金屬體在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中周期性運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的實(shí)驗(yàn)探究

劉建泉

1問(wèn)題提出

在高三的一節(jié)復(fù)習(xí)課上，學(xué)生對(duì)一道廣東高考題“D”選項(xiàng)提出了質(zhì)疑.

題1如圖1所示，用一根長(zhǎng)為L(zhǎng)質(zhì)量不計(jì)的細(xì)桿與一個(gè)上弧長(zhǎng)為l0、下弧長(zhǎng)為d0的金屬線框的中點(diǎn)聯(lián)結(jié)并懸掛于O點(diǎn)，懸點(diǎn)正下方存在一個(gè)上弧長(zhǎng)為2l0、下弧長(zhǎng)為2d0的方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，且d0L.先將線框拉開到如圖1所示位置，松手后讓線框進(jìn)入磁場(chǎng)，忽略空氣阻力和摩擦.下列說(shuō)法正確的是

A.金屬線框進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)感應(yīng)電流的方向?yàn)閍→b→c→d→a

B.金屬線框離開磁場(chǎng)時(shí)感應(yīng)電流的方向?yàn)閍→d→c→b→a

C.金屬線框dc邊進(jìn)入磁場(chǎng)與ab邊離開磁場(chǎng)的速度大小總是相等

D.金屬線框最終將在磁場(chǎng)內(nèi)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)

學(xué)生認(rèn)為：金屬線框在進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)后作變速運(yùn)動(dòng)，dc和ab邊作變速運(yùn)動(dòng)，兩邊框電動(dòng)勢(shì)發(fā)生變化，必有電荷的定向移動(dòng)形成電流，那么這種電流會(huì)不會(huì)產(chǎn)生能量損失而使金屬線框停止運(yùn)動(dòng)呢？

金屬線框在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中作變速運(yùn)動(dòng)，磁通量不變，從整體上看閉合回路中并不能形成電流.但由于cd和ab邊框在磁場(chǎng)中做變速運(yùn)動(dòng)，金屬線中自由電荷受到的洛倫茲力也在變化中，在沿金屬線方向所受電場(chǎng)力和洛倫茲力的平衡被打破，處于動(dòng)態(tài)變化中，導(dǎo)致兩端的電動(dòng)勢(shì)E=BLv不斷變化，金屬線中能形成局部的“振蕩電流”.從法拉第電磁感應(yīng)定律角度看，這種影響應(yīng)該忽略，但到底有多大影響呢？

2矛盾突顯

帶著這一問(wèn)題，筆者查閱了近幾年幾大刊物的相關(guān)資料，在找到的近十篇相關(guān)論文，其中一道題的“D”選項(xiàng)與題1類似.

題2如圖2 所示，一閉合金屬圓環(huán)用絕緣細(xì)線掛于O 點(diǎn)， 將圓環(huán)拉離平衡位置并釋放，圓環(huán)擺動(dòng)過(guò)程中經(jīng)過(guò)有界的水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域， A 、B 為該磁場(chǎng)的豎直邊界， 若不計(jì)懸點(diǎn)的摩擦和空氣阻力，則

A.圓環(huán)向右穿過(guò)磁場(chǎng)后，還能擺至原來(lái)的高度

B.在進(jìn)入和離開磁場(chǎng)時(shí)，圓環(huán)中均有感應(yīng)電流

C.圓環(huán)進(jìn)入磁場(chǎng)后離平衡位置越近速度越大，感應(yīng)電流也越大

D.圓環(huán)最終將靜止在平衡位置

題1和題2的“D”選項(xiàng)表述有類似之處，但比較幾篇論文，發(fā)現(xiàn)文中對(duì)“D”選項(xiàng)持有兩個(gè)截然不同的觀點(diǎn)：一種觀點(diǎn)認(rèn)為圓環(huán)進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)后無(wú)磁通量變化，無(wú)感應(yīng)電流產(chǎn)生，根據(jù)能量守恒，圓環(huán)最終將在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做等幅振動(dòng).另一種則認(rèn)為圓環(huán)的局部有感應(yīng)電流，有電流就有能量損失，故圓環(huán)將在豎直方向靜止.

顯然，兩個(gè)觀點(diǎn)的矛盾在于兩個(gè)方面：其一是，金屬體在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中作周期性運(yùn)動(dòng)有沒有電流；其二是，金屬體在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中作周期性運(yùn)動(dòng)，電磁感應(yīng)引起的能量損失能不能忽略.

3問(wèn)題探究

關(guān)于有沒有電流的問(wèn)題，前文已作簡(jiǎn)要說(shuō)明，這一點(diǎn)孫德波老師在《中學(xué)物理教學(xué)參考》2004年第十期有較詳細(xì)的分析說(shuō)明，這里不再贅述.本文旨在建立一個(gè)理想化模型，通過(guò)假設(shè)、推理來(lái)分析此問(wèn)題中的能量損失，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證.

