去偏轉(zhuǎn)換方向余弦位置和多普勒量測(cè)跟蹤

付錦斌,孫進(jìn)平,魏少明,李少洪

(北京航空航天大學(xué) 電子信息工程學(xué)院, 北京 100191)

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去偏轉(zhuǎn)換方向余弦位置和多普勒量測(cè)跟蹤

付錦斌,孫進(jìn)平,魏少明,李少洪

(北京航空航天大學(xué) 電子信息工程學(xué)院, 北京 100191)

為解決相控陣?yán)走_(dá)方向余弦坐標(biāo)系下?tīng)顟B(tài)空間模型量測(cè)方程強(qiáng)非線性的問(wèn)題，提出了一種帶多普勒量測(cè)的去偏轉(zhuǎn)換量測(cè)跟蹤方法.在考慮距離量測(cè)誤差與多普勒量測(cè)誤差相關(guān)性的基礎(chǔ)上，用距離量測(cè)與多普勒量測(cè)的乘積構(gòu)造偽量測(cè)來(lái)減輕多普勒量測(cè)的非線性.并通過(guò)對(duì)方向余弦進(jìn)行二階泰勒展開(kāi)，得到了轉(zhuǎn)換量測(cè)誤差均值和協(xié)方差的一致性估計(jì).最后通過(guò)對(duì)位置量測(cè)和偽量測(cè)進(jìn)行序貫處理解決了偽量測(cè)非線性的問(wèn)題.仿真結(jié)果證明：通過(guò)引入多普勒量測(cè)確實(shí)提高了濾波性能；同時(shí)相比于常用的擴(kuò)展卡爾曼濾波器和不敏卡爾曼濾波器，提出的去偏轉(zhuǎn)換量測(cè)濾波器在方向余弦坐標(biāo)系下具有更好的跟蹤性能.

目標(biāo)跟蹤；相控陣?yán)走_(dá)；方向余弦坐標(biāo)系；多普勒量測(cè)；去偏轉(zhuǎn)換量測(cè)

在目標(biāo)跟蹤中，目標(biāo)運(yùn)動(dòng)方程通常定義在直角坐標(biāo)系(CAR)下，但目標(biāo)量測(cè)通常在極/球坐標(biāo)系或方向余弦坐標(biāo)系(COS)下給出.這使得狀態(tài)空間中量測(cè)方程呈現(xiàn)非線性.對(duì)于這一非線性問(wèn)題，通常采用兩種解決方法.一種是用特定方法近似目標(biāo)狀態(tài)通過(guò)非線性映射后的概率分布，從而得到目標(biāo)狀態(tài)的估計(jì).擴(kuò)展卡爾曼濾波器(EKF)[1]假定目標(biāo)狀態(tài)滿足高斯分布，用目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)的均值和協(xié)方差表示當(dāng)前目標(biāo)狀態(tài)的概率分布，通過(guò)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)的方法獲得非線性函數(shù)的線性近似表達(dá)，之后使用卡爾曼濾波器(KF)獲得下一時(shí)刻目標(biāo)狀態(tài)的概率分布.不敏卡爾曼濾波器(UKF)[2]同樣假定目標(biāo)狀態(tài)滿足高斯分布，用目標(biāo)狀態(tài)空間中選取的一系列采樣點(diǎn)來(lái)近似目標(biāo)狀態(tài)分布，用非線性函數(shù)作用于這些點(diǎn)上所得結(jié)果來(lái)近似下一時(shí)刻目標(biāo)狀態(tài)的概率分布.另一種方法是將量測(cè)轉(zhuǎn)換到直角坐標(biāo)系下，然后使用KF得到目標(biāo)狀態(tài)的估計(jì).文獻(xiàn)[3]指出帶噪聲量測(cè)直接轉(zhuǎn)換到直角坐標(biāo)系下是有偏的，并提出一種去偏轉(zhuǎn)換量測(cè)(DCM)方法.文獻(xiàn)[4]利用在極/球坐標(biāo)系下可以直接通過(guò)帶噪聲量測(cè)得到目標(biāo)狀態(tài)的無(wú)偏估計(jì)，提出一種無(wú)偏轉(zhuǎn)換量測(cè)(UCM)方法.文獻(xiàn)[5]指出這種UCM方法在推導(dǎo)轉(zhuǎn)換量測(cè)誤差均值和協(xié)方差時(shí)存在兼容性問(wèn)題，并在UCM方法的基礎(chǔ)上提出一種修正無(wú)偏轉(zhuǎn)換量測(cè)(MUCM)方法.文獻(xiàn)[6-8]對(duì)現(xiàn)有的量測(cè)轉(zhuǎn)換方法進(jìn)行了總結(jié)和改進(jìn).但上述轉(zhuǎn)換量測(cè)方法大都只適用于機(jī)械掃描雷達(dá)廣泛使用的極/球坐標(biāo)量測(cè)，并不適用于電掃描相控陣?yán)走_(dá)的方向余弦坐標(biāo)量測(cè).

