基于改進DFT相位差的正弦波頻率估計*

王曉峰，邢敏捷，劉　歌，趙汝鵬

(1.空軍航空大學 信息對抗系，長春 130022;2.解放軍93175部隊，長春 130051)

?

基于改進DFT相位差的正弦波頻率估計*

王曉峰**，邢敏捷2，劉歌1，趙汝鵬1

(1.空軍航空大學 信息對抗系，長春 130022;2.解放軍93175部隊，長春 130051)

針對基于離散傅里葉變換(DFT)相位差的正弦波頻率估計方法對頻偏敏感的問題，提出了一種改進DFT相位差頻率估計方法。首先推導了DFT相位差法頻率估計的均方誤差，然后提出了基于Rife插值的改進DFT相位差頻率估計方法，較好地解決了正弦波頻率估計對頻偏敏感的問題。仿真實驗結(jié)果表明，改進方法在各種頻偏下均能取得較高的估計精度，估計性能接近克拉美羅限(CRLB)。

正弦波頻率估計；頻偏敏感；DFT相位差；Rife插值

1　引　言

正弦波信號頻率估計在雷達、通信、聲納以及電子對抗等諸多涉及信號處理的領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，且經(jīng)常作為其他復(fù)雜信號處理的基礎(chǔ)工具，具有十分重要的研究價值[1-5]。文獻[6]給出了加性高斯白噪聲背景下正弦波頻率的最大似然估計，估計性能接近克拉美羅限(Cramer-Rao Lower Bound,CRLB)，是最優(yōu)估計，但該方法需要進行一維搜索，計算量太大，無法工程實現(xiàn)[7]?；陔x散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform,DFT)的快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform,FFT)計算速度快，適合于實時處理，特別是隨著硬件技術(shù)的迅速發(fā)展，基于DFT的頻率估計方法獲得了廣泛應(yīng)用，但DFT算法柵欄效應(yīng)導致的頻偏嚴重影響了頻率估計精度。文獻[8]提出利用信號FFT的最大兩根譜線進行插值估計正弦波頻率，即Rife算法。但Rife算法沒有考慮到噪聲的影響，在信噪比較低且信號實際頻率接近FFT量化頻率點時，容易出現(xiàn)插值方向的錯判，影響頻率估計精度。為此，相繼出現(xiàn)了基于Rife算法的各種改進正弦波頻率估計方法[9-12]，但這些方法均沒有有效解決頻偏對Rife算法頻率估計性能的影響。文獻[13]利用DFT相位直接估計信號頻率，但存在相位模糊問題。為解決DFT相位估計信號頻率時的相位模糊問題，文獻[14]提出了基于DFT相位差的頻率估計算法，該方法通過計算兩段DFT譜線峰值處的相位差完成頻率估計，但當信號頻率位于兩根DFT量化譜線之間時，噪聲將嚴重影響DFT的相位提取，進而導致頻率估計錯誤。

針對上述文獻研究的不足，本文提出一種基于Rife插值的改進DFT相位差頻率估計方法，介紹了DFT相位差法頻率估計原理，推導了DFT相位差法頻率估計的均方誤差，最后結(jié)合Rife插值思想給出了一種改進的DFT相位差頻率估計方法。理論分析表明改進方法能夠較好地解決頻偏對正弦波頻率估計的影響。仿真實驗結(jié)果驗證了改進估計方法的有效性。

2　DFT相位差頻率估計

2.1算法原理

頻率為f0，初始相位為φ0，幅值為a的正弦波信號可以表示為

s(n)=a·exp[j(2πf0Tn/N+φ0)],n=0,1,…,N-1。

(1)

(2)

2.2性能分析

DFT最大譜線處幅值的輸出信噪比可近似為[7]

(3)

被噪聲污染信號r(n)的DFT最大譜線處的相位φk0可以表示為[14]

(4)

式中：φk0為信號s(n)的DFT最大譜線處相位;Ak0為DFT最大譜線幅值;φz為噪聲DFT相位。式(4)第二項即為噪聲產(chǎn)生的相位誤差。

(5)

(6)

綜上所述，DFT相位差頻率估計均方誤差可近似為

(7)

根據(jù)噪聲DFT的不相關(guān)特性[6]，上式可寫為

(8)

