從學(xué)生概念學(xué)習(xí)視角探究數(shù)學(xué)概念教學(xué)

常 寧，王守哲，韓花榮

(喀什大學(xué) 教育科學(xué)學(xué)院， 新疆 喀什 844000)

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從學(xué)生概念學(xué)習(xí)視角探究數(shù)學(xué)概念教學(xué)

常 寧，王守哲，韓花榮

(喀什大學(xué) 教育科學(xué)學(xué)院， 新疆 喀什 844000)

數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程和教學(xué)中起著十分重要的作用。本文通過對數(shù)學(xué)概念和學(xué)生獲得數(shù)學(xué)概念過程的分析，從概念形成和概念同化角度入手，在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、知識經(jīng)驗和抽象概括方面提供教學(xué)方法讓學(xué)生抓住數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性，并結(jié)合中學(xué)某一具體案例作出說明解釋。

數(shù)學(xué)概念；概念學(xué)習(xí)；概念教學(xué)

數(shù)學(xué)概念是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個重要組成部分，它既是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的邏輯起點，也是數(shù)學(xué)思維的核心。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，如果對基本概念理解不透徹，會導(dǎo)致計算錯誤，思維混亂，推理出現(xiàn)偏差。概念的錯誤理解會是造成諸多學(xué)生成績不理想的因素之一。

1 數(shù)學(xué)概念及對數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的分析

1.1 數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念是人類對數(shù)量關(guān)系和現(xiàn)實世界空間形式的概括反映，是建立數(shù)學(xué)法則、公式、定理的基礎(chǔ),也是運(yùn)算、推理、判斷和證明的基石，更是數(shù)學(xué)思維、交流的工具。[1]一般來說，數(shù)學(xué)概念源于倆方面：一方面源于人類對生活客觀經(jīng)驗的總結(jié)及數(shù)量關(guān)系和空間邏輯關(guān)系的推導(dǎo)。另一方面是在已有的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)上進(jìn)一步建構(gòu)。數(shù)學(xué)概念是對數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的反應(yīng)，遵循嚴(yán)密的邏輯結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)法則。如幾何證明、三角函數(shù)、向量運(yùn)算法則等，這類概念對數(shù)學(xué)的理論建構(gòu)發(fā)揮著重要作用。

1.2 數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)過程的分析

1.2.1 數(shù)學(xué)概念形成和概念學(xué)習(xí)過程

赫爾在對人工概念進(jìn)行研究時提出了概念形成，并提出了聯(lián)想理論，在此基礎(chǔ)上布魯納對人工概念進(jìn)一步研究提出假設(shè)考驗說。奧蘇伯爾對概念形成也進(jìn)行了心理描述。眾多心理學(xué)家對概念形成達(dá)成共識的同時，提出人們對同類事物中若干不同例子進(jìn)行感知、分析、比較和抽象，以歸納方式概括出這類事物本質(zhì)屬性而獲得概念的方式[2]。

數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)在建立在概念形成的基礎(chǔ)上，通過具體例子→觀察共性→抽象本質(zhì)→形成定義→強(qiáng)化概念→形成概念→概念應(yīng)用，遵循一系列邏輯關(guān)系。如同學(xué)們在學(xué)習(xí)等差數(shù)列時，首先我們舉出兩組數(shù)字：100，98，96，94，92；5，10，15，20，25，觀察兩組數(shù)字的共性，發(fā)現(xiàn)每一項與前一項的差是同一個常數(shù)的本質(zhì)，繼而形成等差數(shù)列的定義，形成定義的同時進(jìn)一步強(qiáng)化說明公差不僅僅是整數(shù)，也可以是小數(shù)、分?jǐn)?shù)，進(jìn)而形成等差數(shù)列概念，達(dá)到對等差數(shù)列概念的熟練應(yīng)用。數(shù)學(xué)概念的建立，無論從何種層面來說，都要抓住該數(shù)學(xué)概念的核心特點。

