基于ESO算法的深孔機(jī)床多工況拓?fù)鋬?yōu)化*

陰書玉 薄瑞峰 閆帥印 沈興全

(①中北大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，山西 太原030051;②山西省深孔加工工程技術(shù)研究中心，山西 太原030051)

床身是深孔機(jī)床的重要基礎(chǔ)件，其自身質(zhì)量和靜動(dòng)態(tài)性能對機(jī)床的加工精度和整機(jī)態(tài)性能均有較大影響。Z8016小直徑深孔鉆床床身的原始結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)借鑒以往的設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，未充分考慮結(jié)構(gòu)、材料的最優(yōu)布局及床身的輕量化問題，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)粗大笨重，從而直接影響到機(jī)床的靜動(dòng)態(tài)特性及加工性能(深孔加工的直線度)。隨著機(jī)床向高速化和精密化的發(fā)展，傳統(tǒng)的經(jīng)驗(yàn)類比設(shè)計(jì)方法已遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足高性能和輕量化的設(shè)計(jì)要求。如何在滿足動(dòng)靜態(tài)性能要求的前提下實(shí)現(xiàn)其輕量化設(shè)計(jì)，有著重要的研究意義和應(yīng)用價(jià)值。拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)提供了一種很好的解決方案。

國內(nèi)游小紅等人［1］利用ANSYS軟件對T2120深孔鉆鏜床床身進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，優(yōu)化后床身低階固有頻率有明顯提高，并達(dá)到了減輕其質(zhì)量的目的。郭媛美等人［2］利用尺寸優(yōu)化及拓?fù)鋬?yōu)化對外圓磨床床身結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)，在保證機(jī)構(gòu)具有足夠強(qiáng)度和剛度的基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)了磨床床身設(shè)計(jì)重量的大幅度下降。但是，以上采用的都是基于變密度法的單工況拓?fù)鋬?yōu)化。相對而言，漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化(ESO)不僅僅可解決各類結(jié)構(gòu)的尺寸優(yōu)化，還可同時(shí)實(shí)現(xiàn)形狀和拓?fù)鋬?yōu)化，無論應(yīng)力，位移/剛度優(yōu)化，或振動(dòng)頻率，都可遵循ESO的統(tǒng)一原則和簡單步驟進(jìn)行［3-4］。漸進(jìn)法在優(yōu)化過程中，單元只會出現(xiàn)刪除或者保留兩種情況，并不會產(chǎn)生類似于變密度法的中間密度這種情況，可以有效提高優(yōu)化質(zhì)量，并且容易利用現(xiàn)有的有限元分析軟件實(shí)現(xiàn)，具有很好的通用性。

因此，本文首先利用ANSYS的APDL語言進(jìn)行二次開發(fā)，開發(fā)了基于應(yīng)變能準(zhǔn)則的多工況結(jié)構(gòu)漸進(jìn)優(yōu)化算法，并將其應(yīng)用于床身的拓?fù)鋬?yōu)化，得到了其最優(yōu)的材料分布，最終顯著減輕了質(zhì)量，實(shí)現(xiàn)了床身的輕量化設(shè)計(jì)。

1 基于ESO算法的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

ESO算法的優(yōu)化準(zhǔn)則為:逐步去掉結(jié)構(gòu)中的低效材料(單元)，使所獲得的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)具有更好的承載性能。本文以多工況下允許的最大應(yīng)變能為約束條件，重量最小化為目標(biāo)函數(shù)，其數(shù)學(xué)模型表示為:

式中:目標(biāo)函數(shù)F(X)表示結(jié)構(gòu)總重量的最小化;設(shè)計(jì)變量xi表示第i個(gè)單元在模型中是保留還是刪除，即取1或0兩個(gè)值;wi為第i個(gè)單元的質(zhì)量;C*表示允許的總體應(yīng)變能的最大值，即結(jié)構(gòu)總體剛度的最小值;n為單元個(gè)數(shù)。

結(jié)構(gòu)柔度或者整體應(yīng)變能的最小化等價(jià)于結(jié)構(gòu)整體剛度最大化。

2 基于單元應(yīng)變能密度的ESO法

2.1 單元應(yīng)變能密度的公式推導(dǎo)

對于靜力結(jié)構(gòu)問題分析而言，相關(guān)的有限元公式如下:

式中:［K］是總剛度矩陣，{δ}是節(jié)點(diǎn)的位移矢量，{P}是節(jié)點(diǎn)的載荷矢量。結(jié)構(gòu)的總應(yīng)變能定義為:

從一個(gè)由n個(gè)有限單元構(gòu)成的結(jié)構(gòu)中刪除第i個(gè)單元，總體剛度矩陣變化量為:

