一種基于余數(shù)周期的PRI精確估計算法

蘇煥程，張　君，程良平，程亦涵，冷　魁

(中國航天科工集團(tuán)8511研究所，江蘇 南京 210007)

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一種基于余數(shù)周期的PRI精確估計算法

蘇煥程，張君，程良平，程亦涵，冷魁

(中國航天科工集團(tuán)8511研究所，江蘇 南京 210007)

針對傳統(tǒng)脈沖重復(fù)間隔(PRI)分選算法在估計PRI方面存在的不足，提出了一種對PRI周期信號的周期進(jìn)行精確估計的算法。該算法首先從待分選脈沖序列中提取出屬于一部雷達(dá)的脈沖樣本，然后利用同余方程的余數(shù)周期性質(zhì)對該雷達(dá)脈沖序列的PRI進(jìn)行精確的估計。相對于傳統(tǒng)的PRI估計算法，該算法有效地消除了TOA量化誤差對PRI估計造成的影響，可以精確地估計出雷達(dá)脈沖序列的準(zhǔn)確PRI數(shù)值，從而能夠更好地滿足信號分選算法的處理需求。理論推導(dǎo)及仿真實驗均表明了該算法的有效性。

信號分選；脈沖重復(fù)間隔；余數(shù)周期；量化誤差

0　引言

傳統(tǒng)的PRI分選算法的處理流程可分為脈沖重復(fù)間隔(PRI)估計和脈沖序列抽取兩部分[1-2]，即先通過PRI估計得到一個可能的雷達(dá)輻射源PRI，再以該可能的PRI為參考對脈沖序列進(jìn)行抽取，從而實現(xiàn)對雷達(dá)輻射源的分選。目前的研究重點基本都集中在對PRI的快速、準(zhǔn)確的估計上，這是由于如果不能準(zhǔn)確地估計出PRI，則后續(xù)的脈沖序列抽取會出現(xiàn)抽取錯誤、抽取不徹底以及脈沖斷裂[3]等問題，最終導(dǎo)致信號分選失敗、或者雷達(dá)輻射源參數(shù)估計不準(zhǔn)。

傳統(tǒng)的PRI估計算法的處理流程可以分為PRI粗估計和PRI精估計兩部分，PRI粗估計是在沒有成功匹配到任何脈沖之前，對原始脈沖序列進(jìn)行首次處理后得到一個可能的PRI，而這個PRI往往與真實PRI之間存在較大偏差，但是可以基本滿足接下來脈沖序列抽取的要求，例如經(jīng)典的統(tǒng)計直方圖法、累積差值直方圖法(CDIF)、序列差值直方圖法(SDIF)、PRI變換法及其改進(jìn)算法等[4]；而PRI精估計則是在PRI粗估計的基礎(chǔ)上再次進(jìn)行的估計，它通常建立在已經(jīng)成功抽取得到的部分脈沖序列的基礎(chǔ)上，故往往可以得到比PRI粗估計更好的精度，例如算術(shù)平均法[5]、最小鄰聚類法、最佳擬合直線法[6]等。但是以上PRI精估計算法都沒有考慮到雷達(dá)截獲系統(tǒng)由于自身TOA量化精度對PRI測量造成的影響，導(dǎo)致估計得到的PRI不能消除量化誤差。該量化誤差在脈沖序列抽取過程中被不斷累積放大，導(dǎo)致出現(xiàn)脈沖抽取錯誤或抽取不徹底的情況。為了解決這一問題，本文提出了一種對PRI周期信號進(jìn)行精確估計的算法。該算法建立在PRI粗估計的基礎(chǔ)上，利用同余方程的余數(shù)周期性質(zhì)，對通過PRI粗估計抽取得到的部分脈沖序列進(jìn)行處理，從而得到精確的PRI估計結(jié)果。與傳統(tǒng)的PRI精估計算法相比，該算法可以有效地消除雷達(dá)截獲系統(tǒng)TOA量化誤差對PRI估計結(jié)果產(chǎn)生的影響，并且可以大幅度減少PRI精估計所需要的算法運算量。本文提出的算法適用于重頻固定、重頻參差以及重頻組變等重復(fù)周期變化相對固定的雷達(dá)輻射源信號。