1.2.2 數(shù)學(xué)概念同化和概念學(xué)習(xí)過程

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識并不是空著腦袋進(jìn)入課堂的，而是建立在原有知識經(jīng)驗基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)，在定義形式陳述新概念時，學(xué)生主動地與其認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)概念進(jìn)行相互作用，也就是說學(xué)生原有的經(jīng)驗與新的經(jīng)驗結(jié)合，理解新概念的本質(zhì)屬性，從而形成新概念，這種獲得概念的方式叫做概念同化。

概念同化的階段可表示為：給出定義→與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)建立聯(lián)系→區(qū)別于原認(rèn)知結(jié)構(gòu)的概念→將新概念納入原有概念體系之中→獲得新概念。如我們在學(xué)習(xí)等比數(shù)列時，我們在理解等差數(shù)列的基礎(chǔ)上，了解等比數(shù)列每一項與前一項的公比q是一個常數(shù)，但此時的常數(shù)公比q又有區(qū)別與等差數(shù)列的公差d(q≠0，公差d可以等于0)，這兩個概念既有聯(lián)系又有區(qū)別。最后通過練習(xí)、復(fù)習(xí)及習(xí)題的講解使等比數(shù)列概念在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中得到鞏固。

2 數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的影響因素

影響數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的影響因素有很多，從學(xué)生角度來講，不同學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的接受和理解程度往往各不相同。簡單分析以下幾個主要因素，為教學(xué)提供參考。

2.1 原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時，往往是從他原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)或知識經(jīng)驗出發(fā)，認(rèn)識、理解和區(qū)分概念之間的各種聯(lián)系和區(qū)別。就概念形成來說，學(xué)生必須具有“刺激模式”相關(guān)方面的相關(guān)圖式，也就是說，應(yīng)具有與該數(shù)學(xué)概念方面相關(guān)的知識。就概念同化來說，要想掌握新的概念就必須掌握那些作為定義的概念，在原有概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行進(jìn)一步建構(gòu)。因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時，我們應(yīng)該注重學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識和經(jīng)驗，從中抽取概念的本質(zhì)屬性，淡化非本質(zhì)屬性。

2.2 感性材料

概念的形成需要有豐富的經(jīng)驗和相關(guān)背景，對感性材料進(jìn)行抽象。而概念同化主要是對以往知識經(jīng)驗的概括。因此，感性材料對概念的形成至關(guān)重要。感性材料太少或知識經(jīng)驗欠缺，學(xué)生對概念的理解就會不充分、不豐富，難以辨別各種對象的本質(zhì)屬性，更不易理解概念的內(nèi)涵和外延。數(shù)學(xué)概念是學(xué)生不斷感知經(jīng)驗的活動過程，是主體不斷對感性材料加工、修正，最終達(dá)到主體對感性材料建構(gòu)的過程，隨著個人對感性材料理解的加深，知識經(jīng)驗也隨之加深，主體對感性材料的建構(gòu)就不斷發(fā)展、完善。

2.3 抽象概括能力

所謂抽象能力，是指把概念中各個個別對象的共同屬性抽取出來，舍棄各個個別對象的其他屬性。而概括能力是由給定的對象集合進(jìn)到討論容量更大的且包含前者的集合的中間過程。心理學(xué)研究表明：抽象和概括是人們形成和掌握概念的直接前提。因此，學(xué)生要掌握數(shù)學(xué)概念就必須有一定得抽象概括能力，“抽象”是概念形成必不可少的步驟，“概括”是概念同化的必要環(huán)節(jié)。抽象概括能力差，就會抓不住事物的本質(zhì)屬性，尤其是數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性，不能明確數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延。

3 數(shù)學(xué)概念教學(xué)過程

數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)過程應(yīng)是有意義的接受學(xué)習(xí)和發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，其實質(zhì)就是把數(shù)學(xué)知識(指教材)經(jīng)過學(xué)生的思維活動積極主動地與學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行建構(gòu)。因此，教師在教學(xué)過程中要注重學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，結(jié)合學(xué)生的知識經(jīng)驗，加強(qiáng)學(xué)生的抽象概括能力，以達(dá)到更好的讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念的目的。