式中:［K*］是刪除第i個(gè)單元后結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣，［Ki］是被刪除的第i個(gè)單元的剛度矩陣。假設(shè)刪除第i個(gè)單元不影響載荷矢量{P}。忽略高階項(xiàng)的影響，從方程(2)得位移變化量為:

由式(3)、(4)、(5)可得:

式(6)為由于刪除第i個(gè)單元而引起的應(yīng)變能的變化量，也就是單元應(yīng)變能Ce，即

則單元應(yīng)變能密度(靈敏度)為:

式中:vi為有限元單元的體積。

2.2 多載荷工況下的單元靈敏度公式

由式(8)可知多載荷下對應(yīng)各個(gè)工況單元的靈敏度可表示為:

式中:{δik}是第k個(gè)工況單元的位移向量。

根據(jù)文獻(xiàn)［5］，可運(yùn)用折衷規(guī)劃法和功效函數(shù)法對多工況下單元靈敏度公式進(jìn)行分析處理，即表示為:

上述對單元靈敏度公式的處理方法不僅能夠使優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)有效地減輕載荷“病態(tài)”現(xiàn)象，而且能夠利用變化的權(quán)系數(shù)對優(yōu)化過程進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)。

2.3 多工況下的ESO優(yōu)化算法步驟

對于各向同性線彈性材料靜力結(jié)構(gòu)優(yōu)化而言，應(yīng)變能優(yōu)化準(zhǔn)則的表達(dá)式可表示為:

式中:αi是單元應(yīng)變能密度(靈敏度);αmax是最大的單元應(yīng)變能密度;RRi為刪除率。

ESO算法原理簡單，即通過將無效或低效的材料一步步去掉，使結(jié)構(gòu)逐漸趨于優(yōu)化。具體對于本文而言，ESO算法的思想是通過逐步刪除單元應(yīng)變能貢獻(xiàn)最小的單元，使剩余結(jié)構(gòu)的整體剛度逐步趨于最優(yōu)化。

在ANSYS平臺上實(shí)現(xiàn)ESO優(yōu)化算法的流程圖如圖1所示。

3 床身的拓?fù)鋬?yōu)化

3.1 床身有限元模型的建立

Z8016深孔鉆床床身為焊接件，床身長5 000 mm，寬416 mm，高870 mm，筋板厚度20 mm，前后壁厚27 mm，其內(nèi)部筋板結(jié)構(gòu)由7組V型結(jié)構(gòu)的筋板組成。Z8016深孔機(jī)床如圖2所示。

床身的材料為HT150，彈性模量為1.5×105MPa，泊松比為0.27，密度為7×10-6kg/mm3。采用Pro/E軟件建立原床身三維實(shí)體模型，并將其導(dǎo)入ANSYS中進(jìn)行計(jì)算分析。ANSYS采用智能網(wǎng)格劃分技術(shù)對三維實(shí)體模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，單元類型采用soild92，得到148 943節(jié)點(diǎn)和75 504個(gè)單元。

將床身的上面導(dǎo)軌部分和主軸箱支撐部分設(shè)為非設(shè)計(jì)區(qū)域，其他部分定為設(shè)計(jì)區(qū)域。ANSYS中設(shè)計(jì)區(qū)域劃分的單元定為1號單元，非設(shè)計(jì)區(qū)域劃分的單元定為相同材料屬性的2號單元［6］。床身的有限元模型如圖3所示。

3.2 床身的工況條件

床身的工況條件對于其結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的結(jié)果起著重要的作用。深孔鉆床在切削加工時(shí)，主軸電動(dòng)機(jī)功率、進(jìn)給箱(尾座)相對于床身的位置、切削參數(shù)等主要因素影響切削工況。因此，綜合上述的主要因素來確定床身的合理工況如下所述:

(1)極限工況 為確保床身具有良好的靜動(dòng)性能，選取深孔鉆床重鉆削時(shí)相應(yīng)的極限工況為設(shè)計(jì)工況。

(2)進(jìn)給箱位置的加權(quán)工況 進(jìn)給箱相對床身位置的不同會導(dǎo)致床身的受力情況也有所不同。分別選取進(jìn)給箱運(yùn)行至床身的最小極限位置、中間位置和最大極限位置，并概率統(tǒng)計(jì)鉆床的實(shí)際工作狀態(tài)，通過引入加權(quán)系數(shù)來校正進(jìn)給箱不同位置對床身載荷受力的影響。

綜上所述，床身的典型設(shè)計(jì)工況為:鉆床在重鉆削條件下即主軸電動(dòng)機(jī)滿載功率時(shí)的切削力作為外部載荷;進(jìn)給箱位于床身的最小極限位置、中間位置和最大極限位置作為3個(gè)典型工況。

