載人小行星探測最優(yōu)兩脈沖轉(zhuǎn)移軌道優(yōu)化設(shè)計

鄭 博，張澤旭

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150080)

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載人小行星探測最優(yōu)兩脈沖轉(zhuǎn)移軌道優(yōu)化設(shè)計

鄭 博，張澤旭

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150080)

為實現(xiàn)對目標(biāo)小行星的載人探測，提出一種時間嚴(yán)格約束條件下的最優(yōu)兩脈沖往返轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計與優(yōu)化方法.針對載人小行星探測任務(wù)的特點，建立了兩脈沖轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計方案，初步設(shè)計了兩脈沖往返轉(zhuǎn)移軌道，并且利用序列二次規(guī)劃算法進(jìn)行了軌道優(yōu)化，得到了各轉(zhuǎn)移階段的發(fā)射、到達(dá)窗口和最優(yōu)往返轉(zhuǎn)移軌道.仿真結(jié)果表明，給出的最優(yōu)兩脈沖往返轉(zhuǎn)移軌道單次施加脈沖能夠控制在5 km/s以內(nèi)，可以滿足未來300 d內(nèi)的能量較小的載人小行星探測任務(wù).

載人小行星探測；星際轉(zhuǎn)移軌道；軌道設(shè)計與優(yōu)化；兩脈沖軌道；發(fā)射窗口搜索

從20世紀(jì)后期開始，世界各國開展的深空探測活動日益頻繁，探測目標(biāo)的選擇更具有挑戰(zhàn)性，逐步轉(zhuǎn)向小行星、火星等地外天體；探測方式也不斷更新，從無人探測逐步向載人探測發(fā)展.美國國家航空航天局(NASA)于1989年發(fā)射了“Galileo號”探測器執(zhí)行木星探測任務(wù)，在飛往木星的途中訪問了Gaspra和Ida兩顆主帶小行星，揭開了小行星探測的序幕[1].此后，美國于1996年發(fā)射的“尼爾號”探測器也對Eros小行星進(jìn)行了繞飛探測并成功著陸[2-3]；日本于2003年發(fā)射的“隼鳥號”探測器成功實現(xiàn)了對Itokawa小行星的采樣返回探測任務(wù)[4]；中國的“嫦娥號”探測器于2012年成功實現(xiàn)了對Toutatis小行星的飛越探測[5-6].迄今為止，人類已經(jīng)進(jìn)行了多次無人小行星探測任務(wù)，但是無人探測始終具有局限性，任務(wù)的靈活性、有效性、可靠性均不如載人探測，很難對小行星進(jìn)行深層次的科學(xué)探測.因此，載人小行星探測是解決這些問題的有效途徑.

在小行星探測轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計方面，Mccue等[7]對任意兩個非共面橢圓軌道之間的轉(zhuǎn)移問題進(jìn)行了研究，在已知轉(zhuǎn)移軌道的始末位置和飛行時間的情況下，應(yīng)用兩脈沖轉(zhuǎn)移軌道的設(shè)計方式，得到發(fā)射-到達(dá)所需的總ΔV，再通過不斷地改變轉(zhuǎn)移軌道的始末位置和飛行時間，獲得相應(yīng)的很多組發(fā)射-到達(dá)總ΔV，將所得到的發(fā)射-到達(dá)總ΔV的大小根據(jù)發(fā)射-到達(dá)日期的對應(yīng)關(guān)系繪制成等高線圖，即“總ΔV的等高圖”，就可以尋找出最優(yōu)兩脈沖轉(zhuǎn)移軌道的發(fā)射-到達(dá)窗口，得到初步確定的轉(zhuǎn)移軌道；文獻(xiàn)[7]最初將研究的轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計方法僅應(yīng)用于以地球為中心的不同高度的軌道之間，Hulkower等[8-9]在此研究基礎(chǔ)上，將該方法應(yīng)用于太陽系內(nèi)不同行星間的轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計中，為以后轉(zhuǎn)移軌道優(yōu)化算法的提出奠定了設(shè)計基礎(chǔ)；Lau[10]對近地小行星的可探測性進(jìn)行了分析，并對近地小行星的可探測性進(jìn)行了排序；任遠(yuǎn)等[11]融合了狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣與古典變分理論，推導(dǎo)了兩脈沖轉(zhuǎn)移軌道的性能指標(biāo)對可調(diào)參數(shù)的解析偏導(dǎo)數(shù)，并基于此方法提出了一種快速的兩脈沖軌道轉(zhuǎn)移優(yōu)化算法；崔平遠(yuǎn)等[12]系統(tǒng)地研究中國開展小行星探測任務(wù)中候選目標(biāo)星的篩選方法和星際轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計方案，利用最優(yōu)兩脈沖轉(zhuǎn)移方法，對Ivar小行星等典型小行星的交會軌道進(jìn)行設(shè)計分析，給出了全局最優(yōu)兩脈沖交會軌道的設(shè)計參數(shù)；喬棟等[13]針對星際轉(zhuǎn)移發(fā)射機(jī)會搜索問題，基于主矢量原理，提出了在轉(zhuǎn)移時間固定的情況下，根據(jù)主矢量的變化情況尋找中間脈沖，搜索潛在的最優(yōu)多脈沖轉(zhuǎn)移發(fā)射機(jī)會，應(yīng)用于多脈沖轉(zhuǎn)移領(lǐng)域.