3.1 合理引入情景和問題，建立優(yōu)良的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了使學(xué)生更容易接受和掌握概念，教師應(yīng)該先創(chuàng)設(shè)有關(guān)數(shù)學(xué)概念的相關(guān)情景，想方設(shè)法喚起學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識和經(jīng)驗。如，學(xué)生們在學(xué)習(xí)“平行六面體”概念時，教師可讓學(xué)生們先回憶有關(guān)“平行四邊形”概念和性質(zhì)，再回憶棱柱的面是什么樣子，三棱柱以及四棱柱的形狀，然后讓同學(xué)們發(fā)現(xiàn)問題，“平行六面體”與以往的棱柱有什么不同，這樣就為學(xué)生理解平行六面體概念奠定了基礎(chǔ)。新概念和學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的知識產(chǎn)生聯(lián)系，從而形成新的概念。

學(xué)生在學(xué)習(xí)新課時，開始可能會接觸到一系列新的概念、公理、定理以及思想方法，這些簡單的定理、公式不可能被原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)所同化，這時只能從現(xiàn)實生活的實例、模型中抽象概括。針對這種狀況，教師在教學(xué)時要盡可能的采用實物、模型加以彌補(bǔ)，突出和辨析各種對象的本質(zhì)屬性。例如，教師在講解幾何中垂直概念時，可以舉出生活中人們在建造房屋時用到“鉛垂線”測量房屋的筆直程度，再引出幾何數(shù)學(xué)中所指的垂直是我們所說的90°角，最后在練習(xí)和解題中對垂直的概念加以利用和證明。在平面幾何學(xué)習(xí)入門階段，處于建立新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)過程，而教師的引導(dǎo)對于學(xué)生形成新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)顯得十分重要，這個新建的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)關(guān)系到今后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的好壞，也是今后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

3.2 重視學(xué)生過去的知識經(jīng)驗，基于學(xué)生舊知識上建立新概念

學(xué)生在學(xué)習(xí)每一個公式、定理時，教師都應(yīng)該讓學(xué)生在自己已有的知識體系上，清楚的知道怎樣一步步的得出什么結(jié)論，運(yùn)用了以往的哪些概念、定理或公式，運(yùn)用了什么方法。要知其所以然，不能只記住條件或結(jié)論。如學(xué)生在高中學(xué)習(xí)三角函數(shù)概念時，教師在讓學(xué)生知道正弦公式、余弦公式的基礎(chǔ)上推導(dǎo)二倍角公式，讓學(xué)生在已有知識的基礎(chǔ)上由sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ得出sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα，而不是讓學(xué)生直接背下sin2α=2sinαcosα。同理，余弦函數(shù)的二倍角公式和正切函數(shù)的二倍角公式都是在學(xué)生學(xué)完余弦公式和正切公式的基礎(chǔ)上建立的，也就是說，有些新數(shù)學(xué)概念是在學(xué)生舊知識基礎(chǔ)上建立的。數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)是一個積極思維活動的過程，教師切不可脫離學(xué)生已有的知識經(jīng)驗而把數(shù)學(xué)概念看成孤立的、靜止的，要在學(xué)生已有知識經(jīng)驗的基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生有意義學(xué)習(xí)的傾向。新舊概念存在某些相似性的同位關(guān)系，例如，對數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是在指數(shù)函數(shù)相關(guān)知識基礎(chǔ)上建立的，立體幾何中的相關(guān)概念的學(xué)習(xí)是在平面幾何概念的基礎(chǔ)上獲得的。

鑒于數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的背景不同，教師應(yīng)充分考慮學(xué)生的原有知識經(jīng)驗，必要時可以導(dǎo)入新概念的相關(guān)情景，讓學(xué)生頭腦中原有概念與新概念產(chǎn)生對比、分類，區(qū)分新舊概念之間的異同，認(rèn)識新舊概念之間的關(guān)系，這樣才有利于學(xué)生頭腦中知識結(jié)構(gòu)形成有機(jī)網(wǎng)絡(luò)。

3.3 讓學(xué)生抓住數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性，加強(qiáng)學(xué)生的抽象概括能力

