環(huán)Z2m上一類常循環(huán)碼的撓碼及其應(yīng)用

朱士信,孫中華,開曉山

(1.合肥工業(yè)大學數(shù)學學院,安徽合肥 230009;2.東南大學移動通信國家重點實驗室,江蘇南京 210096)

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環(huán)Z2m上一類常循環(huán)碼的撓碼及其應(yīng)用

朱士信1,2,孫中華1,開曉山1,2

(1.合肥工業(yè)大學數(shù)學學院,安徽合肥 230009;2.東南大學移動通信國家重點實驗室,江蘇南京 210096)

該文研究了環(huán)Z2m上任意長的(1+2λ)-常循環(huán)碼的撓碼及其應(yīng)用.首先,給出環(huán)Z2m上(1+2λ)-常循環(huán)碼的撓碼.然后,利用撓碼得到環(huán)Z2m上某些(1+2λ)-常循環(huán)碼的齊次距離分布.同時,利用撓碼證明了環(huán)Z2m上(2m-1-1)-常循環(huán)自對偶碼都是類型I碼,并利用這類碼構(gòu)造了極優(yōu)的類型I碼.

常循環(huán)碼;撓碼;自對偶碼;距離分布

電子學報URL:http://www.ejournal.org.cn DOI:10.3969/j.issn.0372-2112.2016.08.008

1 引言

上世紀九十年代,Hammons等人在文獻[1]中證明了一些高效的二元非線性碼Kerdock碼與Preparata碼可以看作是Z4-線性碼的二元像,從而使有限環(huán)上編碼理論獲得了突破進展.自此,許多學者對有限環(huán)上的糾錯碼進行了廣泛而深入的研究.眾所周知,碼的距離是衡量碼的糾錯性能的一個重要參數(shù).文獻[2]完全計算了Z2a上長為2s的λ-常循環(huán)碼的Hamming距離、齊次距離、Lee距離和歐幾里得距離,其中λ為Ζ2a上形如(4k-1)的單位;文獻[3]計算了GR(2a,m)上長為2s的負循環(huán)碼的Hamming重量;文獻[4]計算了F2+uF2上長為2e的循環(huán)碼的各種距離分布.通常,確定有限環(huán)上線性碼的各種距離是比較困難的.Norton與Sǎlǎgean在文獻[5]中引入了有限鏈環(huán)上的線性碼C的撓碼概念,證明了C的Hamming距離等于它最高階撓碼的Hamming距離.后來,Doughert與Park[6]將撓碼用于研究Zpm上循環(huán)碼的結(jié)構(gòu);文獻[7]利用撓碼給出了環(huán)Fpm+uFpm+…+uk-1Fpm上任意長(1+u)-常循環(huán)碼的齊次距離分布.由此可見,撓碼在研究有限鏈環(huán)上線性碼中起著重要作用.因此,確定有限鏈環(huán)上線性碼的撓碼是十分必要的.本文確立了整數(shù)剩余類環(huán)Z2m上任意長度的(1+2λ)-常循環(huán)碼的撓碼,然后將撓碼應(yīng)用于兩方面:(1)研究了Z2m上(1+2λ)-常循環(huán)碼的Hamming距離、齊次距離與歐幾里得距離;(2)研究了Z2m上(2m-1-1)-常循環(huán)自對偶碼,證明了這類常循環(huán)碼是類型I碼,并且利用這類碼構(gòu)造了極優(yōu)類型I碼.

2 預備知識

3 環(huán)Z2m上(1+2λ)-常循環(huán)碼的撓碼

為了計算Z2m上η-常循環(huán)碼的撓碼,其中η=1+2λ∈Z2m,λ是Z2m中的單位.首先給出幾個重要的引理.記R=Z2m[x]/〈xN-η〉.

引理1 在R中,〈(xn-1)2s〉=〈2〉.

4 撓碼的應(yīng)用

4.1 環(huán)Z2m上(1+2λ)-常循環(huán)碼的齊次距離

由于齊次距離在有限鏈環(huán)上有許多重要的應(yīng)用,從而引起研究者們的關(guān)注.下面利用撓碼確定某些Z2m上η-常循環(huán)碼的確切的齊次距離,對一般Z2m上的η-常循環(huán)碼,給出齊次距離的一個界.

定義1[2]環(huán)Z2m上的齊次重量定義為Z2m上的重量函數(shù)

(1)當γ0≤m-2時,2m-2dγ0≤dHom(C)≤2m-1dm-1.

(2)當γ0=m-1時,dHom(C)=2m-1dm-1.

