任意列重大圍長(zhǎng)QC-LDPC碼的確定性構(gòu)造

張 軼,達(dá)新宇,蘇一棟

(空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院,陜西西安 710077)

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任意列重大圍長(zhǎng)QC-LDPC碼的確定性構(gòu)造

張 軼,達(dá)新宇,蘇一棟

(空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院,陜西西安 710077)

針對(duì)準(zhǔn)循環(huán)低密度奇偶校驗(yàn)(Quasi-Cyclic Low-Density Parity-Check,QC-LDPC)碼中準(zhǔn)循環(huán)基矩陣的移位系數(shù)確定問(wèn)題，提出基于等差數(shù)列的確定方法.該方法構(gòu)造的校驗(yàn)矩陣圍長(zhǎng)為8，列重可任意選取，移位系數(shù)由簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)表達(dá)式確定，編碼復(fù)雜度與碼長(zhǎng)呈線性關(guān)系，節(jié)省了編解碼存儲(chǔ)空間.研究結(jié)果表明，列重和圍長(zhǎng)是影響碼字性能的重要因素.在加性高斯白噪聲(Additive White Gauss Noise,AWGN)信道和置信傳播(Belief Propagation,BP)譯碼算法下，該方法構(gòu)造的碼字在短碼時(shí)可以獲得與IEEE 802.11n、802.16e碼相一致的性能，在長(zhǎng)碼時(shí)誤比特率性能接近DVB-S2碼.同時(shí)表明該方法對(duì)碼長(zhǎng)和碼率參數(shù)的設(shè)計(jì)具有較好的靈活性.

準(zhǔn)循環(huán)低密度奇偶校驗(yàn)碼;列重;圍長(zhǎng);準(zhǔn)循環(huán)基矩陣;高效編碼

電子學(xué)報(bào)URL:http://www.ejournal.org.cn DOI:10.3969/j.issn.0372-2112.2016.08.006

1 引言

碼的結(jié)構(gòu)決定了低密度奇偶校驗(yàn)(Low-Density Parity-Check,LDPC)碼的性能.基于循環(huán)移位矩陣構(gòu)造的QC-LDPC碼，其校驗(yàn)矩陣的準(zhǔn)循環(huán)特性使其易于高效編解碼，碼的代數(shù)結(jié)構(gòu)為超大規(guī)模集成電路的實(shí)現(xiàn)提供了可能，因此受到廣泛關(guān)注和研究.圍長(zhǎng)是碼中最小的環(huán)長(zhǎng)度，增大圍長(zhǎng)可以提高碼字的性能.借助于計(jì)算機(jī)搜索，人們已經(jīng)提出了一些圍長(zhǎng)大于6的QC-LDPC碼構(gòu)造方法[1～6]，但為了滿足各種約束條件，這些準(zhǔn)隨機(jī)方法通?；ㄙM(fèi)時(shí)間長(zhǎng)、存在失敗可能，且對(duì)編解碼存儲(chǔ)空間提出了更高要求.

針對(duì)上述問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)確定性構(gòu)造方法的研究屢有成果涌現(xiàn).Tanner[7]和Zhang Fan[8]分別采用群結(jié)構(gòu)法、3維循環(huán)網(wǎng)絡(luò)法構(gòu)造出了圍長(zhǎng)在10以上的QC-LDPC碼，但是校驗(yàn)矩陣的行重只局限于特定范圍內(nèi)；Zhang Guo-hua[9]提出了基于二次函數(shù)的確定性方法，但方程系數(shù)與行重有關(guān)，任意行重只能構(gòu)造兩種校驗(yàn)矩陣；張國(guó)華[10～12]基于貪婪算法構(gòu)造了圍長(zhǎng)為8的QC-LDPC碼，其循環(huán)移位矩陣尺寸具有連續(xù)變化的優(yōu)點(diǎn)，但該方法要求準(zhǔn)循環(huán)基矩陣首行首列元素必須為0；Zhang Jian-hua[13]首次提出任意列重的構(gòu)造方法，然而固定碼參數(shù)下的校驗(yàn)矩陣形式是唯一的.此外，以上方法均未考慮由校驗(yàn)矩陣直接編碼的方案，這在一定程度上限制了它們的實(shí)際應(yīng)用.