教師在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時，要讓學(xué)生練習(xí)對概念本質(zhì)屬性與非本質(zhì)屬性的區(qū)分，要采用適當(dāng)?shù)姆椒ㄗ尡举|(zhì)屬性明顯一些，以便于學(xué)生對概念的抽象概括，在講到數(shù)學(xué)概念本質(zhì)屬性時可加強(qiáng)語氣，用彩色粉筆做重點突出。有時也可直接指出哪些是概念的非本質(zhì)屬性，如在剛學(xué)習(xí)函數(shù)這一概念時，學(xué)生往往誤認(rèn)為只有y隨x的變化而變化的才叫做y是x的函數(shù)，而函數(shù)概念的本質(zhì)屬性實則是對于變量x在定義域內(nèi)的每一個值，變量y都有唯一確定的值與它相對應(yīng)，舉出肯定實例y=x0，對于x取的每一個值(非0)，y都有惟一確定的值1與它相對應(yīng)，教師在講解函數(shù)概念時可在“唯一”下面點上兩個小點進(jìn)一步突出概念本質(zhì)屬性，又如，學(xué)生在學(xué)習(xí)三角形高線時，往往認(rèn)為只有在三角形三邊內(nèi)的垂線才稱為高線，把非本質(zhì)屬性(垂線在邊內(nèi)、垂線在邊上、垂線與邊重合)誤認(rèn)為本質(zhì)屬性，因此，及時指出概念反映的非本質(zhì)屬性有利于突出概念的本質(zhì)屬性，從而讓學(xué)生正確掌握概念。

在幾何教學(xué)中，學(xué)生在感知幾何圖形時，在抽象概括它的本質(zhì)特征過程中，往往會受到非本質(zhì)屬性的影響，尤其是非本質(zhì)屬性表現(xiàn)的十分明顯或強(qiáng)烈時。如在學(xué)習(xí)等腰三角形時，頂點畫在左邊，底邊畫在右邊，有些學(xué)生可能就不認(rèn)為這是等腰三角形了，所以教師要引導(dǎo)學(xué)生抽象概括等腰三角形的本質(zhì)，讓學(xué)生概括出有倆條邊相等的三角形就是等腰三角形。

4 結(jié)合概念教學(xué)理念的案例展示(向量加法運(yùn)算及其幾何意義一課的引入)

4.1 創(chuàng)設(shè)情境，引入問題

情景-唐僧師徒四人西天取經(jīng)的路上，遇到一塊大石頭阻住去路，師兄弟三人就“人多力量大”這句話發(fā)生爭論，提出幾個問題讓學(xué)生根據(jù)已有生活經(jīng)驗做答。

教師：提出問題1. 悟空師兄弟每人都以1000N的力推石頭，則石頭受到的合力是3000N嗎？

問題2. 唐僧當(dāng)年取經(jīng)路線是先到新疆，再往天竺，若悟空單獨前往，可以直接飛往西天，兩種走法的路程相同嗎？位移呢？

(設(shè)計意圖：教師以生動有趣的小故事為載體創(chuàng)設(shè)問題情景，貼近學(xué)生生活，激發(fā)學(xué)生好奇心和求知欲，教師提出的兩個問題有意識地將物理中力、位移的合成與即將學(xué)習(xí)的知識形成類比，形成優(yōu)良的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。)

學(xué)生：石頭收到的合力不一定是3000N。

兩種走法路程不同，位移相同。

(讓學(xué)生充分利用已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)去探索和解決問題，在以前學(xué)過的物理知識基礎(chǔ)上向本節(jié)要學(xué)的數(shù)學(xué)概念上靠近，新知識建立在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)上。)

4.2 信息交流，揭示規(guī)律

教師：某同學(xué)從家中A處出發(fā)，向正南方向行走500m到達(dá)超市，買了文具后沿著北偏東60°方向行走200m到達(dá)學(xué)校C處，如圖1。此同學(xué)兩次位移的總效果是什么？

學(xué)生：兩次位移的總效果是從A到達(dá)了C處。

圖1

教師：那我們在上這節(jié)課之前學(xué)過向量的表示方法，能用向量表示位移嗎？

學(xué)生：思考.....