隨著雷達(dá)技術(shù)的不斷發(fā)展，雷達(dá)除了能夠給出目標(biāo)的位置信息，如距離、方位角和俯仰角，還能提供目標(biāo)的徑向速度信息.理論和實(shí)踐已經(jīng)證明[1]，充分利用徑向速度信息可以有效提高目標(biāo)的跟蹤精度.考慮多普勒量測(cè)與目標(biāo)狀態(tài)之間完全是非線性關(guān)系，文獻(xiàn)[1]提出采用距離量測(cè)和多普勒量測(cè)的乘積構(gòu)造偽量測(cè)來(lái)減小這種非線性，然后再用線性化方法得到轉(zhuǎn)換量測(cè)誤差的統(tǒng)計(jì)特性.但文獻(xiàn)[9]證明了對(duì)于線性調(diào)頻信號(hào)，多普勒量測(cè)誤差與距離量測(cè)誤差之間具有很強(qiáng)的相關(guān)性.文獻(xiàn)[10]考慮這種相關(guān)性，將文獻(xiàn)[3,11]的方法推廣到包含多普勒量測(cè)的情況.文獻(xiàn)[12-13]針對(duì)極坐標(biāo)情況，假定一個(gè)切向速度量測(cè)將多普勒量測(cè)轉(zhuǎn)換為X，Y方向的速度量測(cè)再進(jìn)行濾波.文獻(xiàn)[14]設(shè)計(jì)了一個(gè)轉(zhuǎn)換多普勒量測(cè)的卡爾曼濾波器(CDMKF)，并將所得濾波結(jié)果與常規(guī)位置量測(cè)濾波結(jié)果融合得到最終目標(biāo)狀態(tài)的估計(jì).上述方法均通過(guò)引入多普勒量測(cè)，在不同程度上改善了濾波性能.

文獻(xiàn)[15]針對(duì)方向余弦坐標(biāo)系下的位置量測(cè)給出了一種轉(zhuǎn)換量測(cè)的卡爾曼濾波器(CMKFDcos).本文在此基礎(chǔ)上引入多普勒量測(cè)，提出了一種方向余弦坐標(biāo)系下帶多普勒量測(cè)的去偏轉(zhuǎn)換量測(cè)濾波(debiased converted position and Doppler measurements filter in the COS, DCPDMFcos)方法.通過(guò)仿真驗(yàn)證了此轉(zhuǎn)換量測(cè)方法是一致有效的.同時(shí)將其應(yīng)用于二維目標(biāo)跟蹤中，仿真結(jié)果證實(shí)了本文提出的方法通過(guò)引入多普勒量測(cè)確實(shí)提高了性能，并比現(xiàn)有EKF和UKF具有更好的跟蹤效果.事實(shí)上，本文提出的方法可以直接推廣應(yīng)用于三維方向余弦坐標(biāo)系下的目標(biāo)跟蹤.

1 方向余弦坐標(biāo)系

在陣列雷達(dá)應(yīng)用中，用不隨掃描角變化的余弦或余弦增量來(lái)描述波束寬度和角位置增量更方便，因此陣列雷達(dá)量測(cè)多在方向余弦坐標(biāo)系下給出.假設(shè)xr-yr是與陣面固連的直角坐標(biāo)系，波束指向與位于陣列平面xr軸的夾角為A，則有

式中：α為目標(biāo)與xr軸的方向余弦;x為目標(biāo)在xr軸上的坐標(biāo)值;R為目標(biāo)至雷達(dá)的距離.陣列雷達(dá)在方向余弦坐標(biāo)系下所得量測(cè)值包含與xr軸的方向余弦α，距離R和多普勒速度vR.

