復(fù)函數(shù)矩陣的向量及矩陣導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)

杜 鵑, 馮思臣, 譚仁俊

(成都理工大學(xué) 管理科學(xué)學(xué)院，成都 610059)

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復(fù)函數(shù)矩陣的向量及矩陣導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)

杜 鵑, 馮思臣, 譚仁俊

(成都理工大學(xué) 管理科學(xué)學(xué)院，成都 610059)

復(fù)函數(shù)已經(jīng)廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)各領(lǐng)域，有必要探討復(fù)函數(shù)矩陣的各種分析性質(zhì)，特別是對向量與矩陣的導(dǎo)數(shù)的研究。本文以實函數(shù)矩陣性質(zhì)為基礎(chǔ)，針對復(fù)函數(shù)矩陣的特征，引入復(fù)函數(shù)矩陣及其極限、連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、積分等概念或定義。以綜合類比與推理研究的方法，推導(dǎo)出復(fù)矩陣函數(shù)的逆、跡的導(dǎo)數(shù)的算法，尤其是復(fù)向量數(shù)量函數(shù)、復(fù)多元向量函數(shù)、復(fù)向量復(fù)合函數(shù)對向量的導(dǎo)數(shù)，以及復(fù)合復(fù)函數(shù)、復(fù)二次型的導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)；進(jìn)一步揭示了復(fù)矩陣函數(shù)、復(fù)矩陣函數(shù)對矩陣的導(dǎo)數(shù)以及跡、行列式導(dǎo)數(shù)的重要性質(zhì)，也得到了復(fù)矩陣函數(shù)、復(fù)向量矩陣函數(shù)的全微分的算法。研究結(jié)果表明復(fù)函數(shù)矩陣對向量與對矩陣的導(dǎo)數(shù)的算法雖然源于實函數(shù)矩陣的導(dǎo)數(shù)算法，但卻發(fā)展出非常多的、更廣泛的不同性質(zhì)。

復(fù)向量；復(fù)矩陣；復(fù)函數(shù)矩陣；矩陣函數(shù)

1 預(yù)備知識

函數(shù)矩陣的性質(zhì)在控制論、信息處理、圖像識別領(lǐng)域有著重要作用，相關(guān)結(jié)論都主要針對實變量的函數(shù)矩陣[1]；而復(fù)變量的函數(shù)矩陣有著重要性質(zhì)。本文主要討論復(fù)變量的函數(shù)矩陣，給出函數(shù)矩陣解析性，以及對向量、矩陣變量的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)。下面的定義將實變量的函數(shù)矩陣性質(zhì)拓寬到復(fù)函數(shù)矩陣。

定義1 若矩陣A=(aij(z))m×n，其中aij(z)是復(fù)函數(shù)，即

稱它為復(fù)函數(shù)矩陣[2,3]。

首先給與實函數(shù)有類似結(jié)果的復(fù)函數(shù)矩陣極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)及積分等概念。

c. 若aij(z)在z=z0處可導(dǎo)或者在區(qū)域D上解析(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)，則稱A(z)在z=z0處可導(dǎo)或在區(qū)域D上解析。記

定義2

c. 設(shè)矩陣H是以復(fù)矩陣Z∈Cm×n為自變量的s×t復(fù)多元函數(shù)矩陣[8]

hkq(Z)以Z=(zij)m×n的元素為變量的m×n元復(fù)函數(shù)，則定義

其中

d. 設(shè)H=(hij)m×n,hij=hij(Z), Z=(z1,z2,…,zn)Τ，

則H的全微分為dH=(dhij)m×n。

由于復(fù)變函數(shù)的解析性不同于實函數(shù)的可導(dǎo)性，因而使解析函數(shù)有廣泛的應(yīng)用。以下主要給出復(fù)函數(shù)矩陣導(dǎo)數(shù)的結(jié)論。

引理1 復(fù)函數(shù)矩陣A(z),B(z)在D上解析，則

a. (A(z)+B(z))′=A′(z)+B′(z)。

b. (A(z)B(z))′=A′(z)B(z)+A(z)B′(z)。

c. (k(z)A(z))′=k(z)A′(z)+k′(z)A(z)[9]。 引理2 設(shè)A(z)是復(fù)函數(shù)矩陣，A(z)=(aij(z))n×n，

a. 若A(z)與A-1(z)都在區(qū)域D 上解析，則

證明

a. ∵A(z)A-1(z)=I，由復(fù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)得A′(z)A-1(z)+A(z)(A-1(z))′=0。