本文在上述研究工作的基礎(chǔ)上，結(jié)合載人小行星探測嚴(yán)格的時間約束條件的同時，對單次脈沖大小進(jìn)行約束，并通過序列二次規(guī)劃算法進(jìn)行軌道優(yōu)化，對從地球停泊軌道到小行星繞飛軌道之間的往返轉(zhuǎn)移軌道進(jìn)行了設(shè)計與優(yōu)化，該方法發(fā)射-到達(dá)窗口搜索速度明顯高于繪制能量等高圖.

1 載人小行星探測兩脈沖軌道方案

不同于載人月球探測，載人小行星探測是真正進(jìn)入深空領(lǐng)域、脫離地球引力影響的長期性行星際飛行任務(wù)，這種任務(wù)經(jīng)歷是登月任務(wù)所不能取代的.從飛行距離、任務(wù)時間、任務(wù)難度而言，在載人探月、探火星、探小行星這3類任務(wù)中，載人小行星探測任務(wù)的規(guī)模居中，因此可作為載人登月和載人登火星任務(wù)之間的過渡，為載人登火星任務(wù)奠定基礎(chǔ).

考慮未來載人深空探測任務(wù)飛行時間、運載能力、推進(jìn)系統(tǒng)技術(shù)成熟度等約束，基于兩脈沖的轉(zhuǎn)移軌道方案設(shè)計仍然是載人小行星探測任務(wù)的重要選擇，該軌道方案主要過程如圖1所示.首先，在地球停泊軌道對載人深空探測器組合體施加一個加速脈沖TNI(trans-NEO injection)，使其進(jìn)入地球-小行星Earth-Asteroid(E-A)的星際轉(zhuǎn)移軌道，在接近目標(biāo)小行星時，施加一個減速脈沖NRI(NEO rendezvous insertion)，使載人深空探測器組合體環(huán)繞小行星伴飛，并開展星表科學(xué)探測；完成星表探測后，對探測器組合體施加一個加速脈沖TEI(trans-Earth injection)，脫離目標(biāo)小行星繞飛軌道，進(jìn)入小行星-地球Asteroid-Earth(A-E)星際轉(zhuǎn)移軌道，在探測器組合體到達(dá)地球停泊軌道附近時，施加減速脈沖EOI(Earth orbit injection)進(jìn)入環(huán)地軌道.

圖1 載人小行星探測兩脈沖往返轉(zhuǎn)移軌道方案描述

Fig.1 The program of two-impulse round-trip transfer trajectory for manned asteroid exploration

注：彩圖見電子版(http://hit.alljournals.cn)(2016年第10期)

2 兩脈沖往返轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計

兩脈沖轉(zhuǎn)移軌道的設(shè)計關(guān)鍵是求解Gauss問題[14]，如果已知飛行器的始、末位置矢量(R0,Rf)、飛行時間t和飛行方向(順行、逆行)，就可以確定連接R0與Rf的轉(zhuǎn)移軌道，即確定飛行器的始、末速度矢量(v0,vf).