結(jié)合sinc函數(shù)特性可知，當信號頻率位于DFT某個離散頻率附近時，頻偏δ的絕對值較小，DFT相位差頻率估計具有較高的估計精度，但是當信號頻率位于兩個離散頻率的中心區(qū)域時，頻偏δ的絕對值較大，DFT相位差法頻率估計誤差較大,而實際應(yīng)用中DFT最大譜線對應(yīng)頻率與實際頻率的頻偏是不可控因素。

3　改進頻率估計方法

文獻[8]提出利用信號頻譜的最大兩根譜線進行插值對正弦波頻率進行估計:

(9)

當Ak0+1

(1)將序列分為兩個長度相同的序列s1(n)和s2(n)，分別計算其N/2點DFT并搜索出最大頻譜對應(yīng)的量化頻點k0。

(2)利用Rife插值計算信號頻移的量化頻率單位δ0:

(10)

(3)將序列s1(n)和s2(n)頻移δ0個量化單位后，利用頻譜細化技術(shù)分別計算

綜上所述，隨著新時期的發(fā)展，銀行理財業(yè)務(wù)將逐漸多元化發(fā)展，滿足人民在傳統(tǒng)存儲的基礎(chǔ)上開展靈活的投資，銀行必須把握我國經(jīng)濟及國民經(jīng)濟較為深厚的機遇，發(fā)揮自身特點，積極與保險、證券等行業(yè)跨行業(yè)、跨機構(gòu)開展合作，并在銀監(jiān)會的監(jiān)管下，合理設(shè)計及銷售產(chǎn)品，標準化管理，公開、透明的信息披露，為消費者提供可靠的金融投資環(huán)境，吸引眾多投資資金，推動銀行改革升級。

(11)

(12)

(4)分別提取S1(k0+δ0)和S2(k0+δ0)的相位，計算相位差

Δφ=angle[S2(k0+δ0)]-[S1(k0+δ0)]。

(13)

(5)計算信號頻率的估計值

(14)

進行Rife插值時，若信號頻率位于兩個離散頻率的中心區(qū)域，Ak0和Ak0+r的值較為接近，Rife插值能夠很好地將信號頻率搬移至k0附近，提高DFT相位差法的估計精度；若信號頻率與k0較為接近，Ak0將遠遠大于Ak0+r，此時計算所得δ0將非常小，即頻率搬移后的信號頻率仍然位于k0附近。改進DFT相位差頻率估計方法對頻率與DFT最大譜線位置的相對關(guān)系不敏感，較好地解決了頻偏對頻率估計的影響。

4　性能分析及仿真驗證

4.1復(fù)雜度分析

基于改進DFT相位差的頻率估計方法除需要作兩次N/2點的FFT外，還需計算兩次單點DFT和利用反正切函數(shù)計算一次相位。兩次N/2點的FFT共需要N/2·lbN次復(fù)數(shù)乘法和N·lbN次復(fù)數(shù)加法，兩次單點DFT共需要N次復(fù)數(shù)乘法和N-1次復(fù)數(shù)加法。在采樣點數(shù)N較大的情況下，反正切的計算量可以忽略。各基于DFT的正弦波頻率估計算法的計算復(fù)雜度如表1所示。由表1可知，本文估計算法的計算復(fù)雜度略大于DFT相位差法和Rife算法，遠小于其他Rife修正算法，能夠滿足實際應(yīng)用要求。

表1　各基于DFT的正弦波頻率估計算法計算復(fù)雜度

4.2仿真分析

為驗證基于改進DFT相位差的頻率估計性能，將其與DFT相位差法、Rife算法以及頻率估計的CRLB進行對比仿真。仿真中信號采樣點數(shù)N=1 024，采樣頻率為1 024 kHz，DFT譜線間隔為1 kHz，信噪比為3 dB。正弦信號頻率由(19.5,20.5)kHz均勻地選取19個頻率值，即頻偏δ∈(-0.5,0.5)。每個頻率點作500次蒙特卡洛仿真實驗，并計算均方誤差，仿真實驗結(jié)果如圖1所示。

