二級邊坡穩(wěn)定性的三維分析

唐承鐵，龍澤祥，許敬叔

(1.湖南省婁衡高速公路建設(shè)開發(fā)有限公司，湖南 衡陽 421000;2.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410075)

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二級邊坡穩(wěn)定性的三維分析

唐承鐵1，龍澤祥2，許敬叔2

(1.湖南省婁衡高速公路建設(shè)開發(fā)有限公司，湖南 衡陽 421000;2.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410075)

通過構(gòu)建一個三維破壞機制，基于線性MC準則和極限分析法，對邊坡高度H的解析解進行推導(dǎo)，采用“窮舉法”進行優(yōu)化計算，得到二級邊坡的穩(wěn)定系數(shù)，并與Michalowski的研究成果比較分析，從而驗證解的有效性。研究結(jié)果表明：邊坡的穩(wěn)定系數(shù)不僅與傾斜角和內(nèi)摩擦角有關(guān)，還與深度系數(shù)及寬高比有關(guān)。

二級邊坡;三維破壞機構(gòu);線性MC準則;極限分析;窮舉法

摩爾-庫侖準則假設(shè)土體破壞時正應(yīng)力和剪應(yīng)力服從線性關(guān)系，被廣泛應(yīng)用于巖土工程的分析研究中。對于土質(zhì)邊坡的研究，土體的屈服曲線呈線性變化，因此MC準則是有效的。常見的穩(wěn)定性方法有極限平衡法[1-2],極限分析法[3-5]等，相比于極限平衡法，極限分析法計算簡單，是研究工程穩(wěn)定性的一種有效方法[6-10]。極限分析法被大量的學(xué)者用來進行邊坡的穩(wěn)定性研究，不過，一般采用二維分析，三維分析比較少見。相比于三維分析，二維分析能更加保守的估計邊坡的穩(wěn)定性，然而在開挖寬度受到限制或斜坡開挖等情況時，利用三維分析，能更真實的反映邊坡的實際破壞狀態(tài)。采用極限分析對邊坡穩(wěn)定性進行三維分析時，破壞機構(gòu)主要有以下2種，一種是三維多塊體破壞機構(gòu)，另一種是“牛角形”破壞機構(gòu)。Michalowski[11]運用三維多塊體破壞機構(gòu)，該方法將三維滑坡體劃分為一系列的塊體，塊體的速度場按二維情況構(gòu)造，對滑坡的穩(wěn)定性進行了研究。Farzaneh等[12]將三維多塊體破壞機構(gòu)應(yīng)用于三維非均勻土坡的穩(wěn)定分析中，探討了采用迭代算法求最小上限解的方法?！芭＝切巍逼茐臋C構(gòu)是由Michalowski根據(jù)邊坡的三維實際破壞形態(tài)提出，該破壞模式得到廣泛的應(yīng)用。Michalowski[13]在均質(zhì)土體的破壞模式下，對孔隙水作用下二級邊坡的穩(wěn)定性進行了研究。Michalowski等[14]在三維“牛角形”破壞機制下，將地震荷載作為外荷載研究了邊坡的穩(wěn)定性。本文在Michalowski等研究成果的基礎(chǔ)上，將“牛角形”破壞機構(gòu)引入二級邊坡的穩(wěn)定性分析中?；诰€性MC準則，運用極限分析上限法，分析討論了邊坡坡角、深度系數(shù)以及寬高比B/H等對穩(wěn)定性系數(shù)的影響，對邊坡工程的施工和加固，具有指導(dǎo)借鑒作用。

1　極限分析法的應(yīng)用

極限分析法以塑性力學(xué)為基礎(chǔ)，概念明確，計算簡單，在邊坡的穩(wěn)定性研究中得到了廣泛應(yīng)用。利用極限分析法，分別計算求解破壞機制的外功率和內(nèi)能耗散率，然后令二者相等，便可以得到邊坡極限高度或頂部極限荷載的上限值。三維旋轉(zhuǎn)破壞機制的總內(nèi)能耗散D由2部分組成[14]，一部分是由體積變形引起的耗散DV，另一部分耗散Dt由速度間斷面引起，其中DV和Dt分別通過下式計算：

(1)

Dt=∫StctvtdSt=∫StctvcosφdSt

(2)

總的內(nèi)能耗散率D即為：

(3)