1　相關(guān)算法

PRI粗估計算法的估計結(jié)果通常偏差較大，需要依靠PRI精估計進(jìn)行再次修正，故本文只對傳統(tǒng)的PRI精估計算法的原理進(jìn)行分析。

假定雷達(dá)截獲系統(tǒng)輸出到內(nèi)部信號分選模塊的脈沖序列的TOA量化精度為Δ(Δ>0)，則對于一部PRI固定為NΔ+Φ(0≤Φ<Δ，N為正整數(shù))的雷達(dá)輻射源信號，信號分選模塊接收到的第i個脈沖(i>0)的TOA可以表示為：

(1)

式中，η是一個常數(shù)，這個值的引入是由于雷達(dá)輻射源TOA起始點的隨機性導(dǎo)致的。

不失一般性，假設(shè)η=0，則T(i)可表示為：

(2)

當(dāng)iΦ滿足MΔ≤iΦ<(M+1)Δ，且(i+1)Φ≥(M+1)Δ時，M為非負(fù)整數(shù)，序號為i的脈沖與序號為i+1的脈沖之間的TOA滿足：

(3)

而當(dāng)iΦ不滿足以上關(guān)系時，則序號為i的脈沖與序號為i+1的脈沖之間的TOA滿足：

(4)

假定不考慮雷達(dá)截獲系統(tǒng)的測量誤差，則完成首次脈沖抽取后，得到的脈沖序列的脈沖間隔為N或N+1，兩者的比例關(guān)系與雷達(dá)截獲系統(tǒng)的量化精度、雷達(dá)輻射源的實際PRI數(shù)值、具體采用的脈沖抽取方式均相關(guān)。為了便于接下來的分析，不妨假設(shè)脈沖間隔N與N+1的比例關(guān)系為L∶K，其中L、K為非負(fù)整數(shù)。

傳統(tǒng)的PRI精估計算法主要包括算術(shù)平均法、最小鄰聚類法以及最佳擬合直線法，下面對以上各個估計算法的估計結(jié)果進(jìn)行分析。

算術(shù)平均法的原理是對脈沖序列抽取得到的脈沖計算相鄰脈沖之間的脈沖間隔，然后對計算得到的脈沖間隔求其均值。根據(jù)以上對脈沖間隔N與N+1的比例關(guān)系的假定，可以得到算術(shù)平均法的PRI精估計的結(jié)果為N+K/(L+K)。

最小鄰聚類法的原理是對脈沖序列抽取得到的脈沖計算相鄰脈沖之間的脈沖間隔，然后對計算得到的脈沖間隔進(jìn)行聚類，找到最大類。對于信號分選模塊，如果類間距離大于1個量化單位，則所有的脈沖間隔將歸屬為同一個類，如果取類中心為類元素的平均值，那么最小鄰聚類法將與算術(shù)平均法等效，得到的PRI精估值結(jié)果同樣為N+K/(L+K)。

最佳擬合直線法的原理是對脈沖序列抽取得到的所有脈沖的TOA進(jìn)行直線擬合，最佳擬合直線就是各個TOA點偏離該直線的偏差所構(gòu)成的總偏差最小的1條直線，并以擬合后的直線兩點之間的間距作為PRI精估值。在目前提出的各個擬合算法中，對最佳擬合的定義并不一致，但擬合后的直線顯然在y=Nx與y=(N+1)x之間，且與L、K的比例關(guān)系相關(guān)，不妨設(shè)擬合后的直線為：y=(N+Ω)x，其中Ω是L、K的函數(shù)，則可以得到最佳擬合直線法的PRI精估值結(jié)果為N+Ω。

通過以上分析，我們得到了在雷達(dá)截獲系統(tǒng)測量誤差較小的條件下，3種傳統(tǒng)的PRI精估計算法的估計結(jié)果為N+K/(L+K)或N+Ω。

根據(jù)雷達(dá)截獲系統(tǒng)模型，雷達(dá)輻射源的實際PRI應(yīng)當(dāng)為N+Φ/Δ。對于算術(shù)平均法和最小鄰聚類法，要準(zhǔn)確地估計出雷達(dá)輻射源的PRI，則必須保證K/(L+K)等于Φ/Δ；而對于最佳擬合直線法，則必須保證Ω等于Φ/Δ。然而在實際信號分選過程中，由于雷達(dá)輻射源的準(zhǔn)確PRI是個未知數(shù)，從而導(dǎo)致Φ也是一個未知數(shù)，故對上述的L和K所要求的比例關(guān)系在算法層面是無法保證的。