∴A(A-1(z))′=-A′(z)A-1(z),即

引理3 設(shè)復(fù)向量函數(shù)h(Z)=h(z1,z2,…,zn),f(Z)=f(z1,z2,…,zn), 其中Z=(z1,z2,…,zn)Τ, 則

證明b由定義2-a有

=(fz1h,fz2h,…,fznh)Τ+(fhz1+fhz2,…,fhzn)Τ

類似可得a、c。

2 主要結(jié)果

定理2 設(shè)A=(aij)n×n為復(fù)數(shù)矩陣，f(Z)=ZTAZ，其中Z=(z1,z2,…,zn)Τ，則

證明

=AZ+ATZ=(A+AT)Z

定理3W=f(Z)=(w1,w2,…,wn)Τ,Z=(z1,z2,…,zn)。

其中w1=f1(Z)=f1(z1,z2,…,zn);w2=f2(Z)=f2(z1,z2,…,zn); …;wn=fn(Z)=fn(z1,z2,…,zn)。 則

證明 由定義2-b。

定理4

證明

=((0,0,…,zj,0,…,0)AZ+?i列ZΤAΤ(0,0,…,0,zj,0,…,0)Τ)m×n?i列

=((zjai1,zjai2,…,zjain)(z1,z2,…,zn)Τ+ZΤ(zjai1,zjai2,…,zjaim)Τ)m×n

=2AZZΤ。

=(z1,z2,…,zn)Τ(z1,z2,…,zn)=ZZT。

定理5 設(shè)f(w)是函數(shù)向量w=(w1,w2,…,wn)Τ的函數(shù)，而wi=wi(Z)，其中

證明

推論

證明

證明 由定義2-c,

3 結(jié) 論

從上面的結(jié)論可以得出復(fù)函數(shù)矩陣的分析性質(zhì)是實函數(shù)矩陣分析性質(zhì)的進(jìn)一步拓展，是由復(fù)函數(shù)與實函數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系產(chǎn)生的。

復(fù)函數(shù)結(jié)合矩陣論，在現(xiàn)代許多科學(xué)領(lǐng)域都有著比它們各自單獨(dú)使用時更廣泛的應(yīng)用。把這兩者有效地結(jié)合起來進(jìn)行進(jìn)一步的研究是一個新課題，在實函數(shù)矩陣論范圍內(nèi)它將會有更多的新成果，這些方法和結(jié)果在實際應(yīng)用中，會使得所需要的運(yùn)算更加高效與快捷。

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Properties of derivative of complex functions matrix of vector and matrix

DU Juan, FENG Si-chen, TAN Ren-jun

CollegeofManagementScience,ChengduUniversityofTechnology,Chengdu610059,China

Owing to wide application of complex function to most fields of nature sciences, it is necessary to discuss all the analysis properties of complex function matrix, especially the derivative of complex function to the vector variables and matrix variables. Based on the properties of real function matrix, combined with the characters of complex function matrix, the concepts of limits, continuity, derivative and integral are defined. Synthetic analogy and reasoning research are used to deduce the algorithms of derivative of the inverse and trace of complex matrix function, especially the derivative of complex vector quantity function, complex function of several vector variables, and complex vector compound function to vector and properties of derivative of compound complex function and complex quadratic form. Furthermore, the important properties of the derivative of complex matrix function, complex matrix function of complex matrix to matrix and the properties of the derivative of the trace are discovered. Also, the algorithms on the total differentiation of complex vector matrix function and complex matrix function are deduced. It proves that the derivative of complex function matrix to the vector and matrix origins from the derivative of real function matrix, it develops more and wider different properties.

complex vector; complex matrix; complex function matrix; matrix function

10.3969/j.issn.1671-9727.2016.05.15

1671-9727(2016)05-0635-06

2015-05-23。

國家自然科學(xué)基金項目(1047112); 四川省教育廳自然科學(xué)重點(diǎn)資助項目(08ZA114)。

杜鵑(1961-)，女，教授，主要研究方向:數(shù)值代數(shù), E-mail：dj4078@126.com。

O151.21

A