方向余弦坐標(biāo)量測(cè)與直角坐標(biāo)量測(cè)之間的關(guān)系為

x=Rα=RcosA,

2 方向余弦轉(zhuǎn)換量測(cè)誤差的均值和協(xié)方差

方向余弦坐標(biāo)系描述電掃描陣列雷達(dá)的天線方向圖和掃描特性是方便的，但是并不適合描述目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，這就需要將陣列雷達(dá)的方向余弦坐標(biāo)量測(cè)值變換到直角坐標(biāo)系下.雷達(dá)同所有傳感器一樣，量測(cè)會(huì)受到噪聲的污染.假定陣列雷達(dá)量測(cè)為Zmcos=(αmRmvRm)T，則有

(1)

考慮到多普勒量測(cè)與目標(biāo)狀態(tài)的非線性性過(guò)強(qiáng)，本文用距離量測(cè)和多普勒量測(cè)的乘積構(gòu)造偽量測(cè)來(lái)減輕這種非線性，則方向余弦量測(cè)轉(zhuǎn)換到直角坐標(biāo)系下為

(2)

由于帶噪聲的非線性轉(zhuǎn)換是有偏的[3]，所以需要估算偏差并把偏差去除.由式(1)可得：

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

直角坐標(biāo)量測(cè)誤差的均值u為

直角坐標(biāo)量測(cè)誤差的協(xié)方差RCar為

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

根據(jù)式(4)和式(15)并進(jìn)行一定近似可得：

(17)

(18)

(19)

由于

式(17)～(19)可以方便求得，這里不再贅述.

3 跟蹤處理流程

為解決方向余弦坐標(biāo)系下量測(cè)方程的強(qiáng)非線性，首先用多普勒量測(cè)與距離量測(cè)乘積的偽量測(cè)來(lái)減輕多普勒量測(cè)的非線性.接著將所得量測(cè)Rm,αm,ξm依據(jù)式(2)轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)系下xm,ym,ξm，并根據(jù)式(10)～(16)得到轉(zhuǎn)換之后誤差的平均真實(shí)均值和平均真實(shí)協(xié)方差.最后由于轉(zhuǎn)換量測(cè)中的偽量測(cè)與目標(biāo)狀態(tài)仍然存在非線性，但非線性已經(jīng)很弱.本文利用Cholesky分解對(duì)位置量測(cè)和偽量測(cè)進(jìn)行序貫處理來(lái)解決這一非線性問(wèn)題[10].算法具體流程如圖1所示.

圖1 跟蹤流程

4 仿真與分析

為驗(yàn)證本文跟蹤濾波器的性能，設(shè)計(jì)如下仿真場(chǎng)景.雷達(dá)位于(0,0)km處，采樣間隔T=1 s，距離、方位和多普勒量測(cè)的標(biāo)準(zhǔn)差分別為σR=15 m，σα=0.2(°)，σvR=0.1 m/s，距離量測(cè)誤差與多普勒量測(cè)誤差相關(guān)系數(shù)ρ=0.9[9].假定目標(biāo)起始位于(10，10)km處，并以(100,100)m/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)100 s.狀態(tài)空間模型采用近似常加速度模型，過(guò)程噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為0.001m/s2.

由于在方向余弦坐標(biāo)系下，并不能得到轉(zhuǎn)換量測(cè)的無(wú)偏估計(jì)，所以UCM和MUCM方法不能被使用.為驗(yàn)證本文提出的算法的性能，EKF、UKF以及本文提出的DCPDMFcos在以下3個(gè)指標(biāo)下被評(píng)估.同時(shí)為驗(yàn)證引入多普勒量測(cè)對(duì)于濾波效果的影響，文獻(xiàn)[15]中CMKFDcos也被評(píng)估.

首先應(yīng)用平均歸一化轉(zhuǎn)換量測(cè)誤差方差(ANCMES)[3]對(duì)量測(cè)進(jìn)行一致性分析：

圖2 預(yù)測(cè)量測(cè)一致性檢測(cè)

注：彩圖見(jiàn)電子版(http://hit.alljournals.cn)(2016年第10期)

由于CMKFDcos并不包含多普勒量測(cè)，它的卡方分布置信邊界不同與其他濾波器.所以CMKFDcos并未用此指標(biāo)進(jìn)行評(píng)估.圖2中紅線為置信度為0.9時(shí)的卡方分布置信邊界.從圖2中可以看出本文提出的轉(zhuǎn)換量測(cè)方法在濾波過(guò)程中預(yù)測(cè)量測(cè)始終是一致的，而EKF在濾波全過(guò)程都不能保證預(yù)測(cè)量測(cè)的一致性，UKF僅能在濾波的某些時(shí)刻保證預(yù)測(cè)量測(cè)的一致性.