在二體引力場中，飛行器的位置和速度矢量可以表示為：

r2=f·r1+g·v1,

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

對式(6)進(jìn)行迭代計算，就可以求得Gauss問題的解.定義k=r1r2(1-cosθ)，l=r1+r2，m=r1r2(1+cosθ)，則軌道半長軸a可以表示為

(7)

飛行時間t可以表示為

(8)

由式(1)～(8)可以得出

(9)

(10)

載人探測任務(wù)對發(fā)射機(jī)會的搜索有嚴(yán)格的約束條件，時間約束是其中重要的軌道約束條件之一.假設(shè)地球發(fā)射時刻為T0，到達(dá)小行星時刻為T1，離開小行星時刻為T2，返回到地球的時刻為T3，則軌道設(shè)計參數(shù)可以寫成X=[T0，T1，T2，T3]T，探測軌道需要滿足以下時間約束：

10d≤T1-T0≤160d,

0d≤T2-T1≤20d,

10d≤T3-T2≤160d,

0d≤T3-T0≤340d.

根據(jù)以上針對交會類探測任務(wù)提出的各項約束條件，相應(yīng)的搜索和優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)可定義為

(11)

式中：ΔV1、ΔV2、ΔV3、ΔV4分別為T0、T1、T2、T3時刻施加的速度脈沖.相應(yīng)地，各轉(zhuǎn)移階段所需施加的脈沖計算式如下：

(12)

式中：μE為地球引力常數(shù)；RE為地球的平均半徑，km；h為地球停泊軌道高度，km；vS為探測器的日心速度矢量，km/s；vE為地球的日心速度矢量，km/s；vA為小行星的日心速度矢量，km/s.

速度脈沖滿足的任務(wù)約束條件為

(13)

對于載人小行星探測任務(wù)，考慮到宇航員所能承受的最大過載能力，一般情況下A、B、C、D的大小都不超過5，并且越小越好.

3 兩脈沖往返轉(zhuǎn)移軌道優(yōu)化

利用序列二次規(guī)劃算法(sequential quadratic programming，SQP)對初步設(shè)計的兩脈沖軌道進(jìn)行進(jìn)一步優(yōu)化[15].SQP方法是求解帶約束優(yōu)化問題的高效方法，該方法的核心思想是：在進(jìn)行每一步迭代時，都求解一個二次規(guī)劃子問題，以此來確立一個下降方向，通過減少價值函數(shù)來取得步長，重復(fù)上述步驟就可以求出原問題的解.應(yīng)用牛頓-拉格朗日法求解該問題的基本原理如下:

式中,f(x)、hi(x)都是二階連續(xù)可微的實函數(shù).記h(x)=(h1(x),…,hl(x))T，則該問題的拉格朗日函數(shù)為

式中μ=(μ1,…,μl)T為拉格朗日乘子向量.約束函數(shù)h(x)的梯度矩陣為

則h(x)的Jacobi矩陣為A(x)=h(x)T，根據(jù)式(13)的KT(kuhn-tucker)條件，可以得到如下方程組

(14)

(15)

其中

是L(x,μ)函數(shù)關(guān)于x的Hesse陣，式(15)也被稱為KT矩陣.給定點zk=(xk,μk)的牛頓法迭代格式為

式中pk=(dk,vk)滿足線性方程組：

即

(16)

只要矩陣A(xk)行滿秩且W(xk,uk)是正定的，方程組(16)的系數(shù)矩陣是非奇異的，且該方程有唯一解.由于KT條件(14)是拉格朗日函數(shù)穩(wěn)定點的條件，所以通常把基于求解方程(14)的優(yōu)化方法稱為拉格朗日法.如果用牛頓法求解該方程組，則根據(jù)牛頓法的性質(zhì)，該方法具有局部二次收斂性質(zhì).

本文定義的尋優(yōu)變量T=[tl,tA]T，其中tl為發(fā)射時間，tA為到達(dá)時間，則待優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)表示為式(11)所示.下面應(yīng)用該方法對以下算例進(jìn)行軌道優(yōu)化設(shè)計.