在此基礎(chǔ)上，本文提出一種構(gòu)造任意列重、圍長(zhǎng)為8的QC-LDPC碼確定性方法.首先構(gòu)造了列重為4的基矩陣，分析了其圍長(zhǎng)特性；通過(guò)總結(jié)推導(dǎo)將特殊情形推廣，進(jìn)而提出任意列重的確定性構(gòu)造方法，并證明了該碼的圍長(zhǎng)至少為8；然后利用特殊的子矩陣結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)了由校驗(yàn)矩陣進(jìn)行迭代編碼，降低了編碼復(fù)雜度；最后通過(guò)軟件仿真，驗(yàn)證了該方法構(gòu)造的QC-LDPC碼參數(shù)設(shè)置靈活、性能優(yōu)良.

2 QC-LDPC碼

QC-LDPC碼的校驗(yàn)矩陣以單位陣的循環(huán)移位陣和零方陣為子陣，可表示為

(1)

其中：I(pij)表示一個(gè)p×p的循環(huán)移位矩陣.把循環(huán)右移系數(shù)pij寫(xiě)成一個(gè)矩陣P，稱為準(zhǔn)循環(huán)基矩陣，如式(2)所示[14]：

(2)

在基矩陣P中，若干個(gè)點(diǎn)(元素)p1,p2,…,p2k構(gòu)成一個(gè)環(huán)，則對(duì)應(yīng)的H矩陣也存在與之對(duì)應(yīng)的p個(gè)同樣大小的環(huán).顯然，環(huán)的長(zhǎng)度只能是大于或等于4的偶數(shù).表示H中長(zhǎng)為2k環(huán)的序列(p1,p2,…,p2k)滿足如下定理：

定理1[15]對(duì)于基矩陣P中的序列(p1,p2,…,p2k)，其中pi和pi+1在同一行或同一列，pi和pi+2在不同行且不同列，則(p1,p2,…,p2k)構(gòu)成長(zhǎng)為2k環(huán)的充要條件是

(3)

短環(huán)的存在使LDPC碼在譯碼時(shí)不能快速收斂，造成誤比特率(Bit Error Rate,BER)性能變差.因此，為了使校驗(yàn)矩陣不含長(zhǎng)為2k的環(huán)，就必須通過(guò)某種設(shè)計(jì)，使得式(3)不成立.圖1給出了6環(huán)存在的六種形狀.

3 構(gòu)造方法

將校驗(yàn)矩陣H分為校驗(yàn)部分Ha和信息部分Hb，如式(4)所示：

H=

(4)

其中，Ha為下三角結(jié)構(gòu)，大小為mp×mp，主對(duì)角線由單位陣構(gòu)成，0表示零矩陣；Hb大小為mp×kp(k=n-m).

首先考慮一種(4,n)基矩陣P的配置方式：

p1,j+1-p1,j=d1>0,1≤j

(5)

p2,j+1-p2,j=d2>d1,2≤j

(6)

p3,j+1-p3,j= max[(n-j)·(d2-d1)+d1+1,(j-1)

·(d2-d1)+d1+1], 3≤j

(7)

p4,j+1-p4,j=p3,j+1-p3,j+1, 4≤j

(8)

顯然P中第1、2行元素分別構(gòu)成單增等差數(shù)列.首先證明一些引理.

引理1 P中無(wú)4環(huán).

證明 由式(5)～式(8)，對(duì)任意4≤i

p4,j-p4,i>p3,j-p3,i>p2,j-p2,i>p1,j-p1,i>0

(9)

同理對(duì)任意2≤i

引理2 P中無(wú)圖1(a)～(d)所示6環(huán).

證明 根據(jù)引理1的證明過(guò)程，引理2顯然成立.

引理3 P中無(wú)圖1(e)～(f)所示6環(huán).

證明 令P中第x,y,z行(1≤x,y,z≤4)構(gòu)成的矩陣為P(x,y,z).考慮P(1,2,3)和圖1(e)的情形，不失一般性，令2≤i

由式(7)可得p3,j-p3,l≥(d2-d1)·l+d1+1，故

(p3,j-p3,l)+(p1,l-p1,i)+(p2,i-p2,j)

≥(d2-d1)·l+d1+1+(l-i)·d1+(i-j)·d2

=(d2-d1)·(i-1)+1>0

(10)

因此P(1,2,3)中無(wú)圖1(e)所示6環(huán)，同理也不存在圖1(f)所示6環(huán).采用相同的分析方法易知P(1,2,4)、P(1,3,4)和P(2,3,4)的中均無(wú)6環(huán).

將其推廣至任意列重的基矩陣，令di,j=pi,j+1-pi,j，1≤i≤m，i≤j

(1)當(dāng)m≤4時(shí)，按照式(5)～式(8)配置P.