3.1建立模型

把一長(zhǎng)度為d橫截面積為S的金屬線（代替線框或圓環(huán)）用細(xì)線懸于固定點(diǎn)P，金屬線電阻為R，擺長(zhǎng)為l，設(shè)ld，整個(gè)裝置仍置于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，將金屬線拉離豎直方向θ角后由靜止釋放.

顯然，當(dāng)金屬線的質(zhì)量比細(xì)線質(zhì)量大得多，空氣阻力足夠小的情況下，我們可以把這一裝置看成是單擺.通過(guò)這一模型來(lái)研究能量損失，問(wèn)題得以簡(jiǎn)化.

3.2合理假設(shè)

為了能夠定量研究金屬線中產(chǎn)生的電能，我們必須知道金屬線在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，若考慮磁場(chǎng)對(duì)金屬線的阻尼，問(wèn)題會(huì)變得相當(dāng)復(fù)雜.因此，假設(shè)磁場(chǎng)對(duì)金屬線的阻尼很小，那么在短時(shí)間、小角度情況下金屬線的來(lái)回?cái)[動(dòng)可以看成是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).

由（3）式不難看出，若Δεε很小，那么在不太長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)，金屬線在振動(dòng)中損失的機(jī)械能（即產(chǎn)生的電能）遠(yuǎn)小于總機(jī)械能，可近似地看成是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，假設(shè)成立.否則，原假設(shè)不成立，金屬體在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的變速運(yùn)動(dòng)能量損失不可忽略.

3.4數(shù)據(jù)檢驗(yàn)

以常用的導(dǎo)電材料銅為例，在20 ℃時(shí)，電阻率是ρ=1.6730×10-8 Ω·m，密度為ρ′=8.96×103 kg/m3.從實(shí)際情況看，較弱的地磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度只有3×10-5 T～7×10-5 T，永久磁鐵附近的磁感應(yīng)強(qiáng)度大約為10-3 T，在電機(jī)和變壓器的鐵芯中，磁感應(yīng)強(qiáng)度可達(dá)0.8 T-1.4 T，超導(dǎo)材料中的強(qiáng)電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度可達(dá)1000 T.磁感應(yīng)強(qiáng)度取常見值：1×10-5 T～1×10-1 T，不妨設(shè)周期約為1 s，可以求出能量損失比Δεε及100個(gè)周期后剩余的機(jī)械能εt.估算結(jié)果如表1.

3.5實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了進(jìn)一步驗(yàn)證以上推理，筆者在中學(xué)實(shí)驗(yàn)室現(xiàn)有器材的基礎(chǔ)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，試圖通過(guò)實(shí)驗(yàn)加以證實(shí).實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)思想是：用多塊磁鐵組合，得到近似的勻強(qiáng)磁場(chǎng).讓同一金屬線在空氣中和勻強(qiáng)磁場(chǎng)中振動(dòng)，當(dāng)兩種情形下振動(dòng)能量損失相同，比較時(shí)間振動(dòng)時(shí)間長(zhǎng)短.具體操作步驟：

（1）用一根細(xì)絲線，一端系一直徑為2.74 mm，長(zhǎng)度為1.9 cm的銅導(dǎo)線，另一端固定，測(cè)出擺長(zhǎng)l.

（2）把條形磁鐵捆扎成一對(duì)，使N、S極相對(duì)，靠近放置形成近似的勻強(qiáng)磁場(chǎng).

（3）在桌面貼上一張白紙，畫一條直線，取振動(dòng)幅為4 cm標(biāo)記出平衡位置、最大位移及一半最大位移的位置.

（4）在不放磁鐵時(shí)讓金屬線沿畫好的直線擺動(dòng)，達(dá)到標(biāo)記的最大位移處開始記時(shí)，當(dāng)?shù)竭_(dá)標(biāo)記好的最大位移的一半處停止計(jì)時(shí)，記錄時(shí)間為t1.重復(fù)三次.

（5）在直線兩側(cè)放上磁鐵，重復(fù)步驟（4），記錄時(shí)間為t2.

（6） 改變擺線的長(zhǎng)度，重復(fù)步驟（4）、（5）.

（7）將記錄數(shù)據(jù)記表2，比較振動(dòng)時(shí)間，得到時(shí)間比t1t2.實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表2.

從表格數(shù)據(jù)可以看出，擺長(zhǎng)較短時(shí)，擺振動(dòng)較快，每次測(cè)量誤差較大.綜合多次測(cè)量結(jié)果可以看出，磁場(chǎng)對(duì)銅線的阻尼可以忽略.而在理論推導(dǎo)中擺100個(gè)周期內(nèi)因電磁阻尼損失的能量近一半，這顯然和實(shí)驗(yàn)不一致.

