離散切換系統(tǒng)的H_/H∞故障檢測濾波器設(shè)計

沈 毅,王佳偉,王振華

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱150001)

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離散切換系統(tǒng)的H_/H∞故障檢測濾波器設(shè)計

沈 毅,王佳偉,王振華

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱150001)

為解決離散時間線性切換系統(tǒng)的故障檢測問題，設(shè)計了滿足混合H_/H∞性能指標(biāo)的魯棒故障檢測濾波器.首先，通過構(gòu)造故障檢測濾波器來得到殘差，并且為提高故障檢測的性能，使用加權(quán)H∞性能指標(biāo)和H_性能指標(biāo)表示殘差對于擾動的魯棒性以及對于故障的敏感性，進(jìn)而將魯棒故障檢測濾波器的設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為混合H_/H∞性能指標(biāo)下的多目標(biāo)求解問題.接著，利用多Lyapunov函數(shù)方法和平均駐留時間技術(shù)，先得到了初步的濾波器設(shè)計結(jié)果，然后通過引入松弛變量的方法解除了Lyapunov矩陣和系統(tǒng)矩陣的耦合，得到了保守性較低的結(jié)果，并將其表示為線性矩陣不等式形式.最后，使用一個例子進(jìn)行仿真，為其設(shè)計了故障檢測濾波器的參數(shù)矩陣，并得到了殘差評價函數(shù)的仿真圖形.仿真結(jié)果表明,所設(shè)計的故障檢測濾波器可以實現(xiàn)故障檢測的功能.

切換系統(tǒng)；平均駐留時間；多Lyapunov函數(shù)；混合H_/H∞；魯棒故障檢測濾波器

近年來，由于工業(yè)生產(chǎn)以及航空航天等領(lǐng)域?qū)τ诳刂葡到y(tǒng)安全性和可靠性要求的不斷提高，故障檢測技術(shù)得到了快速的發(fā)展，并且涌現(xiàn)出了大量的故障檢測方法[1-2].故障檢測濾波器方法是最早發(fā)展的一類基于模型的檢測方法，其主要原理是利用系統(tǒng)解析表達(dá)式對系統(tǒng)的輸出做出估計，然后與實際測量的輸出值相比較得到殘差，再經(jīng)過殘差評價以及閾值比較的過程，最終判斷故障是否發(fā)生[3].但在實際的故障檢測過程中，未知的擾動信號以及不確定的建模誤差的存在也會對殘差產(chǎn)生影響，因此，需要設(shè)計魯棒故障檢測濾波器.目前使用較多的是基于魯棒優(yōu)化的方法，大致可分為兩類:1)使用H∞范數(shù)作為衡量故障敏感性和魯棒性的性能指標(biāo)，將魯棒故障檢測濾波器的設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為傳遞函數(shù)的H∞范數(shù)最小值求解問題[4-5]；2)使用混合H_/H∞性能指標(biāo)來研究魯棒故障檢測濾波器的設(shè)計問題，將其轉(zhuǎn)化為多目標(biāo)優(yōu)化的求解問題[6-7].

與此同時，切換系統(tǒng)作為一種典型的混雜系統(tǒng)，正在獲得越來越多的關(guān)注.其結(jié)構(gòu)是由若干個描述連續(xù)動態(tài)的子系統(tǒng)以及一個表示離散動態(tài)的切換信號組成.切換信號的作用是決定子系統(tǒng)的切換時刻和次序，并且保證在某個時刻，整個系統(tǒng)中只有一個子系統(tǒng)激活.目前，有關(guān)切換系統(tǒng)的研究比較活躍，涌現(xiàn)出了很多關(guān)于切換系統(tǒng)的研究成果[8-10].并且，隨著切換系統(tǒng)的應(yīng)用領(lǐng)域日益增多，其故障檢測問題已經(jīng)引起了研究者的興趣，并且取得了一些研究結(jié)果.文獻(xiàn)[11]針對帶范數(shù)有界的模型不確定性和狀態(tài)時滯的連續(xù)時間切換系統(tǒng)，將其故障檢測問題轉(zhuǎn)化為H∞濾波問題.文獻(xiàn)[12]使用H∞濾波器方法實現(xiàn)了具有區(qū)間時變時滯的離散時間切換系統(tǒng)的故障檢測.文獻(xiàn)[13]則針對離散時間切換系統(tǒng)，研究了有限頻率范圍內(nèi)的故障檢測問題.除了使用H∞濾波器的方法進(jìn)行故障檢測之外，文獻(xiàn)[14]考慮了在混合H_/H∞性能指標(biāo)框架下，離散時間不確定切換系統(tǒng)魯棒故障檢測濾波器的設(shè)計.文獻(xiàn)[15]則考慮了混合H_/H∞性能指標(biāo)下，連續(xù)時間切換系統(tǒng)魯棒故障檢測濾波器的設(shè)計,但在文獻(xiàn)[14-15]中，由于Lyapunov矩陣和系統(tǒng)矩陣存在耦合，得到的結(jié)果具有一定的保守性.