(2)當(dāng)m>4時(shí)，設(shè)

d4k+1,j=p4k-1,n-(n-4k)·d1+1,k≥1

(11)

d2k+2,j=d2k+1,j+1,k≥2

(12)

d4k+3,j=max(d4k+1,j+n-j

+1,d4k+1,j+j-4k),k≥1

(13)

引理4 (m,n)基矩陣P中無(wú)6環(huán).

證明 不失一般性，令1≤r

考慮關(guān)系①和圖1(e)的情形，注意到此時(shí)4k+1≤i≤4k+4，得到：

(14)

因此有

(pt,j-pt,l)+(pr,l-pr,i)+(ps,i-ps,j)

≥p4k+3,n-(n-4k-4)·d1+1+(n-4k-5)

·d1-p4k+4,n

=p4k+3,n-p4k+4,n-d1+1

(15)

由式(12)易知

p4k+4,n=p4k+3,n-p4k+3,4k+4+(n-4k-4)

(16)

再由式(13)可得：

p4k+3,4k+4=d4k+3,4k+3

=d4k+1,4k+3+n-4k-2

(17)

將式(16)、式(17)代入式(15)可知其結(jié)果大于0.同理可得，當(dāng)行指數(shù)滿足關(guān)系②、③、④，以及m為任意值時(shí)引理4成立.證畢.

根據(jù)引理1～4可得到定理2.

定理2 對(duì)于任意列重m、任意行重n，由式(4)～式(8)、式(11)～式(13)定義的基矩陣P的圍長(zhǎng)至少為8.

可以發(fā)現(xiàn)，基矩陣P的第4k+1、4k+2(k≥0)行元素均構(gòu)成單增等差數(shù)列；當(dāng)初始值m、n、d1、d2確定后，移位系數(shù)可由數(shù)學(xué)公式計(jì)算得到；本文方法參數(shù)設(shè)置靈活，而移位矩陣的維數(shù)p大于移位系數(shù)，故p的取值下界為

infp=max(pi,n)+1,1≤i≤m

(18)

例1 利用本文方法設(shè)計(jì)的一種(6,8)基矩陣如式(19)所示：

(19)

4 編碼復(fù)雜度分析

由式(4)易知Ha滿秩，因此H是非奇異的，即可回避生成矩陣G而直接由校驗(yàn)矩陣進(jìn)行編碼.

采用LU分解法，令信息比特向量為s=[s1s2…sk]，校驗(yàn)比特向量為p=[p1p2…pm]，編碼器輸出行向量為c，它的長(zhǎng)度N=np=(m+k)p，則有

(20)

根據(jù)校驗(yàn)等式H·cT=0可得：

Ha·pT+Hb·sT=0

(21)

由于運(yùn)算在GF(2)中進(jìn)行，所以有

(22)

將式(22)展開(kāi)由第m式可得：

(23)

將式(23)回代到方程組式(22)的第m-1式可得：

(24)

依次類(lèi)推可得到各個(gè)pi，代入到式(20)，編碼完畢.

編碼復(fù)雜度主要關(guān)注編碼過(guò)程的運(yùn)算量、運(yùn)算復(fù)雜度和編碼所需存儲(chǔ)的參數(shù).運(yùn)算量即乘法和加法次數(shù)，運(yùn)算復(fù)雜度即運(yùn)算量與碼長(zhǎng)的變化關(guān)系.QC-LDPC碼的各個(gè)子矩陣都是稀疏矩陣，因此按照稀疏矩陣的運(yùn)算方式可大大減小運(yùn)算量.現(xiàn)計(jì)算pi的運(yùn)算量如表1所示.

表1 編碼算法的運(yùn)算量

從表1可明顯地看到，計(jì)算各個(gè)校驗(yàn)分向量pi的運(yùn)算復(fù)雜度為O(N)，即運(yùn)算復(fù)雜度與碼長(zhǎng)呈線性關(guān)系.同時(shí)由于該碼采用代數(shù)構(gòu)造法，校驗(yàn)矩陣中的元素由簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)運(yùn)算得到，只需要存儲(chǔ)一組初始參數(shù)和幾個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式即可，編碼器的實(shí)際存儲(chǔ)量需求非常小.

5 仿真與實(shí)驗(yàn)

5.1 最小碼重、碼距分析

一般認(rèn)為碼重小于10的碼為低碼重碼[16]，這類(lèi)碼的存在使LDPC譯碼器糾錯(cuò)能力低下.目前尚沒(méi)有辦法準(zhǔn)確求出碼字的最小碼重，本文采用文獻(xiàn)[16]給出的搜索算法，即通過(guò)生成矩陣的行向量估計(jì)LDPC碼的最小碼重和最小碼距的上界.仿真選取4種碼字，基矩陣尺寸分別為(4,8)，(4,12)，(5,10)，(6,12)，初始參數(shù)均為d1=1，d2=2.各碼字碼長(zhǎng)及碼重分布情況如圖2所示，計(jì)算機(jī)搜索得到的最小碼重、最小碼距的上界如表2所示.

