標(biāo)準(zhǔn)離散時間切換奇異攝動系統(tǒng)的H∞控制

陳旋，陳金香

（內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)電力學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010080）

標(biāo)準(zhǔn)離散時間切換奇異攝動系統(tǒng)的H∞控制

陳旋，陳金香

（內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)電力學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010080）

在實際工程應(yīng)用中，由于環(huán)境變化，元器件老化等原因必然會導(dǎo)致系統(tǒng)模型參數(shù)的不確定性，很難得到系統(tǒng)的精確模型。針對一類參數(shù)不確定性的線性標(biāo)準(zhǔn)離散時間雙時標(biāo)系統(tǒng)，將奇異攝動理論和切換理論相結(jié)合，建立標(biāo)準(zhǔn)離散時間切換雙時標(biāo)系統(tǒng)（DSTTSs）動態(tài)模型，切換理論的引入主要解決系統(tǒng)中參數(shù)不確定性部分對系統(tǒng)模型精確度的影響。主要討論了標(biāo)準(zhǔn)離散時間雙時標(biāo)切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析以及H∞狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計問題。利用Lyapunov函數(shù)建立滿足H∞性能充分條件的線性矩陣不等式（LMIs）。將上述一系列問題都將歸結(jié)為求解與攝動參數(shù)ε無關(guān)的線性矩陣不等式，采用實例仿真證明該方法的有效性。并將Lyapunov函數(shù)法和譜范數(shù)法的仿真結(jié)果進行比較，由于譜范數(shù)法中存在較多假設(shè)從而增加了保守型，相比較之下Lyapunov函數(shù)法控制性能較好。

離散時間雙時標(biāo)系統(tǒng)；參數(shù)不確定性；Lyapunov函數(shù)；H∞控制；線性矩陣不等式（LMIs）

0 引言

系統(tǒng)變量呈現(xiàn)慢、快兩種時標(biāo)特性的雙時標(biāo)系統(tǒng)廣泛存在于實際控制系統(tǒng)，因其快時標(biāo)特性影響，此類系統(tǒng)的建模與控制均比常規(guī)系統(tǒng)復(fù)雜。20世紀60年代Klimushev提出的奇異攝動理論成為解決雙時標(biāo)問題的有效工具。目前，對奇異攝動系統(tǒng)的研究成果很多，文獻［1-3］論述了奇異攝動

系統(tǒng)的穩(wěn)定性，文獻［4-6］對奇異攝動系統(tǒng)的控制器設(shè)計也做了深入研究，但在實際工程控制問題中系統(tǒng)中往往還存在很多不確定性，為了進行有效的控制系統(tǒng)設(shè)計，以往的研究大多將不確定部分忽略了，用一個相對簡單的模型來描述復(fù)雜系統(tǒng)，從而造成系統(tǒng)模型的不確定性，不能得到更好的控制精度。近年來，對復(fù)雜系統(tǒng)參數(shù)不確定性的研究也不斷涌出，但成果較少。文獻［7-9］論述了切換奇異攝動系統(tǒng)的穩(wěn)定性，該復(fù)雜系統(tǒng)由若干子系統(tǒng)組成，并未對不確定性部分進行詳細描述，增加了系統(tǒng)的保守性.文獻［10］論述了非線性系統(tǒng)中含有不確定性參數(shù)的切換控制器的設(shè)計，文獻［11］ 論述了含有參數(shù)不確定性的非線性系統(tǒng)的切換模糊動態(tài)輸出反饋H∞控制器設(shè)計。此外，以往研究大多針對于連續(xù)時間簡單系統(tǒng)，而對離散雙時標(biāo)系統(tǒng)的參數(shù)不確定性研究很少，至今還沒有整體對雙時標(biāo)系統(tǒng)中的參數(shù)不確定性進行建模和控制器設(shè)計做深入研究。本文最大的創(chuàng)新在于首次提出了對含有系統(tǒng)參數(shù)不確定性的離散時間雙時標(biāo)切換系統(tǒng)控制問題的解決方法，在本文中，我們假設(shè)系統(tǒng)不確定性參數(shù)是時變的且有界，采用切換理論處理系統(tǒng)參數(shù)不確定性部分。

本文的創(chuàng)新點可分為三方面，一是首次將切換理論將奇異攝動理論相結(jié)合解決了雙時標(biāo)系統(tǒng)中參數(shù)不確定性對系統(tǒng)模型精確度影響的問題；其次在于模型建立基于離散時間模型，以往對離散時間的研究甚少；最后就是控制方法的選取，由于系統(tǒng)存在不確定性和小的攝動參數(shù)，本文采用魯棒性較強的H∞狀態(tài)反饋控制，最終將問題轉(zhuǎn)化為求解與攝動參數(shù)ε無關(guān)的矩陣不等式的問題。借用文獻［11］中對不確定部分的處理方法建立標(biāo)準(zhǔn)離散時間切換線性奇異攝動系統(tǒng)模型，利用Lyapunov函數(shù)法求解控制器增益，并結(jié)合實例驗證該方法的有效性，后期研究還可將該方法拓展到非線性奇異攝動系統(tǒng)。