2　三維邊坡臨界高度上限解

2.1破壞機構(gòu)的構(gòu)建

構(gòu)建頂點夾角為2φ，通過坡腳點D的圓錐形破壞機構(gòu)，如圖1所示。對稱面上的軌跡線為?AD和?A'D'這2條對數(shù)螺旋線，AD的方程如下：

r=r0e(θ-θ0)tanφ

(4)

A'D'的方程為：

r'=r0'e-(θ-θ0)tanφ

(5)

其中：OA=r0；O'A'=r0'。圓錐形破壞機構(gòu)的橫截面為半徑為R的圓，軸線到旋轉(zhuǎn)中心O的距離為rm，則有：

(6)

(7)

f1和f2的表達式見文獻[11，13～14]。

圖1　三維旋轉(zhuǎn)機制Fig.1 Three-dimensional rotational mechanism

當臨界高度H取最小值時，該破壞機制的寬度B會是一個有限的數(shù)值，研究表明，臨界高度H不僅與坡角、強度參數(shù)以及深度系數(shù)等有關(guān)，還與破壞機制的寬度有關(guān)。為了使邊坡的破壞狀態(tài)更加符合土體的實際破壞情況，在圖1的中間嵌入一個寬度為b的塊體，如圖2所示。當b→時，得到與二維平面應(yīng)變相同的解。

(a)三維旋轉(zhuǎn)破壞機制；(b)塊體插入機制圖2　三維空間位置Fig.2 Three-dimensional space location

2.2外功率計算

破壞機制的總外功率由2部分組成，一部分是三維破壞機制本身的重力功率，另一部分是插入塊體引起的重力功率。對于三維破壞機制，通過建立局部坐標系XOY，如圖1所示，重力功率可表示為：

(8)

(9)

(10)

(11)

依據(jù)三角關(guān)系，θB和θC的表達式如下：

(12)

其中：k1=cosθ0-cosθhe(θh-θ0)tanφ-[α1cotβ1+α2cotβ2]H/r0

(13)

其中：k2=cosθ0-k1-α1Hcotβ1/r0

對式(8)中x和y的積分進行求解，對角度θ采用數(shù)值積分的方法計算，表達式(8)可改寫成：

(14)

插入體的重力功率計算方法與二維情形的相同，但要在二維情形的結(jié)果上乘以插入體寬度b，其表達式為：

(15)

g1和g2表達式見文獻[11，13～14]。

整個破壞機構(gòu)的外功率為：

W=Wγ-insert+Wγ-3D

(16)

2.3內(nèi)能耗散率計算

三維旋轉(zhuǎn)機制的內(nèi)能耗散包括坡面和坡頂面2個部分，由于為二級邊坡，用DAB表示坡頂面的內(nèi)能耗散，用DBC和DCD表示破面的內(nèi)能耗散，其計算式分別為：

(17)

(18)

(19)

計算上式中對x的積分，采用數(shù)值積分法求解對角度θ的積分，因而，三維旋轉(zhuǎn)機構(gòu)的內(nèi)能耗散為：

(20)

插入體的內(nèi)能耗散計算方法與二維情形的相同，但要在二維情形的結(jié)果上乘以插入體寬度b，其表達式為：

(21)

g3和g4表達式見文獻[11，13～14]，破壞機制的總內(nèi)能耗散可表示為：

D=Dinsert+D3D

(22)

令破壞機制的總外功率與總內(nèi)能耗散率相等，即W=D，通過化簡可得出：

r0(g1+g2)γ=ctcotφ(g3+g4)

(23)

由幾何關(guān)系有

(24)

根據(jù)式(23)～(24)，高度H的表達式為：

(25)

2.4優(yōu)化計算

采用“窮舉法”對高度H進行優(yōu)化，通過使用嵌套的4個循環(huán)并依次改變循環(huán)變量θ0，θh，r0'/r0和b/H的值，來搜尋高度H的最小值，搜尋到的最小值，即為高度的一個上限解Hcr。循環(huán)變量需要滿足以下條件：

(26)

其中：B'max為三維旋轉(zhuǎn)破壞機構(gòu)的最大寬度；B為邊坡的限制寬度。

3　結(jié)果計算與分析

3.1對比討論

線性MC準則下，邊坡的穩(wěn)定系數(shù)被定義為：

NL=γHc/c

(27)

根據(jù)極限分析上限法，在運動許可條件滿足的情況下，破壞機構(gòu)的最優(yōu)解就是目標函數(shù)NL的最小值。為證明本文方法的正確性，在MC準則下，取內(nèi)摩擦角φ=30°，并將求出的結(jié)果與Michalowski等[15]的結(jié)果進行比較分析。計算過程中，邊坡傾角取β=45,60,75,90，邊坡寬高比B/H取0.8,1.0,1.5,2.0,5.0,10.0。對比結(jié)果見表1。

