被測(cè)件隨機(jī)移相干涉面形測(cè)量方法

趙維謙，李文宇，趙　齊，邱麗榮，王　允

(北京理工大學(xué) 光電學(xué)院，北京100081)

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被測(cè)件隨機(jī)移相干涉面形測(cè)量方法

趙維謙，李文宇，趙齊，邱麗榮，王允*

(北京理工大學(xué) 光電學(xué)院，北京100081)

針對(duì)光學(xué)元件的面形測(cè)量，提出了一種被測(cè)件隨機(jī)移相干涉面形測(cè)量法，用于降低移相干涉儀的成本，避免移相器老化產(chǎn)生的移相誤差對(duì)面形檢測(cè)精度的影響。該方法利用微位移驅(qū)動(dòng)器驅(qū)動(dòng)被測(cè)件在摩擦氣浮復(fù)合導(dǎo)軌上移動(dòng)進(jìn)行隨機(jī)移相并用相機(jī)采集若干幅干涉圖；然后利用最小二乘迭代算法處理干涉圖數(shù)據(jù)進(jìn)而迭代出被測(cè)表面相位分布；最后進(jìn)行一系列數(shù)據(jù)處理求解出被測(cè)件的面形結(jié)果。為了驗(yàn)證該方法的可行性，在實(shí)驗(yàn)室搭建了改進(jìn)的斐索移相干涉系統(tǒng)，并選用一個(gè)凹面鏡和一個(gè)平面鏡作為被測(cè)件在搭建的系統(tǒng)上進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)測(cè)試，同時(shí)與同臺(tái)儀器上的傳統(tǒng)移相方法得到的測(cè)量結(jié)果進(jìn)行了比對(duì)。結(jié)果表明：在激光光源波長(zhǎng)λ為632.8 nm的情況下，凹球面鏡面形PV值和RMS值與傳統(tǒng)移相方式測(cè)量結(jié)果相差0.001λ，和0.002λ；平面鏡面形PV值和RMS值與傳統(tǒng)移相方式的測(cè)量結(jié)果相差0.002λ和0.003λ，面形數(shù)據(jù)基本一致。該方法避免了移相器老化引入移相誤差，降低了儀器成本，測(cè)量精度高。

干涉測(cè)量；面形測(cè)量；被測(cè)件；移相器；隨機(jī)移相；最小二乘迭代

1　引　言

在光學(xué)元件檢測(cè)領(lǐng)域，光學(xué)元件表面形貌檢測(cè)占有重要地位，目前主要利用光學(xué)干涉測(cè)量技術(shù)進(jìn)行表面形貌檢測(cè)。傳統(tǒng)的光學(xué)干涉測(cè)量方法主要通過直接判讀干涉條紋來測(cè)量被測(cè)面形，精度低、誤差大。20世紀(jì)80年代，Bruning等人提出移相干涉技術(shù)，開啟了光學(xué)測(cè)量領(lǐng)域的新時(shí)代[1]。隨著激光技術(shù)、圖像處理技術(shù)、光電探測(cè)、電子技術(shù)與計(jì)算機(jī)技術(shù)在光干涉計(jì)量測(cè)試領(lǐng)域的應(yīng)用，移相干涉技術(shù)得到了飛速發(fā)展。由于具有高精度和高靈敏度等特點(diǎn)，該技術(shù)已成為光學(xué)元件面形檢測(cè)領(lǐng)域最有效、最準(zhǔn)確的手段之一[2-6]。移相干涉術(shù)的基本原理是在干涉儀的參考光和被測(cè)光之間引入一定的相移量，這時(shí)干涉條紋也會(huì)發(fā)生相對(duì)的移動(dòng)。通過連續(xù)引入相移量，利用相機(jī)采集多幅對(duì)應(yīng)相移量的干涉圖，最后應(yīng)用計(jì)算機(jī)技術(shù)按照一定的算法求得面形結(jié)果。根據(jù)移相干涉技術(shù)的基本原理，移相方式主要分為波長(zhǎng)移相和移相器移相兩大類[7-9]。其中，波長(zhǎng)移相是指干涉系統(tǒng)中的激光光源波長(zhǎng)可以連續(xù)變化，起到移相器的作用，簡(jiǎn)化了干涉系統(tǒng)的機(jī)械結(jié)構(gòu)；移相器移相主要是推動(dòng)參考鏡移相的機(jī)械移相方式，可以較為準(zhǔn)確地控制移相量，因此其應(yīng)用更加廣泛。目前，世界很多公司具備生產(chǎn)移相干涉儀的能力，其中最著名的便是美國(guó)的zygo公司，其生產(chǎn)的移相干涉儀已然成為行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)。