1 系統(tǒng)描述

根據(jù)被控系統(tǒng)采樣速率的不同，離散時間奇異攝動系統(tǒng)可分為標(biāo)準(zhǔn)離散奇異攝動系統(tǒng)和非標(biāo)準(zhǔn)離散模糊奇異攝動模型，由于系統(tǒng)中存在參數(shù)不確定項，將系統(tǒng)模型分為線性部分和參數(shù)不確定部分，采用非時延標(biāo)準(zhǔn)離散奇異攝動系統(tǒng)模型如下

2 H∞控制器設(shè)計

假設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)完全可測，狀態(tài)反饋控制器設(shè)計為如下

將控制器代入系統(tǒng)模型中得閉環(huán)控制系統(tǒng)模型

其中，

引理1：給定一個標(biāo)量ε*（0＜ε*＜1）如果存在矩陣T1，T2，T3滿足

那么對于?∈（0，ε*］，下式成立，即

其中，

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

切換規(guī)則：

應(yīng)用schur補定理可得

其中，

因為Pε＞0，可推導(dǎo)出下式成立，即

將上式進一步改寫為

結(jié)合式（11）與式（12），下式是式（13）成立的充分條件，即

對于ε∈（，ε*］，

令F=K*QΤ，F(xiàn)=ΔK*QΤ

其中，

以上證明了式（4）成立是閉環(huán)系統(tǒng)漸進穩(wěn)定的充分條件。

把（6）式從k=0一直加到k=N，可得

對所有的N成立。

因為

對所有的N成立，系統(tǒng)（3）的H∞范數(shù)小于γ。

3 實例仿真

考慮一個四階系統(tǒng)，標(biāo)準(zhǔn)離散時間切換奇異攝動系統(tǒng)模型

選取采樣周期為t=0.2s初始狀狀

求得控制器增益：

圖1 γ=0.9，ε=0.001時閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)（Lyapunov）Fig.1 When γ=0.9，ε=0.001，the state response of the closed-loop system（Lyapunov）

圖2 γ=0.9，ε=0.001時閉環(huán)系統(tǒng)控制器輸出響應(yīng)（Lyapunov）Fig.2 When γ=0.9，ε=0.001，the output response of the closed-loop system（Lyapunov）

圖3 ε=0.001時閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)（譜范數(shù)法）Fig.3 When ε=0.001，the state response of the closedloop system（spectral norm method）

圖4 ε=0.001時閉環(huán)系統(tǒng)輸出響應(yīng)（譜范數(shù)法）Fig.4 When ε=0.001，the output response of the closedloop system（spectral norm method）

采用本文提出的Lyapinov函數(shù)法，仿真結(jié)果如圖1，2所示，圖1為閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線，圖2為閉環(huán)系統(tǒng)輸出響應(yīng)曲線。為了突出Lyapunov函數(shù)法的優(yōu)越性，將其與譜范數(shù)法得到的控制效果相比較，采用譜范數(shù)法得到仿真結(jié)果如圖3圖4 所示。

該仿真結(jié)果進一步驗證了切換狀態(tài)反饋H∞控制器在處理奇異攝動參數(shù)不確定性系統(tǒng)時，該方法的有效性。通過比較圖1和圖3，我們可知，由于通過譜范數(shù)法在求得控制器增益的過程中，假設(shè)條件過多從而增加了結(jié)果的保守型，其次是因為魯棒性較差，從而在實際工程應(yīng)用中控制效果不如Lyapunov函數(shù)法。無論采用哪種方法均可證明本文提出的理論在解決離散時間切換雙時標(biāo)系統(tǒng)中有效性。

4 結(jié) 論

針對雙時標(biāo)系統(tǒng)的不確定性，本文融合切換和奇異攝動理論，對切換離散時間奇異攝動系統(tǒng)建模，切換理論的引入主要解決系統(tǒng)參數(shù)不確定性問題，參數(shù)不確定性部分是時變且有界的。利用譜范數(shù)、Lyapunov 函數(shù)和線性矩陣不等式方法，研究了切換線性奇異攝動系統(tǒng)的H∞狀態(tài)反饋控制器設(shè)計，將對控制器增益的求解轉(zhuǎn)化為求解一組與攝動參數(shù)ε無關(guān)的線性矩陣不等式的問題，避免了由ε引起數(shù)值求解的病態(tài)問題。仿真結(jié)果表明該方法的有效性。

［1］ Kyun-Sang Park， Hyun-Wook Jo， and Jong-Tae Lim. Stability analysis of standard and non-standard nonlinear singularly perturbed system with uncertainty［C］. 12th International Conference on Control， Automation and Systems. ICC， Jeju Island， Korea， 2012： 1833-1877.

［2］ Hongwang Yu， Baoshang Zhang. Stabilizability of a class of linear singularly perturbed systems via output feedback［C］. 26th Chinese Control and Decision Conference. 2014： 4230-4233.