表2 最小碼重、最小碼距搜索結(jié)果

仿真結(jié)果表明，(4,8)和(4,12)兩種基矩陣下其最小碼重的上界均為14，這是因?yàn)閮煞N校驗(yàn)矩陣的列重結(jié)構(gòu)是一樣的，都包含4種列重，而(4,12)中小列重的比例更小，因此碼重為16的行向量所占比重較大；隨著列重的增大，LDPC碼的最小碼重和碼距也增大，因此校驗(yàn)矩陣使用大的列重可減小產(chǎn)生低碼重碼的可能性.

5.2 性能分析

IEEE 802.11n、802.16e以及DVB-S2標(biāo)準(zhǔn)中均采用準(zhǔn)雙對(duì)角線子矩陣實(shí)現(xiàn)迭代編碼，與本文設(shè)計(jì)的方法類(lèi)似，故與這3種碼字進(jìn)行性能比較.仿真環(huán)境為加性高斯白噪聲(AWGN)信道，譯碼采用置信傳播(BP)算法，最大迭代次數(shù)為30，調(diào)制方式為BPSK.

實(shí)驗(yàn)1 與IEEE 802.11n、802.16e標(biāo)準(zhǔn)LDPC碼的比較

根據(jù)IEEE 802.11n標(biāo)準(zhǔn)選擇2種參數(shù)的基矩陣：維數(shù)p=27，碼長(zhǎng)N=648，碼率R=1/2；維數(shù)p=54，碼長(zhǎng)N=1296，碼率R=2/3.利用本文方法構(gòu)造同碼長(zhǎng)碼率的2種基矩陣分別為：維數(shù)p=81，d1=5，d2=7；維數(shù)p=108，d1=3，d2=4.仿真結(jié)果如圖3所示.

根據(jù)IEEE 802.16e標(biāo)準(zhǔn)選擇2種參數(shù)的基矩陣：維數(shù)p=24，碼長(zhǎng)N=576，碼率R=1/2；維數(shù)p=48，碼長(zhǎng)N=1152，碼率R=2/3B類(lèi).利用本文方法構(gòu)造同碼長(zhǎng)碼率的2種基矩陣分別為：維數(shù)p=72，d1=3，d2=5；維數(shù)p=96，d1=1，d2=2.仿真結(jié)果如圖4所示.

仿真結(jié)果表明，在中短碼條件下，本文構(gòu)造的碼字與IEEE 802.11n、802.16e標(biāo)準(zhǔn)的LDPC碼相比BER性能相一致.從仿真參數(shù)可以看到，本文給出的校驗(yàn)矩陣的列重顯然比上述兩類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)的要小，即最小碼重更小，然而B(niǎo)ER性能卻并未由此下降，說(shuō)明大圍長(zhǎng)特性促進(jìn)了該部分的性能增益，驗(yàn)證了理論推導(dǎo)的正確性.此外，IEEE 802.11n、802.16e標(biāo)準(zhǔn)的LDPC碼分別只提供了4種和6種基矩陣形式，不同碼率下需要存儲(chǔ)不同的移位系數(shù)，隨著通信技術(shù)的不斷發(fā)展在實(shí)際應(yīng)用中難免受到約束.而本文方法可根據(jù)需求靈活地設(shè)置初始參數(shù)，校驗(yàn)矩陣由數(shù)學(xué)公式自動(dòng)計(jì)算得到，大大節(jié)省了編解碼存儲(chǔ)空間，校驗(yàn)矩陣形式也更多樣化.

實(shí)驗(yàn)2 與DVB-S2標(biāo)準(zhǔn)LDPC碼的比較

DVB-S2標(biāo)準(zhǔn)中的LDPC碼只有兩種碼長(zhǎng)，即使短碼也長(zhǎng)達(dá)16200 bit，這對(duì)于編解碼器的實(shí)現(xiàn)具有較大的難度，故采用文獻(xiàn)[17]中的縮短碼設(shè)計(jì)，選擇2種碼率R=1/2的基矩陣，碼長(zhǎng)分別為5400和8100.利用本文方法構(gòu)造同碼長(zhǎng)碼率的2種基矩陣分別為：維數(shù)p=540，d1=11，d2=13；維數(shù)p=675，d1=16，d2=17；仿真結(jié)果如圖5所示.