移相器雖然移相精度較高，但是價(jià)格昂貴，并且一旦儀器老化會(huì)引入極大的移相誤差[10]，嚴(yán)重影響面形檢測(cè)精度。基于此，本文提出了一種被測(cè)件隨機(jī)移相干涉面形測(cè)量方法。該方法省去了昂貴的移相器，簡(jiǎn)化了移相結(jié)構(gòu)，不再是參考鏡移相，而是利用微位移驅(qū)動(dòng)器驅(qū)動(dòng)被測(cè)件在摩擦式氣浮導(dǎo)軌上隨機(jī)移相；然后利用最小二乘迭代算法迭代出原始相位分布，再經(jīng)過一系列數(shù)據(jù)處理進(jìn)而求解出被測(cè)件的面形結(jié)果[11-13]。為了驗(yàn)證該方法的可行性，改造了實(shí)驗(yàn)室搭建的斐索移相干涉系統(tǒng)，增加了微位移驅(qū)動(dòng)器及控制器，編寫了最小二乘迭代算法，并與同臺(tái)儀器上五步移相法的測(cè)量結(jié)果進(jìn)行比對(duì)，兩個(gè)測(cè)量結(jié)果一致，從而證明方法可行。

2　被測(cè)件隨機(jī)移相干涉系統(tǒng)及算法

2.1系統(tǒng)原理

本文以測(cè)量凹球面面形為例，構(gòu)建了如圖1所示的被測(cè)件隨機(jī)移相干涉面形測(cè)量系統(tǒng)，該系統(tǒng)基于已有的斐索移相干涉儀，在硬件方面增加了驅(qū)動(dòng)控制模塊，在軟件方面增加了最小二乘迭代算法模塊。被測(cè)件隨機(jī)移相干涉測(cè)量系統(tǒng)的光路走向?yàn)椋簻?zhǔn)直透鏡將點(diǎn)光源出射的光準(zhǔn)直成平行光后照射在參考物鏡上，由參考物鏡會(huì)聚成測(cè)量光束照射在被測(cè)透鏡表面。參考物鏡的最后一個(gè)表面為參考面，參考鏡處的箭頭表示一路光在參考鏡處原路返回，被測(cè)鏡處的箭頭表示透射光在被測(cè)鏡面處原路返回。由參考面反射回來的光束和由被測(cè)球面表面反射回來的光束沿原光路返回后形成干涉條紋。本文通過微位移驅(qū)動(dòng)模塊推動(dòng)被測(cè)件在導(dǎo)軌上移相來改變參考波面和被測(cè)波面之間的相對(duì)相位差。在移相過程中，相機(jī)采集若干(大于等于3幅)幅干涉條紋圖，然后通過最小二乘迭代算法處理干涉條紋圖像得到波前相位分布，因?yàn)樯婕暗椒凑泻瘮?shù)，相位被包裹在[-π，π]，因此還需要對(duì)迭代出的相位分布進(jìn)行解包裹和波面擬合等[14-17]。

圖1　被測(cè)件隨機(jī)移相干涉系統(tǒng)原理

Fig.1Principle of measured element randomly phase shifting interferometry system

2.2最小二乘迭代算法

由于本系統(tǒng)采用隨機(jī)移相方式，傳統(tǒng)的移相算法不再適用，所以本文利用最小二乘迭代算法來重構(gòu)原始相位分布。

2.2.1根據(jù)已知的移相量求解相位分布

根據(jù)經(jīng)典的雙光束干涉理論，空間某點(diǎn)(x，y) 干涉場(chǎng)的光強(qiáng)分布為：

aj+bjcosδi+cjsinδi.