表1　本文方法與Michalowski(2009)方法的對比分析Table 1 Comparison with the solutions of Michalowski(2009)

3.2參數(shù)討論

通過分別改變邊坡上傾角β1，下傾角β2，內(nèi)摩擦角φ和深度系數(shù)α1，研究各參數(shù)對土質(zhì)邊坡穩(wěn)定性的影響，研究結(jié)果如圖3～6所示。圖3中，內(nèi)摩擦角φ取10°,20°,25°和30°；圖4中，深度系數(shù)α1取0.2,0.3,0.4和0.5；圖5中，上傾角β1取30°,45°,60°和75°；圖6中，下傾角β2取45°,60°,75°和90°。

圖3　內(nèi)摩擦角φ與穩(wěn)定系數(shù)NL的關(guān)系Fig.3 Relationships between friction angle φ and the stability factor NL

圖4　深度系數(shù)α1與穩(wěn)定系數(shù)NL的關(guān)系Fig.4 Relationships between the depth coefficient α1 and the stability factor NL

圖5　上傾角β1與穩(wěn)定系數(shù)NL的關(guān)系Fig.5 Relationships between the slope angle β1 and the stability factor NL

圖6　下傾角β2與穩(wěn)定系數(shù)NL的關(guān)系Fig.6 Relationships between the slope angle β2 and the stability factor NL

從圖3可以看出，當內(nèi)摩擦角φ增大時，穩(wěn)定系數(shù)NL也將隨之增大，即邊坡的自穩(wěn)能力增強，邊坡越不容易被破壞。從圖4可以看出，當β1<β2時，穩(wěn)定系數(shù)NL隨著深度系數(shù)的增大而變大。從圖5和圖6可以看出，對于三維破壞機制，同一寬高比B/H時，穩(wěn)定系數(shù)NL隨著傾角β1和β2的增大而減少。同時，依據(jù)圖3～6可知，當寬高比B/H比較小時，穩(wěn)定系數(shù)的變化很大，邊坡的三維效應(yīng)很明顯，隨著B/H的增大，穩(wěn)定系數(shù)將逐漸減少，所以邊坡的穩(wěn)定系數(shù)也與寬高比B/H的大小有關(guān)。

4　結(jié)論

1)在β1=β2條件下，二級邊坡退化為單級邊坡的情形下，與Michalowski研究結(jié)果進行了對比。兩者結(jié)果吻合很好，驗證了本文解的有效性。

2)通過計算分析表明，三維邊坡寬高比B/H對邊坡的穩(wěn)定性具有重要的影響。當邊坡滑移寬度B受到嚴格限制時，邊坡穩(wěn)定性明顯優(yōu)于二維條件。

3)二級邊坡穩(wěn)定性系數(shù)NL隨著深度系數(shù)α1的增大而變大，而隨著深度系數(shù)α1的增大，邊坡刷坡工程量也在增大，實際工程中應(yīng)綜合考慮這2種因素的影響。

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3D stability analysis of two-stage slope

TANG Chengtie1, LONG Zexiang2， XU Jingshu2

(1. Hunan Province Lou-Heng Expressway Construction and Development Co, Ltd, Hengyang 421000, China;2. Schod of Civil Engineering, Centre South University, Changsha 410075, China)

This paper constructed a three-dimensional failure mechanism. The analytical solution of the slope height was then deduced on the basis of linear Mohr-Coulomb failure criterion and limit analysis. By virtue of exhaustion method, the numerical results of the stability factor of two-stage slope were derived as well. Moreover, by comparing with the results of Michalowski, the validity of the solution was demonstrated. The results show that: the stability factor of slope not only relates to inclination angle and internal frictional angle, but also relates to depth coefficient and depth-width ratio.

two-stage slope; three-dimensional failure mechanism; linear MC failure criterion; limit analysis; exhaustion method

2016-03-13

國家自然科學(xué)基金資助項目(52378510);高速公路橫向項目(2015)；2015年中南大學(xué)研究生創(chuàng)新項目(2015zzts241)

許敬叔(1988-)，男，山東臨沂人，博士研究生，從事交通工程研究；E-mail:461713142@qq.com

TU921

A

1672-7029(2016)10-1940-05