3.6反思與修正

任何結(jié)論都必須得到實(shí)驗(yàn)的檢驗(yàn)，否則必然是錯(cuò)誤的.本實(shí)驗(yàn)器材雖然粗糙，但是實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和操作十分嚴(yán)謹(jǐn)，偶然誤差肯定有，但不可能和理論相差如此之大.因此，推斷可能是理論分析存在問(wèn)題.經(jīng)過(guò)反思和對(duì)交流電相關(guān)問(wèn)題的學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)關(guān)于“振蕩電流”的功率分析存在問(wèn)題.

3.6.1定性分析

在圖3中，金屬線從B點(diǎn)到O點(diǎn)的過(guò)程中，由于重力做功，金屬線速度增加，從而使金屬線兩端的電動(dòng)勢(shì)增加.下端帶正電，“振蕩電流”方向向下，磁場(chǎng)對(duì)導(dǎo)線的作用力阻礙金屬線運(yùn)動(dòng).從能量角度看，此過(guò)程主要是一部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電場(chǎng)能.為了中學(xué)階段易于理解，這一過(guò)程類似于“發(fā)電機(jī)”原理.而從O點(diǎn)到A點(diǎn)的過(guò)程中，由于重力做負(fù)功，金屬線速度減小，金屬線兩端的電動(dòng)勢(shì)減小.“振蕩電流”方向向上，磁場(chǎng)對(duì)導(dǎo)線的作用力是動(dòng)力.從能量角度看，此過(guò)程主要是電場(chǎng)能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能，這一過(guò)程相當(dāng)于“電動(dòng)機(jī)”原理.反思前文推理過(guò)程，不難看出用純電阻電路計(jì)算公式計(jì)算內(nèi)能是錯(cuò)誤的.

3.6.2理論分析

那么此過(guò)程中“振蕩電流”的電功率又該如何計(jì)算呢？我們得首先回顧一下交流電功率的計(jì)算.

這種情況就是中學(xué)階段熟悉的純電阻電路中的有功功率.

當(dāng)=π2，cos=0，=0，這種情況就是無(wú)功功率，電路中的能量在內(nèi)部相互轉(zhuǎn)化，沒有內(nèi)能產(chǎn)生.一般情況下，電路中由于存在電容和電感，0

文中所建模型，金屬線兩端的電勢(shì)差與上下兩端所積累電荷成正比，設(shè)電壓：u（t）=Emcosωt；由于金屬線的電容、電感極小，則上下兩端的電荷量與兩端電勢(shì)差成正比，設(shè)電量：q（t）=Qmcosωt；金屬線中的電流：

i（t）=dq（t）dt=Imcos（ωt+π2）.

顯然=π2，=0.

當(dāng)然，實(shí)際情況中如果考慮到金屬線有極小的電容和電感，加之交流電的頻率低，雖不等于π2，但是一定非常接近，因而其損失的能量可以忽略.

3.7得出結(jié)論

通過(guò)以上研究我們可以得出這樣的兩個(gè)結(jié)論：一、金屬體在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做周期性運(yùn)動(dòng)時(shí)能產(chǎn)生交變電流.二、勻強(qiáng)磁場(chǎng)中周期性運(yùn)動(dòng)的金屬體因電磁感應(yīng)產(chǎn)生的能量損失極小，可以忽略.

4問(wèn)題啟示

題1和題2的命題指導(dǎo)思想是為了鞏固法拉第電磁感應(yīng)定律.題1中的表述：“金屬線框最終將在磁場(chǎng)內(nèi)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)”，選項(xiàng)的設(shè)置用詞科學(xué)，不容易產(chǎn)生歧義，達(dá)到了命題意圖.題2的表述：“圓環(huán)最終將靜止在平衡位置”，“最終”二字表述欠準(zhǔn)確，這樣即使是極其微弱的能量損耗，最終也會(huì)停止運(yùn)動(dòng)，這也是引起眾多爭(zhēng)議的原因之一.

前人總結(jié)的規(guī)律建立在大量的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)之上，并在生產(chǎn)實(shí)踐經(jīng)過(guò)了無(wú)數(shù)次驗(yàn)證和應(yīng)用.在平時(shí)的教育教學(xué)中可以鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)科學(xué)提出大膽的質(zhì)疑，但必須建立在充分的理論和實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上，不能輕率草事.通過(guò)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中產(chǎn)生的有價(jià)值的實(shí)例探究不僅能鞏固所學(xué)知識(shí)，提高各種能力，更能培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科科學(xué)素養(yǎng).