4 仿真算例與分析

根據(jù)載人小行星探測任務(wù)中，候選目標(biāo)星的選星準(zhǔn)則，綜合考慮目標(biāo)小行星的類型、軌道特性、絕對星等、自旋周期、發(fā)射窗口等約束條件[16-17]，本文選取Nereus小行星(編號4660)作為載人小行星探測目標(biāo)星.Nereus小行星的類型為Apollo小行星，直徑約為330m，公轉(zhuǎn)周期為1.82a，自轉(zhuǎn)周期為15.1h.在日心黃道坐標(biāo)系下，歷元2 457 000.5(2014-12-09T0)Nereus小行星的基本軌道參數(shù),見表1.

根據(jù)發(fā)射時間約束條件，可以計算出E-A段和A-E段的發(fā)射-到達(dá)總ΔV與飛行時間關(guān)系圖，分別如圖2、3所示. 根據(jù)圖2、3，可初步得到地球到Nereus小行星的往返軌道初步設(shè)計參數(shù)(見表2)，其中停留星表時間14d.

表1 Nereus基本軌道參數(shù)

圖2 探測Nereus小行星E-A段總ΔV與飛行時間關(guān)系曲線

圖3 探測Nereus小行星A-E段總ΔV與飛行時間關(guān)系曲線

注：彩圖見電子版(http://hit.alljournals.cn)(2016年第10期)

表2 地球到Nereus小行星(E-A-E)軌道方案初步設(shè)計參數(shù)

Tab.2 The preliminary design parameters of transfer trajectory between Earth and Nereus Asteroid (E-A-E)

轉(zhuǎn)移階段出發(fā)日期到達(dá)日期飛行時間/d總ΔV/(km?s-1)E?A段2021-08-242021-12-241225．9635A?E段2022-01-072022-05-131267．7765

通過進(jìn)一步軌道優(yōu)化，設(shè)計出從地球停泊軌道飛往小行星繞飛軌道的日心轉(zhuǎn)移軌道，如圖4所示，圖中黑色為地球運行軌道，藍(lán)色為小行星運行軌道，紅色為日心轉(zhuǎn)移軌道.

表3具體給出了J2000地心平赤道春分點坐標(biāo)系下E-A段的優(yōu)化軌道設(shè)計參數(shù).探測器組合體2021年8月17日從地球停泊軌道出發(fā)，施加的加速脈沖ΔV1為3.256 766 862 km/s，到達(dá)小行星繞飛軌道的時間為2022年1月1日，施加的減速脈沖ΔV2為3.585 633 071 km/s，E-A段最優(yōu)兩脈沖轉(zhuǎn)移軌道的總ΔV=6.842 399 933 km/s，整個E-A段優(yōu)化轉(zhuǎn)移飛行時間為136.826 265 d.

圖4 E-A段日心轉(zhuǎn)移軌道

注：彩圖見電子版(http://hit.alljournals.cn)(2016年第10期)

表3 E-A段兩脈沖轉(zhuǎn)移軌道優(yōu)化參數(shù)

圖5 A-E段日心轉(zhuǎn)移軌道

注：彩圖見電子版(http://hit.alljournals.cn)(2016年第10期)

圖4，5給出的最優(yōu)兩脈沖轉(zhuǎn)移軌道是地球停泊軌道與小行星繞飛軌道(軌道高度500m)之間的轉(zhuǎn)移軌道.圖6為以地球為中心的A-E段轉(zhuǎn)移軌道，中心體為地球，紅色為地球停泊軌道，藍(lán)色為日心轉(zhuǎn)移軌道，其中x、y、z軸為探測器與日心間的距離；圖7為以小行星為中心的A-E段轉(zhuǎn)移軌道，中心體為小行星，紅色為小行星繞飛軌道，藍(lán)色為日心轉(zhuǎn)移軌道，其中x、y、z軸為探測器與日心間的距離.通過圖6,7可以更為清楚地看到地球停泊軌道與小行星繞飛軌道附近的轉(zhuǎn)移軌道情況.