綜上所述，傳統(tǒng)的PRI精估計算法得到的PRI估計結(jié)果必然與真實PRI之間存在一個偏差，不妨設(shè)為Φ′。如果信號分選模塊在進(jìn)行脈沖序列抽取時以該PRI數(shù)值為參考進(jìn)行脈沖抽取，且設(shè)置的匹配容差為Γ(Γ<Φ′M)，則當(dāng)脈沖序列中發(fā)生連續(xù)M+1根脈沖丟失時，顯然脈沖抽取將失敗。

2　本文算法

2.1余數(shù)周期

同余方程的余數(shù)周期性是指對于同余方程an≡cn(modb)，(a、b、n為正整數(shù),c為整數(shù)，且a>b,a、b互質(zhì))，0≤cn

如果從數(shù)列的角度來描述上述同余方程的余數(shù)周期性，那么可以建立以下定理。

定理1：對于首項等于公差的等差數(shù)列xn=na(n、a為正整數(shù))，如果各項都對b求模(b為正整數(shù)且與a互質(zhì))，則得到的余數(shù)數(shù)列c1，c2，…，ci，…，(0≤ci

實際上，對于首項不等于公差的等差數(shù)列也具有余數(shù)數(shù)列周期循環(huán)的性質(zhì)，下面證明定理2。

定理2：對于等差數(shù)列xn=d+na(n、a、d為正整數(shù))，如果各項都對b求模(b為正整數(shù)，且與a互質(zhì))，則得到的余數(shù)數(shù)列c1，c2，…，ci，…，(0≤ci

例如，對于等差數(shù)列xn=11+100×n：111，211，…，11+100×n，…，如果該數(shù)列對7進(jìn)行求模，則得到余數(shù)數(shù)列ci為：6，1，3，5，0，2，4，6，1，3，5，0，2，4，…，余數(shù)數(shù)列以6，1，3，5，0，2，4為循環(huán)節(jié)周期循環(huán)，且對于?i，滿足ci=ci+7。

2.2算法原理

在定理2的基礎(chǔ)上，再對雷達(dá)截獲系統(tǒng)輸出到內(nèi)部信號分選模塊的脈沖序列進(jìn)行分析。

在實際的雷達(dá)截獲系統(tǒng)中，由于其內(nèi)部信號檢測模塊的算法處理需要，TOA的量化單位Δ不一定是一個整數(shù)，但通常可表示為分?jǐn)?shù)形式的有理數(shù)，不妨記為p/q，p和q為正數(shù)，則可將(1)式轉(zhuǎn)換為：

(5)

對于內(nèi)部的信號分選模塊，雷達(dá)輻射源信號的準(zhǔn)確PRI應(yīng)當(dāng)是N+Φ/Δ，即N+Φq/p。

既然我們關(guān)心的是如何能精確地估計出雷達(dá)輻射源的實際PRI，則可以構(gòu)造一個偏差函數(shù)：

(6)

式中，Y(n,m)=(T(n+m)-T(n))/m

(7)

顯然Ζ(n,m)的值越小，則表示與雷達(dá)輻射源信號的準(zhǔn)確PRI越接近，其最小值為零。

不妨令m=kp，并代入(6)、(7)式，得：

(8)

(9)

式中，k為任意正整數(shù)。

根據(jù)模運算的性質(zhì)，(5)式可以轉(zhuǎn)換為：

(10)

(11)

將(10)式代入(9)式，可得：

Y(n,kp)=(T(n+kp)-T(n))/p=(λ(n+kp)-λ·(n+kp)modp-λ(n)+λ(n)modp)/(kp2)

(12)

顯然，λ(i)是一個首項為ηq，公差為(Np+Φq)的等差數(shù)列。不妨假定等差數(shù)列λ(i)各項對p求模后得到的余數(shù)數(shù)列為c1，c2，…，則可得λ(n)modp=cn，λ(n+kp)modp=cn+kp。

根據(jù)定理2可知cn=cn+kp，并將(11)式代入(12)式，化簡后可得：

Y(n,kp)=(kp(Np+Φq))/(kp2)=N+Φq/p

(13)

