人找不到頭緒?？墒侨绻嫵鰧嵨飯D一比較，就會豁然開朗。

面對這種圖（如圖2），通過一比較，自然就能發(fā)現(xiàn)問題：剛剛有18千克，現(xiàn)在怎么只有10千克了？說明少的8千克就是倒掉的一半的油，18-10=8千克，8×2=16千克。

（二）語言轉(zhuǎn)譯——質(zhì)化思維

數(shù)學(xué)問題一般都是正規(guī)的嚴(yán)密敘述，對于小學(xué)生來說，其高度的簡潔和抽象很容易讓人感覺無從下手。但是如果能把靜態(tài)的數(shù)學(xué)語言動態(tài)地轉(zhuǎn)譯為通俗易懂（自然語言）、濃縮概括（符號語言）、簡潔直觀（圖形語言）等其他的表達方式，就能幫助學(xué)生很好地把握住問題的本質(zhì)。

1. 類比化轉(zhuǎn)譯——去現(xiàn)象為本質(zhì)

有些問題的情境離學(xué)生生活實際比較遠(yuǎn)，如果類比成熟悉簡易的情境，立刻就能凸顯出本質(zhì);有些問題是動態(tài)變化的，類比成靜止的就更容易入手。

比如火車相遇問題：“快、慢兩車分別長150米和200米，相向行駛在平直的軌道上，若快車的速度是30米/秒，慢車的速度是20米/秒，兩車從相遇到相離需要幾秒鐘？”這道題最大的障礙是：火車本身有長度，而且兩輛車都是動態(tài)的，這給問題的解決帶來很大難度。

如果采用類比的策略，把兩輛車類比成兩個人的話，當(dāng)兩車頭相遇時（如圖3），車尾的兩個人的位置就會如圖3中的△，當(dāng)兩車車尾相離時，兩個人會在中間重合（就是相遇）。這道題可以轉(zhuǎn)譯成“甲、乙兩人從兩地相向而行，兩地相距150米加200米，甲速是30米/秒，乙速是20米/秒，兩人要幾秒鐘相遇？”經(jīng)過這樣類比就變成了一般的相遇情境，問題迎刃而解。

2. 符號化轉(zhuǎn)譯——去繁難為簡易

數(shù)學(xué)符號化，是數(shù)學(xué)形式化的基礎(chǔ)。符號語言以其獨有的精確、簡約、便于推理和運算，對數(shù)學(xué)問題的解決有重大作用。在解決問題的過程中，如果能靈活地把數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)譯成符號語言，對解決問題有化繁為簡的突出效果。

比如“一個素數(shù)的3倍和另一個素數(shù)的2倍之和是100，這兩個素數(shù)的乘積是多少？”從數(shù)學(xué)語言文字的表面找不到什么突破，如果把這道題轉(zhuǎn)譯成字母式就會豁然開朗了。假設(shè)第一個素數(shù)為a，第二個素數(shù)為b，可以列式為3a+2b=100，因為100是偶數(shù)，2b肯定也是偶數(shù)，所以3a也是偶數(shù)，3跟一個素數(shù)的乘積是偶數(shù)，這個偶數(shù)只能是2了，第一個素數(shù)是2，后面一切都水到渠成。

四、結(jié)語

在審題時，我們不僅需要讀懂題目中的文字?jǐn)⑹觯斫鈹⑹鲋兴从车膶嶋H背景，領(lǐng)悟從背景中概括出來的數(shù)學(xué)實質(zhì)。動態(tài)審題是讀懂、理解和領(lǐng)悟的利器，不僅是一種習(xí)慣，更是一種學(xué)習(xí)能力，需要教師們持之以恒地培養(yǎng)和訓(xùn)練。