圖1　不同頻偏下頻率估計性能對比

為進一步驗證基于改進DFT相位差的正弦波頻率估計方法的性能，在不同信噪比下對其進行仿真驗證，并與DFT相位差法、Rife算法以及CRLB進行比較。仿真實驗中信號采樣點數(shù)N=1 024，采樣頻率為1 024 kHz，DFT譜線間隔為1 kHz，信噪比步進1 dB，每個信噪比下進行500次蒙特卡洛仿真實驗。表2～4分別是信號頻率為19.9 kHz(δ=0.1)、20.3 kHz(δ=0.3)和20.45 kHz(δ=0.45)時的頻率估計均方誤差。

表2　δ=0.1時的頻率估計性能

表3　δ=0.3時的頻率估計性能

表4　δ=0.45時的頻率估計性能

實驗結(jié)果表明，本文算法在各信噪比下的頻率估計性能均優(yōu)于DFT相位差法和Rife算法，對各種頻偏具有較好的適應(yīng)性，較好地解決了頻偏對正弦波頻率估計的影響，估計性能接近CRLB。

5　結(jié)　論

本文研究了正弦波信號的頻率估計問題，首先推導了DFT相位差頻率估計的均方誤差，然后針對DFT相位差頻率估計不適用于頻偏較大的問題，提出了基于改進DFT相位差的正弦波頻率估計方法。改進方法較好地融合了DFT相位差分法和Rife算法的優(yōu)點，能夠適應(yīng)各種頻偏，頻率估計性能接近CRLB，且算法計算簡單，具有較好的工程應(yīng)用價值。

[1]YAMADA T. High-accuracy estimations of frequency,amplitude,and phase with a modified DFT for asynchronous sampling[J].IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement,2013,62(6):1428-1435.

[2]FU H,KAM P Y. Phase-based,time-domain estimation of the frequency and phase of a single sinusoid in AWGN—the role and applications of the additive observation phase noise model[J].IEEE Transactions on Information Theory,2013,59(5):3175-3188.

[3]RAMASAMY D,VENKATESWARAN S,MADHOW U.Compressive parameter estimation in AWGN[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2014,62(8):2012-2027.

[4]高瑞令,吳曉富,顏俊,等. 改進的 DFT 正弦信號頻率估計[J].信號處理,2014,30(9):1072-1077.GAO Runling,WU Xiaofu,YAN Jun,et al.Frequency estimator based on autocorrelation with low SNR[J].Journal of Signal Processing,2014,30(9):1072-1077.(in Chinese)

[5]侯盼衛(wèi),楊錄. 基于自相關(guān)檢測法和能量重心法的正弦信號頻率估計算法[J].科學技術(shù)與工程,2014(3):97-102.HOU Panwei,YANG Lu. Frequency estimation algorithm of sinusoid signal based on autocorrelation detection and energy centrobaric correction method[J].Science Technology and Engineering,2014(3):97-102.(in Chinese)

[6]RIFE D C,BOORSTYN R R. Single tone parameter estimation from discrete time observation[J].IEEE Transactions on Information Theory,1974,20(5):591-598.

[7]ABATZOGLOU T J.A fast maximum likelihood algorithm for the frequency estimation of a sinusoid based on Newton's method[J].IEEE Transactions on Acoustics,Speech,and Signal Processing,1985,33(1):77-89.

[8]RIFE D C,VINCENT G A. Use of the discrete Fourier transform in the measurement of frequencies and levels of tones[J].Bell System Technical Journal,1970,49(2):97-228.

[9]黃超,索繼東,于亮. 基于自相關(guān)函數(shù)相位的正弦信號頻率估計新算法[J].電訊技術(shù)，2014,54(1):63-67.

HUANG Chao,SUO Jidong,YU Liang.A novel algorithm for estimation of sinusoid frequency based on argument of sample autocorrelation function [J].Telecommunication Engineering,2014,54(1):63-67.(in Chinese)

[10]周龍健,羅景青,房明星. 基于IIN算法和Rife算法的正弦波頻率估計算法[J].數(shù)據(jù)采集與處理,2013,28(6):839-842.

ZHOU Longjian,LUO Jingqing,FANG Mingxing.Frequency estimation of sinusoid wave based on IIN algorithm and Rife algorithm[J].Journal of Data Acquisition and Processing,2013,28(6):839-842.(in Chinese)

[11]孫宏軍,徐冠群. 基于相角判據(jù)的Rife算法的渦街信號處理方法[J].儀器儀表學報,2013,34(12):2860-2866.