代入(8)式，可得：Ζ(n,kp)=0

(14)

根據(jù)以上分析結(jié)果，可以得出結(jié)論：對于任意整數(shù)n，如果令m=kp，則偏差函數(shù)Ζ(n,m)=0，達(dá)到偏差函數(shù)的最小值。

通過對偏差函數(shù)的構(gòu)造可知，實際上函數(shù)Y(n,m)等價于雷達(dá)輻射源的第n+m根脈沖的TOA減去第n根脈沖的TOA的差值除上m，而偏差函數(shù)表示的是Y(n,m)與真實PRI的近似程度。

根據(jù)以上分析，可以得到一個非常重要的結(jié)論：對于截獲的PRI固定的雷達(dá)輻射源脈沖序列，如果用脈沖個數(shù)間隔為整數(shù)倍量化精度分子的2個脈沖的TOA相減，并除上所間隔的脈沖個數(shù)，得到的值等于雷達(dá)輻射源的PRI數(shù)值。

2.3算法流程

在實際信號分選過程中，由于計算精度有限，導(dǎo)致cn=cn+kp+ξ，其中ξ是與系統(tǒng)計算精度相關(guān)的殘差，將其代入(12)式，化簡后可得：

Y(n,kp)=(ξ+kp(Np+Φq))/(kp2)=N+Φq/p+

ξ/(kp2)

(15)

代入(6)式得：Ζ(n,kp)=ξ/(kp2)

(16)

即得到的PRI數(shù)值與真實值之間存在一個估計殘差ξ/(kp2)，為了使這個估計殘差趨近于零，顯然k值越大越好。

基于以上分析過程，下面給出基于余數(shù)周期的PRI精確估計算法的處理流程：

Step1將雷達(dá)截獲系統(tǒng)輸出到信號分選模塊的脈沖序列的TOA量化精度表示為分?jǐn)?shù)形式p/q；

Step2通過PRI粗估計結(jié)果，在脈沖序列中選擇2個脈沖間隔等于PRI粗估計結(jié)果的脈沖(在容差范圍內(nèi))，并標(biāo)記為序號1和2，以這兩個脈沖為基準(zhǔn)進(jìn)行脈沖匹配，并記錄所有匹配成功的脈沖序號；

Step3如果匹配失敗，則以2倍的PRI粗估計結(jié)果進(jìn)行匹配，如果匹配成功則以上次匹配成功的脈沖序號加2作為本次匹配成功的脈沖序號，同理進(jìn)行N倍的PRI粗估計結(jié)果匹配(N可設(shè)置)；

Step4檢測匹配成功的脈沖序列，找到脈沖間隔數(shù)最大且是整數(shù)倍p的2個脈沖，將2個脈沖的TOA之差除脈沖間隔，將相除結(jié)果作為新的PRI估計結(jié)果進(jìn)行匹配，并不斷重復(fù)Step4直到匹配結(jié)束；

Step5以最后一次得到的PRI估計結(jié)果作為雷達(dá)輻射源信號的PRI精確估計結(jié)果。

3　仿真結(jié)果

3.1算法有效性分析

下面對本文提出算法的有效性進(jìn)行仿真驗證。

仿真信號源為一部PRI固定為1999μs的雷達(dá)輻射源信號，雷達(dá)截獲系統(tǒng)的TOA量化精度為11μs，不考慮系統(tǒng)的測量誤差。

不防假定雷達(dá)截獲系統(tǒng)截獲的首脈沖的TOA為341854μs，則后續(xù)截獲的脈沖序列的TOA分別為343853μs，345852μs，… ，(341854 + 1999×i)μs，經(jīng)過雷達(dá)截獲系統(tǒng)量化后輸出到信號分選模塊的脈沖序列的TOA分別為31077，31259，31441，31622，31804，… ，341845+1999×i。

根據(jù)本文提出的算法的原理，構(gòu)造一個新的偏差函數(shù)Y(i)：

Y(i)=|X(i)-1999/11|

(17)