(1)

式中：i=1，2，…，N(N≥3)表示采集干涉圖的幀序號(hào)，j=1，2…，M表示一幀干涉圖里像素的序號(hào)，t表示理論光強(qiáng)。并且式(1)中有：

aj=Ai，j，

bj=Bi，jcosφj，

cj=-Bi，jsinφj，

(2)

其中：Ai，j是該像素光強(qiáng)的直流分量，也稱為背景光；Bi，j是該像素的調(diào)制度；φj是該像素對(duì)應(yīng)的被測(cè)相位；δi是第i幀干涉圖對(duì)應(yīng)的移相值。假定對(duì)于任意一個(gè)像素點(diǎn)，各幀干涉圖在此像素的背景光強(qiáng)和調(diào)制度是一致的，由最小二乘法原理，理論光強(qiáng)與實(shí)際光強(qiáng)的最小值為：

(3)

根據(jù)最小二乘法則，若要使min取得最小值，式(3)代入移相值后求導(dǎo)得零，可以求解出干涉圖中每一點(diǎn)的bj和cj，進(jìn)而推導(dǎo)出N步移相法求解波面相位的一般式：

(4)

2.2.2根據(jù)已知的相位分布求解移相量

利用式(4)得到的相位分布，可以從相反的過程來求解各幀干涉圖對(duì)應(yīng)的移相量。依然假定對(duì)于任意一個(gè)像素點(diǎn)，各幀干涉圖在此像素的背景光強(qiáng)和調(diào)制度是一致的，不發(fā)生變化。由雙光束干涉理論有：

ai+bicosφj+cisinφj，

(5)

式中：

ai=Ai，j，

bi=Bi，jcosδi，

ci=-Bi，jsinδi.

(6)

和式(1)類似，得出第i幀干涉圖中各點(diǎn)的理論光強(qiáng)與實(shí)際光強(qiáng)的最小二乘差值：

(7)

根據(jù)最小二乘法則，對(duì)式(7)求導(dǎo)使其得零并代入相位值，計(jì)算可求得bi和ci，進(jìn)而得到第i幀干涉圖對(duì)應(yīng)的移相值為：

(8)

2.2.3開始迭代并設(shè)定收斂條件

首先設(shè)定一個(gè)初始移相值，代入式(1)求得相位分布；然后將式(1)中求得的相位代入式(2)中可以求得各幀干涉圖對(duì)應(yīng)的移相值；最后判斷迭代是否滿足收斂條件。如果不滿足，則將本次迭代得到的移相值繼續(xù)代入式(1)中，進(jìn)行下一次迭代，直到滿足條件為止。其中，收斂條件用來判斷各幀干涉圖間的移相值是否達(dá)到了精度要求，表達(dá)式為：

(9)

式中：k是迭代次數(shù)，ε是收斂閾值。按照上面的迭代可以精確求解出原始相位分布和移相量。

用上述迭代求解方法，可以求得精準(zhǔn)的相位分布，但由于相位求解時(shí)涉及到反正切函數(shù)，所以求得的相位包裹在-π～π，因此還需要進(jìn)行包裹相位解包裹和波面擬合等步驟，即可得到面形結(jié)果。