仿真結(jié)果表明，DVB-S2標(biāo)準(zhǔn)的LDPC碼比本文構(gòu)造的碼字性能略優(yōu).這是因?yàn)樵摌?biāo)準(zhǔn)下校驗(yàn)矩陣的最大列重為8，在長(zhǎng)碼條件下的性能增益會(huì)更凸顯，而本文設(shè)計(jì)的碼字在無(wú)列重優(yōu)勢(shì)的情況下，BER性能已經(jīng)可以與之接近.另外，與IEEE 802.11n、802.16e標(biāo)準(zhǔn)類(lèi)似，DVB-S2標(biāo)準(zhǔn)針對(duì)不同碼率規(guī)定了不同的編碼信息表，同樣可能存在編碼器存儲(chǔ)與應(yīng)用范圍受限等問(wèn)題.綜上所述，本文構(gòu)造碼字不失為一種好碼.

6 結(jié)論

本文提出了一種構(gòu)造圍長(zhǎng)至少為8的(m,n)QC-LDPC碼的確定性方法.該碼的準(zhǔn)循環(huán)基矩陣由數(shù)學(xué)表達(dá)式確定，構(gòu)造方法簡(jiǎn)單，節(jié)省了編解碼存儲(chǔ)空間，校驗(yàn)矩陣可直接進(jìn)行迭代編碼，降低了編碼復(fù)雜度.研究結(jié)果表明，這類(lèi)碼只需少量的初始值控制就可設(shè)計(jì)任意參數(shù)的基矩陣，同時(shí)在AWGN信道中能夠獲得較好的糾錯(cuò)能力，因此對(duì)信道編碼理論的研究和應(yīng)用具有一定的參考價(jià)值.在此方法基礎(chǔ)上，如何構(gòu)造圍長(zhǎng)大于8的QC-LDPC碼是今后深入研究的內(nèi)容之一.

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Xiao Yang,FAN Jun,HUANG Xi.Improvement in LDPC codes in DVB-S2 standard[J].Journal of The China Railway Society,2011,33(2):52-59.(in Chinese)

張 軼 男,1986年10月出生，山西太原人.空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院博士研究生，從事信道編碼理論方面的有關(guān)研究.

E-mail:zhangyi1290@163.com

達(dá)新宇 男,1961年4月出生，陜西眉縣人.教授、博士生導(dǎo)師、國(guó)家精品課程《通信原理》負(fù)責(zé)人.1983年、1988年和2007年分別在西安電子科技大學(xué)、空軍地空導(dǎo)彈學(xué)院和西北工業(yè)大學(xué)獲工學(xué)學(xué)士、工學(xué)碩士和工學(xué)博士學(xué)位.現(xiàn)為空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院教授，主要從事衛(wèi)星通信、信道編碼、認(rèn)知無(wú)線電等方面的研究工作.

Deterministic Construction of QC-LDPC Codes for Any Column Weight with a Large Girth

ZHANG Yi,DA Xin-yu,SU Yi-dong

(InformationandNavigationCollege,AirForceEngineeringUniversity,Xi’an,Shaanxi710077,China)

To cope with the issue of determining cyclic shift coefficients of the quasi-cyclic sub-matrix in the Quasi-Cyclic Low-Density Parity-Check (QC-LDPC) codes,a method was presented based on the arithmetic progression to compute the cyclic shift coefficients.By this method,a class of girth eight QC-LDPC codes for any column weight is obtained,and the cyclic shift coefficients can be expressed in simple analytic expressions to reduce required memory usage.Meanwhile,the encoding complexity is linearly proportional to code length due to the lower triangular parity matrix.The simulation result shows that column weight and girth have important influences on code performance.Furthermore,over an Additive White Gauss Noise (AWGN) channel and under the Belief Propagation (BP) decoding algorithm,the simulation results represent that bit error rate of the proposed QC-LDPC codes is no less than the LDPC codes in IEEE 802.11n and 802.16e with short code length,and is close to the LDPC codes in DVB-S2 with long code length.Moreover,the study result also confirms that the proposed algorithm has high flexibility with respect to the design of code length and rate.

quasi-cyclic low-density parity-check (QC-LDPC) codes;column weight;girth;quasi-cyclic sub-matrix;efficient encoding

2014-12-17;

2015-04-10；責(zé)任編輯：馬蘭英

國(guó)家自然科學(xué)基金(No.61271250)

TN911.22

A

0372-2112 (2016)08-1814-06