數(shù)學思想——數(shù)學解題的靈魂——例說數(shù)學思想在數(shù)列解題中的運用

江蘇省徐州市銅山區(qū)大許中學　劉　影

數(shù)學思想——數(shù)學解題的靈魂——例說數(shù)學思想在數(shù)列解題中的運用

江蘇省徐州市銅山區(qū)大許中學劉影

數(shù)列是中學數(shù)學的重要組成部分，數(shù)列中的相當一大部分問題都可以體現(xiàn)數(shù)學的重要思想方法去處理。比如，數(shù)列中的基本量的確定可以依賴方程，把數(shù)列看成特殊的函數(shù)，可以借助于函數(shù)的思想方法研究，探究性的問題可借助于特殊化和賦值的方法。因此，以重要的思想方法來指導數(shù)列解題顯得尤為重要，本文就數(shù)學思想方法在數(shù)列中的應用，舉例說明。

數(shù)列；數(shù)學思想

一、方程的思想

例1公差不為零的等差數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn。若a4是a3與a7的等比中項，S8=32，則S10=________。

解析：由a4=a3a7得

（a1+3d）2=（a1+2d）（a1+6d）得

2a1+7d=8，則d=2，a1=-3，

答案：60。

【評注：函數(shù)、方程、不等式是一個整體，知道其中任何一個，都可以往其他兩個轉化，數(shù)列中的方程思想主要是是利用數(shù)列中的基本量來確定數(shù)列，進而可以明確數(shù)列的通項和前n項和的表達式來處理問題?！?/p>

二、特殊化思想

例2等差數(shù)列｛an｝中，公差d＞0，前n項和為Sn，a2·a3=45，a1+a5=18。

（1）求數(shù)列｛an｝的通項公式；

因為bn+1-bn=2（n+1）-2n=2（n∈N＊），

所以數(shù)列｛bn｝是公差為2的等差數(shù)列。

【評注：存在型探索性問題，是指判斷在某些確定條件下的某一數(shù)學對象（數(shù)值、圖形、函數(shù)等）不確定的問題。這類問題常常出現(xiàn)在“是否存在”“是否有”等形式的疑問句中，以示結論有待于確定。解答此類問題的思路是：通常假設題中的數(shù)學對象存在（或結論成立）進行特殊化，然后在這個前提下進行邏輯推理，找到命題成立的必要條件，進而進行充分性的論證。】

三、局部與整體思想

例3設數(shù)列｛an｝是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn是其前n項和，

【評注：有些問題如果不從問題結構特點加以認真分析、揣摩，而直接從常規(guī)方法入手，往往會走入解題的泥潭，既費時又費力，而如果從整體思維切入，可取得意想不到的效果。若對Sn，Sn+1，Sn+2做整體變換，則可省去分類討論及復雜計算，輕松獲證。結構的巧妙轉變，新穎別致，取得了意想不到的效果，給解題帶來了新意，也成為解題新的思維亮點?！?/p>

四、轉化與劃歸思想

【評注：所謂轉化思想，就是在研究和解決有關數(shù)學問題時，采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而達到解決的一種方法。一般總是將復雜的問題通過變換轉化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉化為容易變換的問題，將未解決的問題變換轉化為已解決的問題。在處理多元的數(shù)學問題時，我們可以選取其中的常量（或參數(shù)），將其看作“主元”，而把其他的變元看作常量，從而達到減少變元簡化運算的策略?！?/p>

數(shù)學思想方法與數(shù)學知識一樣，是人類在長期研究數(shù)學的過程中總結出的寶貴經驗和智慧結晶，是數(shù)學知識所不能替代的。只有知識與思想方法并重，知識與思想方法互相促進，才能更深刻地理解數(shù)學，從整體上認識數(shù)學，靈活地運用數(shù)學以至創(chuàng)造數(shù)學。恰當?shù)剡\用這些思想方法，可以起到事半功倍的效果。