2.3系統(tǒng)裝置

如圖2所示，本系統(tǒng)主要包括干涉測(cè)量主機(jī)、裝載被測(cè)件的五維調(diào)整架、摩擦氣浮復(fù)合導(dǎo)軌、導(dǎo)軌移相驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)以及參考鏡和被測(cè)件。測(cè)量時(shí)激光波長(zhǎng)λ=632.8 nm。圖2中的被測(cè)件隨機(jī)移相主要涉及兩個(gè)關(guān)鍵部分。第一部分是在斐索移相干涉系統(tǒng)的基礎(chǔ)上增加了圖2右邊的移相驅(qū)動(dòng)模塊，該移相驅(qū)動(dòng)模塊主要包括壓電陶瓷微位移驅(qū)動(dòng)器和控制器，驅(qū)動(dòng)器運(yùn)行平穩(wěn)，產(chǎn)生的機(jī)械振動(dòng)很小，滿足移相使用要求，并且其運(yùn)行過程中可以產(chǎn)生22 N的推力，滿足移相驅(qū)動(dòng)需求。如圖2所示，壓電陶瓷微位移驅(qū)動(dòng)器頂在氣浮導(dǎo)套的中間。移相時(shí)，微位移驅(qū)動(dòng)器推動(dòng)導(dǎo)套移動(dòng)，進(jìn)而完成被測(cè)件移相。由于總移動(dòng)量控制在一個(gè)波長(zhǎng)以內(nèi)，因此在球面面形測(cè)量時(shí)產(chǎn)生的離焦對(duì)面形的影響極小，可忽略不計(jì)[18]。第二部分是摩擦氣浮復(fù)合導(dǎo)軌部分，摩擦氣浮復(fù)合導(dǎo)軌的精度非常高，保證了移相的直線度和穩(wěn)定性。

圖2　被測(cè)件隨機(jī)移相干涉系統(tǒng)

Fig.2Photo of measured element randomly phase shifting interferometry system

3　實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證該方法的可行性，分別選取了凹球面鏡被測(cè)件和平面鏡被測(cè)件在同臺(tái)儀器上用被測(cè)鏡隨機(jī)移相方法和傳統(tǒng)五步移相法進(jìn)行測(cè)量比對(duì)實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)平臺(tái)為光學(xué)隔振平臺(tái)。

3.1凹球面鏡面形測(cè)量結(jié)果

在圖2所示的測(cè)量系統(tǒng)中，使用zygo標(biāo)準(zhǔn)物鏡作為系統(tǒng)參考物鏡，焦距f=150 mm，表面面形精度可達(dá)λ/20。圖3的凹球面鏡是實(shí)驗(yàn)被測(cè)件， 其曲率半徑r=25 mm。

實(shí)驗(yàn)時(shí)，控制驅(qū)動(dòng)器推動(dòng)被測(cè)件移相，同時(shí)相機(jī)采集若干幅干涉圖。接著將采集到的干涉圖代入最小二乘迭代算法中，迭代出包裹相位分布。然后進(jìn)行解包裹和波面擬合等數(shù)據(jù)處理，最后求得被測(cè)件的面形結(jié)果。這里的面形測(cè)量結(jié)果都是相對(duì)于參考面的想對(duì)面形。

圖3　凹球面鏡

圖4是實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果，從測(cè)量結(jié)果可以看出，兩種移相方法測(cè)得的面形結(jié)果PV值僅相差0.001λ，RMS值僅相差0.002λ，面形結(jié)果非常接近，證明方法可行。

(a)隨機(jī)移相

(b)傳統(tǒng)五步移相

3.2平面鏡面形測(cè)量結(jié)果

在圖2所示的測(cè)量系統(tǒng)中，使用zygo公司提供的標(biāo)準(zhǔn)平面鏡作為系統(tǒng)參考鏡，其表面面形精度可達(dá)λ/20，圖5的平面鏡是實(shí)驗(yàn)被測(cè)件。

圖5　平面鏡

(a)隨機(jī)移相

(b)傳統(tǒng)五步移相

圖6為平面鏡面形測(cè)量結(jié)果，由結(jié)果可以看出，兩種移相方法測(cè)得的面形結(jié)果PV值僅相差0.002λ，RMS值僅相差0.003λ，面形結(jié)果基本一致，證明方法可行。

對(duì)比上述兩個(gè)不同被測(cè)件的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，本文的被測(cè)件隨機(jī)移相測(cè)量方法的面形結(jié)果與同臺(tái)儀器上的五步移相法的測(cè)量結(jié)果基本一致，由此驗(yàn)證了本方法的可行性。