3.3 床身的載荷和約束條件

床身3個(gè)典型工況的約束條件相同。即床身底部通過12個(gè)地腳螺栓跟地面連接，故在床身底部連接螺栓處定義全約束，各個(gè)方向的自由度為0。施加面約束后如圖3所示。

床身所受載荷主要由兩部分組成:重力和扭矩。即主軸箱、中心架、授油器、進(jìn)給箱等的重力，以及由切削力轉(zhuǎn)化而成的扭矩。將位于床身導(dǎo)軌上主要部件的重力等效為面載荷進(jìn)行施加，由主要部件相應(yīng)位置的平軌和V型軌上各平均承受總重力的一半［7］;切削加工時(shí)，床身所受的扭矩同樣等效為面載荷施加在支撐主軸箱和進(jìn)給箱的導(dǎo)軌面上，施加載荷后如圖4所示。

3.4 床身的ESO方法優(yōu)化結(jié)果

選取基于應(yīng)變能準(zhǔn)則的單元初始刪除率為RR0=1%，進(jìn)化率為ER=1%［8］，通過上述基于ESO法的多工況結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化最終獲得良好的拓?fù)鋬?yōu)化圖樣，即刪除率為RR=25%的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定狀態(tài)，如圖5所示。

從圖5所示可以看出，床身的材料主要集中分布在受力的導(dǎo)軌和工作臺支撐部分的下側(cè)以及進(jìn)給箱(尾座)經(jīng)常工作的床身區(qū)域部位。

為了更加形象地展示拓?fù)鋬?yōu)化中床身的變化情況，因此繪出了床身的進(jìn)化歷程曲線，如圖6所示。

從圖6a可以看出:在刪除率達(dá)到17%后體積減小的速度變緩慢;刪除率從25%到27%的過程中，體積比基本不變，即也說明了拓?fù)湫螤畈辉侔l(fā)生變化;當(dāng)刪除率到達(dá)28%時(shí)，計(jì)算終止;最后拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)體積為原體積的46%左右。

圖6b中D表示3種工況中最大與最小應(yīng)變能密度比值的平均值。從圖6b中可以看出:lg(D)的值隨著刪除率的增加而逐漸降低到1.8，即最大與最小應(yīng)變能密度比值逐漸減小到優(yōu)化解時(shí)的101.8。這充分說明了最大與最小應(yīng)變能密度的差距顯著減小，床身取得了良好的優(yōu)化效果。

4 床身的重構(gòu)設(shè)計(jì)

根據(jù)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果即圖5以及制造工藝，對原床身有以下改進(jìn)措施:(1)在床身兩側(cè)壁上開孔［9］。(2)筋板上圓孔的直徑由原來的100 mm變?yōu)?00 mm。(3)下底板厚度由原來的25 mm變?yōu)?8 mm并在其上開4個(gè)圓形孔，圓孔直徑為350 mm。(4)合理地分配筋板數(shù)目，即減少床身前端部分的筋板數(shù)，增加支撐主軸箱部位的筋板數(shù)。經(jīng)過反復(fù)的分析與驗(yàn)證確定新床身的結(jié)構(gòu)如圖7。

利用有限元法分別對原床身結(jié)構(gòu)和優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜力學(xué)分析以及模態(tài)分析，優(yōu)化前后床身的性能對比如表1所示。

表1 優(yōu)化前后床身靜動(dòng)態(tài)性能和重量的比較

由表1所示:優(yōu)化后床身的低階固有頻率有所提高，且遠(yuǎn)離工作頻率，不會發(fā)生共振現(xiàn)象;最大變形量、最大等效應(yīng)力都有所減小;最重要的是床身整體質(zhì)量減小了14.47%。

5 結(jié)語

(1)借助ESO算法實(shí)現(xiàn)，利用APDL語言對ANSYS單元生死功能進(jìn)行二次開發(fā)，實(shí)現(xiàn)了多工況下基于應(yīng)變能準(zhǔn)則的漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化算法。

(2)運(yùn)用上述基于ESO法的多剛度拓?fù)鋬?yōu)化算法，對深孔鉆床床身進(jìn)行了多工況下的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，獲得了良好的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。在保證滿足工作要求的前提下，其靜、動(dòng)態(tài)性能均有所提高，質(zhì)量顯著下降，節(jié)約了制造成本，實(shí)現(xiàn)了床身輕量化設(shè)計(jì)。

(3)本文的優(yōu)化結(jié)果對床身的進(jìn)一步尺寸優(yōu)化和設(shè)計(jì)提供了參考模型，同時(shí)，該設(shè)計(jì)方法對機(jī)床其它部件的改進(jìn)有一定的參考意義，有利于降低深孔機(jī)床的設(shè)計(jì)成本，具有較好的工程應(yīng)用價(jià)值。

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