式中，X(i)=(T(i)-341854)/(i-1)，表示的是截獲的脈沖序列第i根脈沖的TOA減去首脈沖TOA的差值再除上間隔脈沖個數(shù)。

顯然，Y(i)的數(shù)值越小，則表示X(i)與射源的真實PRI越接近，得到Y(jié)(i)函數(shù)如圖1所示。

如圖1所示，Y(i)是一個非單調(diào)函數(shù)，但是可以發(fā)現(xiàn)在所有i等于12，23，34，… 的點上，即滿足與首脈沖序號之差等于整數(shù)倍量化精度11的點上，函數(shù)Y(i)的值均等于零，即函數(shù)X(i)完全等價于雷達(dá)輻射源的真實PRI。

從仿真結(jié)果可以看出，本文提出的通過間隔整數(shù)倍量化精度分子數(shù)值的2個脈沖估算雷達(dá)輻射源精確的PRI的算法是有效可行的。

圖1　PRI偏差函數(shù)圖

3.2算法性能比較

下面將本文提出的算法與傳統(tǒng)的算術(shù)平均法、最小鄰聚類法以及最佳擬合直線法三種PRI精確估計算法的性能進(jìn)行對比，如表1所示。

仿真信號源為1000部PRI固定、參差或組變的雷達(dá)輻射源信號，PRI在50μs～50ms之間隨機，首脈沖到達(dá)時間在0～10μs之間隨機，信號的持續(xù)時間為10s，雷達(dá)截獲系統(tǒng)的TOA量化精度在1～10μs之間隨機。

表1　四種估計算法性能比較

從表1的仿真結(jié)果可以看出，本文所提出的基于余數(shù)周期的PRI精估計算法的PRI估計偏差為0且運算量只有幾十個指令周期，性能明顯優(yōu)于其他3 種傳統(tǒng)的PRI精估計算法。

4　結(jié)束語

本文提出了一種基于余數(shù)周期的PRI精確估計算法，該算法能夠克服傳統(tǒng)PRI估計算法的不足，有效地消除雷達(dá)截獲系統(tǒng)的TOA量化誤差，精確地估計出雷達(dá)輻射源的真實PRI，同時可以大幅度地減少算法所需的運算量。但是，該算法也具有自身的局限性，即算法要求雷達(dá)截獲系統(tǒng)截獲的脈沖序列中至少要有2個脈沖滿足其序號之差等于整數(shù)倍的量化精度分子值。■

[1]楊文華,高梅國.基于PRI的雷達(dá)脈沖序列分選方法[J].現(xiàn)代雷達(dá),2005,27(3):50-59.[2]關(guān)一夫,張國毅,劉志鵬.一種基于脈沖樣本序列的PRI周期信號分選算法[J].電訊技術(shù),2014,54(7):915-920.

[3]何艾玲,陶榮輝,蔡英武,等.基于截距分析的改進(jìn)雷達(dá)信號分選算法[J].信息與電子工程,2012,10(1):88-92.

[4]欒超.雷達(dá)信號分選關(guān)鍵技術(shù)研究[D].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué), 2012.

[5]曹陽.基于PRI 的高密度脈沖信號分選算法研究[D].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué),2008.

[6]朱紅亮.脈沖重頻分選算法的研究[D].西安：西安電子科技大學(xué), 2010.

[7]孫梁.余數(shù)周期表和輾轉(zhuǎn)相除法[J].凱里學(xué)院學(xué)報,2008,26(3):125-128.

An accurate estimation algorithm for PRI based on remainder of the cycle

Su Huancheng, Zhang Jun, Cheng Liangping, Cheng Yihan, Leng Kui

(No.8511 Research Institute of CASIC, Nanjing 210007, Jiangsu, China)

For the defects in estimating pulse repetition interval(PRI) of traditional PRI de-interleaving algorithms, a new algorithm of estimating the period of PRI periodic signals is put forward. The algorithm firstly extracts the pulse sample sequence of certain radar from the raw pulse sequence, and then executes precise period estimation process based on the remainder of the cycle. Compared with the traditional PRI estimating algorithms, this algorithm accurately estimates the PRI with TOA quantization error removing, which satisfies the requirement of the de-interleaving process. Both theoretical derivation and simulation results verify the validity of the proposed algorithm.

signal sorting; PRI; remainder of the cycle; quantization error

2016-03-18；2016-05-17修回。

蘇煥程(1983-)，男，高工，主要研究方向為電子對抗信息處理。

TN971+.1

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