4　結(jié)　論

本文提出了一種被測(cè)件隨機(jī)移相干涉面形測(cè)量方法，省去了移相器，避免了移相器老化帶來的移相誤差并且降低了成本。利用微位移驅(qū)動(dòng)器推動(dòng)氣浮導(dǎo)套在摩擦氣浮復(fù)合導(dǎo)軌上進(jìn)行移動(dòng)，完成被測(cè)件移相并采集若干幅干涉圖，然后通過最小二乘迭代算法迭代出被測(cè)表面的包裹相位分布，再經(jīng)過一系列數(shù)據(jù)處理解算出面形結(jié)果。為了驗(yàn)證該方法的可行性，在同一儀器上與傳統(tǒng)五步移相方法進(jìn)行比對(duì)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：對(duì)于凹球面鏡，該方法與同臺(tái)儀器的五步移相方法相比，PV值僅相差0.001λ，RMS值僅相差0.002λ；對(duì)于平面鏡，該方法與同臺(tái)儀器的五步移相方法相比，PV值僅相差0.002λ，RMS值僅相差0.003λ，由此證明了方法的可行性。不過，本文方法仍有待進(jìn)一步的研究，比如導(dǎo)軌在移相過程中的影響分析、誤差分析等。

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王允(1984-)，男，山東威海人，博士，講師，碩士生導(dǎo)師，2013年于北京理工大學(xué)獲得博士學(xué)位，主要從事精密光電測(cè)試技術(shù)與儀器裝備方面的原理方法、關(guān)鍵技術(shù)以及儀器裝備系統(tǒng)集成技術(shù)的研究及應(yīng)用。E-mail：alotrabbits @163.com

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Surface measurement by randomly phase shifting interferometry of measured element

ZHAO Wei-qian， LI Wen-yu， ZHAO Qi， QIU Li-rong， WANG Yun*

(SchoolofOptoelectronics，BeijingInstituteofTechnology，Beijing100081，China)*Correspondingauthor，E-mail：alotrabbits@163.com

For the surface measurement of optical elements， a surface measurement method by the randomly phase shifting interferometry of measured element was proposed to reduce the cost of phase shifting interferometer and to avoid phase-shifting error caused by an aged phase shifter. A micro-displacement driver was used to drive a measured element to move on a friction type air-bearing slider to implement the random phase shift， meanwhile， several interfere grams were collected by a camera. Then， the interferograms were processed by least-square iteration algorithm and the phase distribution of the measured element surface was iterated. Finally， the surface measurement result was calculated by a series of data processing and the surfaces of measured elements were obtained. To verify the feasibility of the proposed method， a Fazi phase shift interferometer was improved and a concave spherical mirror and a plane mirror were used as measured elements to perform the comparative experiment between the article’s method with the traditional phase shifting method on the same instrument. Experimental results indicate that when the laser wavelengthλis 632.8 nm， the PV difference and the RMS difference between the two results are only 0.001λand 0.002λ， respectively for the concave spherical mirror. Moreover， those between the two results are only 0.002λ， and 0.03λ，respectively for the plane mirror. These surface data are basically consistent. Experimental results show that the measurement method avoids the phase-shifting error caused by the aged phase shifter， and it has high accuracy and low cost.

interferometry; surface measurement; measured element; phase shifter; randomly phase shifting; least-square iteration

2016-05-05；

2016-06-14.

國(guó)家重大科學(xué)儀器設(shè)備開發(fā)專項(xiàng)資助項(xiàng)目(No.61327010)；國(guó)家自然科學(xué)基金青年基金資助項(xiàng)目(No.51405020)

1004-924X(2016)09-2167-06

TH741.3

A

10.3788/OPE.20162409.2167

趙維謙(1966-)，男，新疆伊寧人，教授，博士生導(dǎo)師，1993年，2003年于哈爾濱工業(yè)大學(xué)分別獲得碩士、博士學(xué)位，主要從事光學(xué)測(cè)量領(lǐng)域的研究。E-mail：zwq669@126.com