SUN Honjun,XU Guanqun. Modified Rife frequency estimation algorithm based on phase criterion for vortex signal processing[J].Chinese Journal of Scientific Instrument,2013,34(12):2860-2866.(in Chinese)

[12]劉福東,陳智遠. 基于Rife算法的頻率估計及其FPGA實現(xiàn)[J].工業(yè)控制計算機,2014(4):89-90.LIU Fudong,CHEN Zhiyuan. Frequency estimation based on Rife algorithm and its implementation on FPGA[J].Industrial Control Computer,2014(4):89-90.(in Chinese)

[13]劉渝. 快速高精度正弦波頻率估計綜合算法[J].電子學報,1999,27(6):126-128.

LIU Yu.A fast and accurate single frequency estimator synthetic approach[J].Acta Electronica Sinica,1999,27(6):126-128.(in Chinese)

[14]齊國清,賈欣樂. 基于DFT相位的正弦波頻率和初相的高精度估計方法[J].電子學報,2001,29(9):1164-1167.

QI Guoqing,JIA Xinle. High accuracy frequency and phase estimation of single tone based on phase of DFT[J].Acta Electronica Sinica,2001,29(9):1164-1167.(in Chinese)

王曉峰(1987—)，男，河北承德人，2015年獲博士學位，現(xiàn)為講師，主要研究方向為信號與信息處理；

WANG Xiaofeng was born in Chengde,Hebei Province,in 1987. He received the Ph.D.degree in 2015. He is now a lecturer. His research concerns signal and information processing.

Email:wxf870516@126.com

邢敏捷(1977—)，女，吉林長春人，2009年獲碩士學位，現(xiàn)為工程師，主要研究方向為通信與信息系統(tǒng)；

XING Minjie was born in Changchun,Jilin Province,in 1977.She received the M.S. degree in 2009. She is now an engineer.Her research concerns communication and information system.

劉歌(1991—)，女，山東威海人，2014年獲學士學位，現(xiàn)為碩士研究生，主要研究方向為雷信號處理；

LIU Ge was born in Weihai,Shandong Province,in 1991. She received the B.S.degree in 2014. She is now a graduate student. Her research concerns radar signal processing.

趙汝鵬(1993—)，男，廣東湛江人，2015年獲學士學位，現(xiàn)為碩士研究生，主要研究方向為雷達信號處理。

ZHAO Rupeng was born in Zhanjiang,Guangdong Province,in 1993. He received the B.S.degree in 2015. He is now a graduate student.His research concerns radar signal processing.

Sinusoidal Signal Frequency Estimation Based on Improved DFT Phase Difference

WANG Xiaofeng1,XING Minjie2,LIU Ge1,ZHAO Rupeng1

(1.Information Countermeasure Department,Aviation University of Air Force,Changchun 130022，China；2.Unit 93175 of PLA,Changchun 130051,China)

The frequency offset sensitivity problem of discrete Fourier transform(DFT) phase difference method in sinusoid wave frequency estimation is studied.An improved DFT phase difference frequency estimation method is presented. Firstly,the mean-squared error(MSE) of DFT phase difference method is deduced.And then,an improved DFT phase difference frequency estimation method based on Rife interpolation is proposed. The improved method has well solved the problem of sensitivity to frequency offset. The computer simulation results indicate that the improved method has higher estimation accuracy in any frequency offset,and its estimation performance is close to Cramer-Rao lower bound(CRLB).

sinusoidal signal frequency estimation;frequency offset sensitivity;DFT phase difference;Rife interpolation

10.3969/j.issn.1001-893x.2016.10.012

2016-03-25；

2016-05-25Received date:2016-03-25；Revised date：2016-05-25

TN911.6

A

1001-893X(2016)10-1129-05

引用格式：王曉峰，邢敏捷，劉歌，等.基于改進DFT相位差的正弦波頻率估計[J].電訊技術(shù)，2016,56(10):1129-1133.[WANG Xiaofeng,XING Minjie,LIU Ge,et al.Sinusoidal signal frequency estimation based on improved DFT phase difference[J].Telecommunication Engineering,2016,56(10):1129-1133.]

**通信作者：wxf870516@126.comCorresponding author：wxf870516@126.com1