教師：那看到這個圖我們能聯(lián)想到以前學(xué)過的知識嗎？

學(xué)生：有點像我們在物理學(xué)中學(xué)過力的正交分解。

教師：力的正交分解遵循什么法則呢？

學(xué)生：在平面直角坐標(biāo)系里分解力、力的合成，三角形法則、平行四邊形法則，遵循矢量加法法則。

圖2

(設(shè)計意圖：關(guān)注學(xué)生過去的知識經(jīng)驗，學(xué)生在充分理解向量概念的前提下提出向量加法法則，在力學(xué)知識的基礎(chǔ)上建立新概念，從而讓學(xué)生自己揭示規(guī)律)

4.3 深化提高，抽象概括

教師：那么學(xué)生從以下練習(xí)題中看能否得出

教師：同學(xué)們在向量加法法則里發(fā)現(xiàn)什么了呢？能不能用自己的話說一下。

學(xué)生：老師我好像發(fā)現(xiàn)向量求和得出的和向量起點是向量→(→量)的起點，終點是向量→(→點)的終點。

教師：對的，那么向量加法和數(shù)量加法是否一樣呢？

學(xué)生：物理學(xué)里的力合成是矢量加法，所以的向量的也應(yīng)該是矢量加法，而數(shù)量加法遵循的是四則運(yùn)算法則。

由此類推平行四邊形法則......

(設(shè)計意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步從概念中凝練，找出概念的本質(zhì)屬性，讓數(shù)學(xué)概念通俗易懂，切忌死記硬背、生搬硬套。)

5 概念學(xué)習(xí)中應(yīng)注意的一些問題

人類對數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識具有“漸進(jìn)性”，學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識要“重演人類認(rèn)識數(shù)學(xué)概念的過程”，數(shù)學(xué)概念的抽象性決定了對它認(rèn)識的曲折性，不可能一步到位，需要循序漸進(jìn)、在已有知識經(jīng)驗的基礎(chǔ)上進(jìn)行再概括。教師要以學(xué)生為主體，學(xué)生的發(fā)展水平出發(fā)，積極讓學(xué)生參與到概念探索的情境中來，舉例辨析，對概念的內(nèi)涵進(jìn)行深度加工更準(zhǔn)確的把握概念的細(xì)節(jié)，在概念的系統(tǒng)中學(xué)習(xí)概念，即要通過概念的應(yīng)用，形成用概念作判斷的“操作步驟”的同時，建立相關(guān)概念的聯(lián)系，這是一次新的概括過程[3]。

[1]邵光華，章建躍.數(shù)學(xué)概念的分類、特征及其教學(xué)探索[J].課程·教材·教法，2009，29(7)：47-51.

[2]裘紅明，吳道春，等.數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)探究[J].成都大學(xué)學(xué)報：教育科學(xué)版，2008，22(5)：70-72.

[3]徐同，翟士杰.高中數(shù)學(xué)概念淺議[J].當(dāng)代教育科學(xué)，2015，(6)：61-62.

The Analysis of Mathematics Concept Teaching from the Perspective of Student’s Concept Learning Process

CHANG Ning, WANG Shou-zhe, HAN Hua-rong

(College of Education Science, Kashgar University, Kashgar Xingjiang 844000, China)

Mathematical concepts play an essential role in mathematics teaching and learning. This paper attempts to begin with the concept formation and assimilation, provide teaching method in aspects of student’s cognitive structure, knowledge experience and abstraction, and make students grasp the essence of mathematics concept. This paper will also explain related issues with in a case study.

mathematical concepts; concept learning; concept teaching

2016-05-15

常 寧(1991-)，男，黑龍江佳木斯人，碩士研究生，研究方向為課程與教學(xué)論(數(shù)學(xué))。

王守哲(1991-)，女，黑龍江勃利人，碩士研究生，研究方向為數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論。

G642

A

1674-344X(2016)08-0117-04