表4具體給出了J2000地心平赤道春分點坐標(biāo)系下A-E段的優(yōu)化軌道設(shè)計參數(shù).探測器組合體2022年1月9日從小行星繞飛軌道出發(fā)，施加的加速脈沖ΔV3為4.417 889 104km/s，到達(dá)地球停泊軌道的時間為2022年1月1日，施加的減速脈沖ΔV4為3.356 902 452km/s，E-A段最優(yōu)兩脈沖轉(zhuǎn)移軌道的總ΔV=7.774 791 556km/s，整個E-A段優(yōu)化轉(zhuǎn)移飛行時間為160.689 203d.

圖6 A-E段以地球為中心的轉(zhuǎn)移軌道

注：彩圖見電子版(http://hit.alljournals.cn)(2016年第10期)

表4中參數(shù)定義與表3中相同.至此，A-E段轉(zhuǎn)移任務(wù)結(jié)束.對目標(biāo)小行星Nereus的整個載人飛行探測過程可以看出，整個任務(wù)的時間約束在307d以內(nèi)，其中包含在小行星表面進(jìn)行9d的科學(xué)探測，整個任務(wù)的總能量小于15km/s.

對于載人小行星探測，轉(zhuǎn)移軌道的設(shè)計部分是具有多約束條件的軌道設(shè)計，初步設(shè)計中通過能量等高線圖得到的局部最優(yōu)解，雖然總的速度增量較小，僅為13.739 0km/s，但是出發(fā)到達(dá)小行星后施加的脈沖ΔV2(5.258 7km/s)和返回時從小行星出發(fā)施加的脈沖ΔV3(6.237 5km/s)過大，嚴(yán)重超出宇航員能承受的最大過載.因此，在軌道優(yōu)化階段，對單次脈沖大小進(jìn)行控制，在單次脈沖不超過5km/s的約束條件下進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，最終得到符合各項約束條件的轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計參數(shù)，總的速度增量ΔV為14.617 2km/s，單次施加脈沖最大的ΔV3為4.417 9km/s，總體設(shè)計合理可行.

圖7 A-E段以小行星為中心的轉(zhuǎn)移軌道

注：彩圖見電子版(http://hit.alljournals.cn)(2016年第10期)

表4 A-E段兩脈沖轉(zhuǎn)移軌道優(yōu)化參數(shù)

5 結(jié) 語

本文針對星際轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計中發(fā)射窗口的搜索問題，結(jié)合發(fā)射-到達(dá)約束條件，通過對星歷的計算和Gauss問題的求解，得到了初始轉(zhuǎn)移軌道參數(shù).利用序列二次規(guī)劃算進(jìn)行了軌道優(yōu)化，仿真結(jié)果證明該方法收斂性好、計算效率高、邊界搜索能力強(qiáng)，是一種有效的軌道優(yōu)化方法.

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(編輯 張 紅)

Two-impulse transfer trajectory design and optimization for manned asteroid exploration

ZHENG Bo, ZHANG Zexu

(School of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150080，China)

To achieve the manned asteroid exploration, the design and optimization method of two-impulse round-trip transfer trajectory for manned asteroid exploration is presented in the strict time constraint. According to the characteristics of the manned asteroid exploration, the scheme of the two-impulse transfer trajectory is established. Then the two-impulse round-trip transfer trajectory is designed preliminarily on the basis of the scheme. In each stage of the transfer trajectory, the launch window and the reach window are optimized by the sequential quadratic programming algorithm. Finally, the optimum two-impulse round-trip transfer trajectory is obtained. The simulation results show that the design of the optimum two-impulse round-trip transfer trajectory given in this paper is able to control the single impulse within 5 km/s, which is enough to achieve the manned asteroid exploration missions for 300 days by little energy.

manned asteroid exploration; interplanetary transfer trajectory; trajectory design and optimization；two-impulse trajectory；search for launch window

10.11918/j.issn.0367-6234.2016.10.003

2015-01-27

國家自然科學(xué)基金(61374213)； 國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃(973計劃)(2012CB720003)

鄭 博(1989—)，男，碩士研究生；

張澤旭(1971—)，男，教授，博士生導(dǎo)師

張澤旭，zexuzhang@hit.edu.cn

V41

A

0367-6234(2016)10-0024-07