［3］ I. Malloci， J. Daafouz and C. Iung. Stabilization of continous-time singularly perturbed switched system［C］. In proceeding of the 48th IEEE Conference on Decision and Control and 28th Chinese Control Conference， Dhanghai， P.R. China， 2009： 6371-6376.

［4］ Tan， W.， T. Leung and Q. Tu， "H control for singularly perturbated systems"， Automatica， 1998， 34（2）： 255-260.

［5］ J. Chen， F. Sun， Y. Yin， C. Hu. State feedback robust stabilization for discrete-time fuzzy singularly perturbed systems with parameter uncertainty［J］. IET Control Theory Appl.， 2011， 5（10）： 1195-1202.

［6］ Yang Kun， Shen Yanxia， Ji Zhicheng . memory state feedback control for uncertain nonlinear switched singular systems with time-varying delay［C］. Proceedings of the 32nd Chinese Control Conference， Xian， China. July， 2013： 2073-2077.

［7］ M. Balde， U. Boscain， and P. Mason， A note on stability conditions for planar switched systems［J］. Int. J. Control， 2009， 82（10）： 1882-1888.

［8］ I. Malloci， J. Daafouz and C. Iung.Stability and stabilization of two time scale switched systems in discrete time［J］. IEEE Transaction on Automatic Control， 2010， 55（6）： 1434-1438.

［9］ Fouad El Hachemi， Mario Sigalotti and Jamal Daafouz. Stability analysis of singularly perturbed switched linear sytems［J］. IEEE Transaction on Automatic Control， 2012， 57（8）： 2116-2121.

［10］ Ohtake. H， Tanaka. K， Wang. H.O， Switching fuzzy controller design based on switching Lyapunov function for a class of nonlinear systems［J］. Systems， Man， and Cybernetics， Part B： Cybernetics， IEEE Transactions on. 2006，36（1）： 13-23.

［11］ G-H. Yang，and J-X. Dong. Switching Fuzzy Dynamic Output Feedback Control for Nonlinear Systems［J］. IEEE Trans. Syst.， Man， Cybern. B，Cybern.， 2010， 40（2）： 505-516.

［12］ 俞立. 魯棒控制-線性矩陣不等式處理方法［M］.北京清華大學(xué)出版社，2002.

L Yu. Robust control-Linear Matrix Equalities Approaches［M］. Beijing Tsinghua University press，2002.

［13］ 冷永剛，田祥友. 一階線性系統(tǒng)隨機共振在滑動軸承故障診斷中的應(yīng)用研究［J］. 新型工業(yè)化，2013，3（9）：92-98.

Y G Leng， X Y Tian . One order linear stochastic resonance system in fault diagnosis of bearings on the application research ［J］. The Journal of New Industrialization， 2013， 3 （9）：92-98.

［14］ 鄧夏， 賈慶軒， 褚明，黃飛杰.基于動態(tài)切換函數(shù)的單桿柔性臂動態(tài)滑?！顑?yōu)混合控制［J］. 新型工 業(yè)化，2012，，2（10）：59-66.

X Deng， Q X Jia， M Zhu， F J Huang. Dynamic sliding mode of single link flexible manipulator based on dynamic switching function： optimal hybrid control ［J］. The Journal of New Industrialization 2012， 2 （10）：59-66.

H∞Control for Switched Standard Discrete-time Singularly Perturbed Systems

CHEN Xuan， CHEN Jin-xiang
（College of Electric Power， Inner Mongolia University of Technology ， Huhehaote ， Inner Mongolia 010080， China）

In practical engineering application， due to environmental changes， components aging and other reasons will inevitably lead to the uncertainty of the system model parameters， it is difficult to get a precise model of the system. For a class of standard discrete-time singularly two-time scale system with uncertain part， a dynamic model of switched linear singularly perturbed systems is builted. Switching mechanism is introduced to handle the unknown parameters. Stability analysis and H∞state-feedback control problems for switched linear singularly perturbed systems （SLSPSs） are investigated. With the Lyapunov function and linear matrix inequalities （LMIs） approaches ， a series problems are solved by a set of ε-independent linear matrix inequalities. A numerical example is presented to illustrate the effectiveness of the proposed approach. By comparing the simulation results of Lyapunov function method and the spectral norm method， because of some assumptions in the spectral norm method increased the conservative type. A numerical example proved that the Lyapunov function method has better control performance.

Linear singularly perturbed system； Parameter uncertainties； Switching control； State feedback； Linear matrix inequalitiees （LMIs）

10.19335/j.cnki.2095-6649.2016.09.006

CHEN Xuan， CHEN Jin-xiang. H∞Control for Switched Standard Discrete-time Singularly Perturbed Systems［J］. The Journal of New Industrialization， 2016， 6（9）： 35-41.

陳旋，陳金香.標(biāo)準(zhǔn)離散時間切換奇異攝動系統(tǒng)的H∞控制［J］. 新型工業(yè)化，2016，6（9）：35-41.

國家自然科學(xué)基金項目（51374082）

陳旋（1990-），女，碩士，主要研究方向：復(fù)雜系統(tǒng)的建模和控制；陳金香（1972-）女，高級工程師，博士，主要研究方向：工業(yè)軋鋼