基于此，本文將考慮在混合H_/H∞框架下，切換系統(tǒng)魯棒故障檢測濾波器的設(shè)計問題.首先，利用平均駐留時間技術(shù)和多Lyapunov函數(shù)方法，得到了表示魯棒性的加權(quán)H∞性能指標(biāo)和表示敏感性的H_性能指標(biāo)的線性矩陣不等式.其次，使用加入松弛變量的方法，解除了Lyapunov矩陣和系統(tǒng)矩陣的耦合，降低了結(jié)果的保守性.

1 問題形成

考慮離散時間線性切換系統(tǒng)，模型表示如下：

x(k+1)=Aσ(k)x(k)+Bσ(k)1u(k)+Dσ(k)1d(k)+Fσ(k)1f(k)，

y(k)=Cσ(k)x(k)+Bσ(k)2u(k)+Dσ(k)2d(k)+Fσ(k)2f(k).

式中：x(k)∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)向量；y(k)∈Rm為系統(tǒng)的測量輸出向量；d(k)∈Rp為干擾向量；f(k)∈Rq為故障，假設(shè)d(k)和f(k)都是l2范數(shù)有界的信號.σ(k)為切換系統(tǒng)的切換信號，是一個分段常值函數(shù)，取值范圍是自然數(shù)集合N={1,2,…,K}.(Aσ(k),Bσ(k)1,Bσ(k)2,Cσ(k),Dσ(k)1,Dσ(k)2,Fσ(k)1,Fσ(k)2)為每個子系統(tǒng)的系數(shù)矩陣，是具有適當(dāng)維數(shù)且數(shù)值已知的常數(shù)矩陣.當(dāng)切換信號σ(k)=i時，說明第i個子系統(tǒng)被激活，則相應(yīng)的系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)化為

(1)

系統(tǒng)(1)設(shè)計故障檢測濾波器為

(2)

式中：r(k)∈Rm為殘差向量；Li∈Rn×m為濾波器的增益矩陣；Vi∈Rm×m為殘差的權(quán)值矩陣；Li、Vi分別為需要設(shè)計的濾波器參數(shù).

根據(jù)式(1)、(2)可以得到估計誤差系統(tǒng)：

e(k+1)=(Ai-LiCi)e(k)+(Di1-LiDi2)d(k)+(Fi1-LiDi2)f(k),

r(k)=ViCie(k)+ViDi2d(k)+ViFi2f(k),

(3)

可知誤差系統(tǒng)也為切換系統(tǒng)，并假設(shè)其與原系統(tǒng)同步，殘差信號r(k)與干擾d(k)和故障f(k)有關(guān)，為了得到設(shè)計魯棒故障檢測濾波器，需要設(shè)計濾波器參數(shù)滿足以下3個條件：

1)誤差系統(tǒng)是全局指數(shù)穩(wěn)定的；

2)殘差r(k)對干擾d(k)具有魯棒性，即滿足加權(quán)H∞性能指標(biāo)；

3)殘差r(k)對故障f(k)具有敏感性，即滿足H_性能指標(biāo).

下面用定義來描述上述的3個條件.

定義1 如果存在常數(shù)K>0,0<β<1，使得系統(tǒng)(3)的解e(k)滿足‖e(k)‖≤Kβ(k-k0)‖e(k0)‖，?k≥k0，則在切換信號σ(k)下，系統(tǒng)(3)是全局指數(shù)穩(wěn)定的.

定義2 給定常數(shù)0<α<1和γ>0，當(dāng)滿足零初始條件和f(k)=0時，對于所有的非零d(k)∈l2[0,∞),若以下不等式成立

則稱系統(tǒng)(3)的殘差r(k)對于干擾d(k)具有加權(quán)的H∞性能指標(biāo)，其中α為系統(tǒng)的衰減度.

定義3 給定常數(shù)β>0，當(dāng)滿足零初始條件和d(k)=0時，對于所有的非零f(k)∈l2[0,∞),若以下不等式成立

(5)

則稱系統(tǒng)(3)的殘差r(k)對于故障f(k)具有H_性能指標(biāo).