(1)當0≤σ≤2s(m-2)時,dHom(C)=2m-2.

(2)當2s(m-2)+1≤σ≤2s(m-1)時,dHom(C)=2m-1.

4.2 環(huán)Z2m上2m-1-1-常循環(huán)自對偶碼

其中0≤si≤2sm.

定理4 環(huán)Z2m上長為N的ρ-常循環(huán)自對偶碼都是類型I碼.

定理4指出環(huán)Z2m上的ρ-常循環(huán)自對偶碼總是類型I碼.文獻[11]給出了Z2m上長為N的類型I碼的歐幾里得距離界:

若2?N/24」≤2m-3,則

(**)

當2?N/24」≤2m-3時,稱Z2m上滿足(**)界的類型I碼為極優(yōu)碼.下面利用撓碼構(gòu)建Z2m上極優(yōu)類型I碼.

例3 在Z16[x]中,x7-1=f0(x)f1(x)f3(x),其中f0(x)=x-1,f1(x)=x3+6x2+5x-1,f3(x)=x3+11x2+10x-1.設(shè)C是Z16上長為14的7-常循環(huán)自對偶碼,其生成多項式為g(x)=f0(x)4f1(x)5f3(x)3.在Z8[x]/(x14-7)中,g(x)=2x13+12x12+8x11+2x10+6x9+2x8+2x6+12x5+8x4+2x3+6x2+2x+4.

5 總結(jié)

本文給出了環(huán)Z2m上任意長的(1+2λ)-常循環(huán)碼的撓碼,利用撓碼討論了Z2m上(1+2λ)-常循環(huán)碼的齊次距離分布,并證明了(2m-1-1)-常循環(huán)自對偶碼為類型I碼.最后,利用常循自對偶碼,構(gòu)造了Z8與Z16上極優(yōu)的類型I碼.一個值得考慮的問題是利用撓碼研究Z2m上任意長度的循環(huán)碼.

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[2]H Q Dinh.Complete distances of all negacyclic codes of length 2soverz2a[J].IEEE Transactions on Information Theory,2007,53(1):147-161.

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Shi Min-jia,Yang Shan-lin,Zhu Shi-xin.On minimum distance of cyclic codes of length 2eoverF2+uF2[J].Acta Electronica Sinica,2011,39(1):29-34.(in Chinese)

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Zhu Shi-xin,Huang Su-juan.The distribution of homogeneous distance of(1+u)-constacyc-lic codes overFpm+uFpm+…+uk-1Fpm[J].Journal of Electronics and Information Technology,2013,35(11):2580-2583.(in Chinese)

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[11]E Bannai,S T Dougherty,M Harada,M Oura.TypeⅡcodes,even unimodular lattices,and invariant rings[J].IEEE Transactions on Information Theory,1999,45(4):1194-1205.

朱士信 男,1962年生,教授,博士生導師,獲國家級教學名師、國家“萬人計劃”教學名師榮譽稱號.主要從事編碼理論、序列密碼與信息安全研究.

E-mail:zhushixin@hfut.edu.cn

孫中華(通信作者) 男,1989 年生,碩士研究生,研究方向為代數(shù)編碼.

E-mail:sunzhonghuas@163.com

Torsion Codes of a Class of Constacyclic Codes over Z2mand Their Applications

ZHU Shi-xin1,2,SUN Zhong-hua1,KAI Xiao-shan1,2

(1.SchoolofMathematics,HefeiUniversityofTechnology,Hefei,Anhui230009,China;2.NationalMobileCommunicationsResearchLaboratory,SoutheastUniversity,Nanjing,Jiangsu210096,China)

The torsion codes and their applications of (1+2λ)-constacyclic codes over the ringZ2mof arbitrary lengths are studied.The torsion codes of (1+2λ)-constacyclic codes overZ2mare given firstly.Then by using the torsion codes,the homogeneous distance of some (1+2λ)-constacyclic codes is obtained and it is proved that all (2m-1-1)-constacyclic self-dual codes overZ2mare Type I.Some extreme Type I codes are constructed from such constacyclic codes.

constacyclic codes;torsion codes;self-dual codes;distance distribution

2015-01-08;

2015-09-07；責任編輯：藍紅杰

國家自然科學基金(No.61370089);安徽省自然科學基金(No.1508085SQA198，No.1508085MA13，No.1408085QF116);2014年安徽省高校優(yōu)秀青年支持計劃；東南大學移動通信國家重點實驗室開放研究基金(No.2014D04)

TN911.22

A

0372-2112 (2016)08-1826-05