以下從濾波器估計(jì)的一致性和濾波精度兩個(gè)方面對(duì)濾波器跟蹤性能進(jìn)行分析.濾波器的估計(jì)一致性由平均歸一化估計(jì)誤差方差(ANEES)[16]給出:

式中：(xi-x)、Pi分別為第i次蒙特卡洛仿真的估計(jì)誤差和相應(yīng)的誤差協(xié)方差；m為量測(cè)向量的維數(shù).如果估計(jì)誤差和相應(yīng)協(xié)方差匹配的話，ANEES應(yīng)該接近于1，則濾波器是可信的[16].500次蒙特卡洛試驗(yàn)所得結(jié)果如圖3所示.從圖3中可以看出EKF完全不能保證濾波的一致性，而UKF只在濾波開(kāi)始具有較好的一致性.對(duì)于DCPDMFcos，雖然由于引入多普勒量測(cè)，它的一致性相比于CMKFDcos稍有下降，但仍能在整個(gè)濾波過(guò)程中保持較好的一致性.而且從后面的仿真結(jié)果也可以看出，這一點(diǎn)一致性的下降并沒(méi)有影響DCPDMFcos的跟蹤性能.

圖3 濾波器狀態(tài)一致性檢測(cè)

關(guān)于濾波器的估計(jì)精度，本文選取濾波器估計(jì)值與真值誤差的均方根誤差(RMSE)作為評(píng)價(jià)指標(biāo).同時(shí)為了更好的呈現(xiàn)濾波器的估計(jì)精度，各量測(cè)估計(jì)的RMSE也同樣被給出.通過(guò)500次蒙特卡洛試驗(yàn)所得結(jié)果如圖4所示.

圖4 濾波精度性能比較

從仿真結(jié)果可以看出，通過(guò)引入多普勒量測(cè)，DCPDMFcos相比于CMKFDcos獲得了更佳的濾波效果.同時(shí)由于方向余弦坐標(biāo)系下量測(cè)方程的非線性過(guò)強(qiáng)，EKF完全不能給出目標(biāo)狀態(tài)的有效估計(jì)，UKF僅能在某些時(shí)刻給出目標(biāo)狀態(tài)的有效估計(jì)，且濾波效果較差.而DCPDMFcos在所有的指標(biāo)上都具有最佳的濾波效果.

5 結(jié) 論

1)針對(duì)方向余弦坐標(biāo)系下的目標(biāo)跟蹤問(wèn)題，DCPDMFcos考慮了距離量測(cè)和多普勒量測(cè)之間的相關(guān)性，通過(guò)對(duì)量測(cè)方程中的非線性分三步進(jìn)行處理，有效地降低每一步所需要處理的非線性，從而給出了目標(biāo)狀態(tài)的有效估計(jì).

2)DCPDMFcos首先用距離量測(cè)與多普勒量測(cè)的乘積構(gòu)造偽量測(cè)來(lái)減輕多普勒量測(cè)的非線性；然后通過(guò)對(duì)方向余弦進(jìn)行二階泰勒展開(kāi)，得到了轉(zhuǎn)換量測(cè)誤差均值和協(xié)方差的一致性估計(jì)；最后通過(guò)對(duì)位置量測(cè)和偽量測(cè)進(jìn)行序貫處理解決了偽量測(cè)的非線性問(wèn)題.

3)通過(guò)與CMKFDcos、EKF和UKF性能的比較仿真，證實(shí)了無(wú)論在濾波一致性方面，還是在濾波精度方面，DCPDMFcos都具有更佳的性能.

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(編輯 張 紅)

Debiased converted position and doppler measurements tracking in direction cosine coordinates

FU Jinbin, SUN Jinping, WEI Shaoming, LI Shaohong

(School of Electronic and Information Engineering, Beihang University, Beijing 100191, China)

This paper proposes a debiased converted measurement filter with Doppler measurement to deal with the problem of high nonlinearities in state space model measurement equation in direction cosines coordinates of phased array radar. Considering the relationship between the range measurement error and Doppler measurement error, a pseudo measurement is constructed by the product of range and Doppler measurements to reduce the high nonlinearities of the Doppler measurement. Then, via taking the second-order Taylor series expansion to the direction cosines variable, consistent estimations of mean and covariance of the converted measurement error are derived. Finally, the problem of pseudo measurement nonlinearities is coped with by sequentially processing the position measurement and pseudo measurement. The simulation results prove that the filtering performance is improved indeed by introducing the Doppler measurement. Moreover, compared with the common extend Kalman filter and unscented Kalman filter, the proposed debiased converted measurement filter shows better tracking performance indirection cosine coordinates.

target tracking; phased array radar; direction cosine coordinates; Doppler measurements; debiased converted measurements

10.11918/j.issn.0367-6234.2016.10.014

2015-05-13

國(guó)家自然科學(xué)基金(61471019)；國(guó)家自然科學(xué)基金重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室基金(9140C800101140C80331)

付錦斌(1991—)，男，博士研究生；

孫進(jìn)平(1975—)，男，博士生導(dǎo)師

付錦斌，fujinbin@buaa.edu.cn

TN953

A

0367-6234(2016)10-0097-06