另外，考慮切換系統(tǒng)的切換信號滿足平均駐留時間，定義如下.

定義4[9]對于滿足k00，N0≥0，可以得到：

成立，則τα稱為切換信號σ(k)的平均駐留時間(average dwell time，ADT)，N0稱為抖振邊界，通常情況下，令N0=0.

2 魯棒故障檢測濾波器的設(shè)計

考慮在H_/H∞框架下，魯棒故障檢測濾波器的設(shè)計問題.首先將通過兩個引理，得到初步的魯棒故障檢測濾波器的設(shè)計方法，但由于Lyapunov矩陣與系統(tǒng)矩陣之間存在耦合，所得的結(jié)果具有一定的保守性；其次，將考慮使用松弛變量的方法，實現(xiàn)Lyapunov矩陣與系統(tǒng)矩陣的解耦，進(jìn)而得到具有較低保守性的設(shè)計結(jié)果.

引理1[9]給定常數(shù)0<α<1,μ>1，對于誤差系統(tǒng)(3)，定義多Lyapunov函數(shù)V(e(k))={Vi(e(k)),i∈N}，如果其滿足以下兩個性質(zhì)：

1)Vi(e(k+1))-Vi(e(k))<-αVi(e(k)),

2)Vi(e(kl))<μVj(e(kl)),

并且平均駐留時間滿足：

(6)

其中，ceil(υ)表示取整函數(shù)，則誤差系統(tǒng)(3)是全局指數(shù)穩(wěn)定的.

注1 引理1使用多Lyapunov函數(shù)和平均駐留時間方法，研究了在平均駐留時間切換信號下，離散時間切換系統(tǒng)穩(wěn)定的條件，它可以保證條件1)滿足.基于引理1，可以得到如下的引理2.

引理2 給定常數(shù)0<α<1，μ>1，γ>0，β>0,當(dāng)存在正定對稱矩陣Pi和Qi(i∈N)，使得矩陣不等式：

(7)

(8)

(9)

(10)

成立，同時切換信號滿足平均駐留時間式(6)，則誤差系統(tǒng)(3)全局指數(shù)穩(wěn)定，并且滿足加權(quán)H∞性能(4)和H_性能指標(biāo)(5).

證明 證明過程與文獻(xiàn)[14]中定理1類似，故此省略.

注2 由于引理2中的式(7)和式(9)中含有非線性項，為了將其轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式，需要進(jìn)行變量替換：

Zi=PiLi，Yi=QiLi,

則有

可知濾波器增益矩陣Li的數(shù)值由兩個公式確定，為解決該問題，則需要令Pi=Qi.這個附加條件的引入，相當(dāng)于用一個Lyapunov函數(shù)同時求解加權(quán)H∞性能和H_性能.顯而易見，這樣得到的結(jié)果具有一定的保守性.分析原因，不難發(fā)現(xiàn)是由于Lyapunov矩陣與系統(tǒng)矩陣的耦合，才導(dǎo)致問題的產(chǎn)生.因此，本文將通過引入松弛變量的方法，解除二者的耦合，進(jìn)而得到保守性較低的結(jié)果.

定理1 給定常數(shù)0<α<1，μ>1，γ>0，β>0,當(dāng)存在正定對稱矩陣Pi，Qi，Mi和矩陣Xi，Gi(i∈N)，使得線性矩陣不等式：

(11)

(12)

及式(8)，(10)成立，且切換信號的平均駐留時間滿足式(6)，則誤差系統(tǒng)(3)全局指數(shù)穩(wěn)定，并且滿足加權(quán)H∞性能(4)和H_性能指標(biāo)(5)，同時魯棒故障檢測濾波器的參數(shù)可根據(jù)

(13)

求解得到.

(14)

成立，將其展開可得:

(15)

在式(15)左右兩端同時乘以-I，則有

(16)

則可知矩陣不等式

(17)

(18)

根據(jù)誤差系統(tǒng)參數(shù)矩陣的定義，可由式(18)得到式(7)成立.

同理，對式(12)進(jìn)行相似的變換可得到式(9)成立.

再根據(jù)式(8)、(10)，以及切換信號滿足的條件(6)，則根據(jù)引理2，可以證明誤差系統(tǒng)(3)全局指數(shù)穩(wěn)定，并且滿足加權(quán)H∞性能(4)和H_性能指標(biāo)(5)，魯棒故障檢測濾波器的參數(shù)可由式(13)計算.至此，定理可證.證畢.

注3 定理1通過引入松弛變量Gi實現(xiàn)了Lyapunov矩陣與系統(tǒng)矩陣的解耦，可以在Pi≠Q(mào)i時求解濾波器增益矩陣Li和殘差的權(quán)值矩陣Vi，降低了結(jié)果的保守性.

通過定理1可以得到魯棒殘差生成器，但由于干擾信號的作用，即使沒有故障出現(xiàn)，殘差也不為零，因此需要對殘差進(jìn)行評估，以判斷是否出現(xiàn)了故障.

首先，選取殘差的范數(shù)作為評價函數(shù)：

其次，設(shè)置閾值為無故障時殘差范數(shù)的最大值，即

將殘差評價函數(shù)的值和閾值比較，當(dāng)JL(r(k))≥Jth(r(k))，說明系統(tǒng)存在故障，當(dāng)JL(r(k))

3 仿真舉例

本文考慮具有兩個子系統(tǒng)的離散時間線性切換系統(tǒng)，每個子系統(tǒng)的模型如式(1)所示，參數(shù)矩陣給定如下：

給定α=0.2,μ=1.2，則切換信號需要滿足的最小平均駐留時間計算為

故選定平均駐留時間為τα=4的切換信號，如圖1所示.輸入信號u(k)=1,k∈[0,300].干擾信號d(k)=0.1sin(0.1k),k∈[0,300]，如圖2所示.

圖1 切換信號

圖2 干擾信號

故障信號描述如下：

給定γ=0.2,β=3，使用定理1可以得到Gi，Pi和Qi(i=1,2)為

可以看出Pi≠Q(mào)i(i=1,2)，同時可計算得到濾波器增益矩陣L1、L2和殘差的權(quán)值矩陣V1、V2為

計算殘差的評價函數(shù)和閾值為

可以看出在k=161時，JL(r(k))>Jth(r(k))，檢測到了故障，殘差評價函數(shù)的變化曲線如圖3所示.

圖3 殘差評價函數(shù)曲線

在圖3中，虛線表示沒有故障的殘差評價函數(shù)變化曲線，實線表示有故障的殘差變化曲線.在故障發(fā)生前，兩個曲線是重合的；當(dāng)故障發(fā)生后，含有故障的殘差評價曲線發(fā)生變化，明顯地超出了無故障的曲線，說明檢測出故障.

4 結(jié) 論

1) 將離散時間線性切換系統(tǒng)的故障檢測，轉(zhuǎn)化為了滿足混合H_/H∞性能指標(biāo)的故障檢測濾波器設(shè)計問題，利用平均駐留時間和多Lyapunov函數(shù)方法設(shè)計了濾波器的參數(shù).

2) 通過松弛變量方法解除了Lyapunov矩陣與系統(tǒng)矩陣的耦合問題，得到保守性較低的結(jié)果.

3)利用一個例子進(jìn)行仿真驗證，仿真結(jié)果表明本文設(shè)計的故障檢測濾波器可以實現(xiàn)故障檢測的功能.

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(編輯 張 紅)

H_/H∞fault detection filter design for discrete time switched system

SHEN Yi, WANG Jiawei, WANG Zhenhua

(School of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

The fault detection problem of discrete time linear switched system is studied by using the robust fault detection filter in the framework of mixedH_/H∞. First of all, residual is obtained by constructing fault detection filter. For the purpose of improving the accuracy of fault detection, weightedH∞performance is used as the robustness indicator of residual to disturbance, andH_performance is regarded as the sensitivity indicator of residual to fault. As a result, the problem of robust fault detection filter design is converted to a multi-objective solving problem under the mixedH_/H∞. performance index. Then, multiple Lyapunov functions and average dwell time approach are used for deriving the preliminary result of filter design. Moreover, the couple between Lyapunov matrix and system matrix is removed by introducing the slack variables, and less conservative results are obtained. All results are in the form of linear matrix inequality. Finally, a numerical example that the parameters of the fault detection filter are designed is given to show that the designed filter can realize the function of fault detection.

switched system; average dwell time; multiple Lyapunov functions; mixedH_/H∞; robust fault detection filter

10.11918/j.issn.0367-6234.2016.10.005

2015-04-28

國家自然科學(xué)基金(61021002，61273162，61403104)；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項資金 ( HIT. KLOF. 2015.076)

沈 毅(1965—)，男，教授，博士生導(dǎo)師

王佳偉，11B304008@hit.edu.cn

TP277

A

0367-6234(2016)10-0039-05