方位俯仰跟蹤框架下的角偏差無奇點(diǎn)修正方法

陳嘉鴻，向頡，王二建

（中國衛(wèi)星海上測控部飛行器海上測量與控制聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室，江蘇江陰214431）

方位俯仰跟蹤框架下的角偏差無奇點(diǎn)修正方法

陳嘉鴻，向頡，王二建

（中國衛(wèi)星海上測控部飛行器海上測量與控制聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室，江蘇江陰214431）

分析回顧了雷達(dá)工程中，當(dāng)前通用的方位俯仰極坐標(biāo)框架下，無線電雷達(dá)跟蹤測量系統(tǒng)角偏差正割補(bǔ)償修正方法的由來及其局限性；提出了跟蹤指向坐標(biāo)系的定義。利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換原理給出了一種簡便易行的偏差無奇點(diǎn)精確修正推導(dǎo)新方法，并證明了新方法與通用的基于立體幾何推理方法的等價(jià)性，同時(shí)分析了新方法在雷達(dá)軸系偏差修正中的典型應(yīng)用及其對系統(tǒng)跟蹤測量精度的影響。對于89°仰角、方位俯仰角偏差均為3 mrad的情形，正割補(bǔ)償修正法指向計(jì)算存在6 759.2"的方位角誤差和63.5"的俯仰誤差。新的推理方法有利于極坐標(biāo)框架下的空間目標(biāo)高精度跟蹤與測量，尤其是高仰角過頂跟蹤性能、指向精度和跟蹤數(shù)據(jù)利用率的提高。

雷達(dá)工程；跟蹤測量；極坐標(biāo)框架；偏差修正；正割補(bǔ)償

0　引言

在空間飛行器測量技術(shù)領(lǐng)域，目標(biāo)跟蹤與定位是重要的任務(wù)之一。角度測量和修正的精度直接影響目標(biāo)跟蹤與定位的精度。

方位-俯仰型角度跟蹤測量系統(tǒng)一般是指利用方位軸和俯仰軸組合調(diào)整，使無線電雷達(dá)電軸或光學(xué)系統(tǒng)的光軸指向目標(biāo)，從而實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)跟蹤測量的系統(tǒng)。由于方位-俯仰型天線座結(jié)構(gòu)緊湊、旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)少、剛度強(qiáng)，伺服控制系統(tǒng)容易實(shí)現(xiàn)，其原理簡單、實(shí)施方便，被工程及學(xué)術(shù)界普遍應(yīng)用［1-8］。但其工程應(yīng)用中常用的角偏差修正正割補(bǔ)償算法奇異性問題也很明顯，主要表現(xiàn)為在俯仰角接近90°時(shí)，會出現(xiàn)無窮大的修正量，導(dǎo)致角度測量誤差急速變大；工程應(yīng)用中高仰角（一般超過75°時(shí)）測量值經(jīng)常被舍棄，難以有效利用；目標(biāo)過頂跟蹤時(shí)的盲區(qū)問題在正割補(bǔ)償框架下俯仰角接近90°時(shí)惡化嚴(yán)重，且難以克服［9-14］；同時(shí)，其基于立體幾何的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程較復(fù)雜［1-8］。

從查閱到的文獻(xiàn)看，較早角度偏差修正的研究大都通過幾何推理獲得近似的正割補(bǔ)償修正方法［5-8］，多年來已形成了成熟的應(yīng)用，Samuel等［1］、劉利生［2］、鐘德安［3］、李淼等［4］將之作為經(jīng)典方法不僅應(yīng)用于動(dòng)態(tài)跟蹤過程中的偏差修正，也應(yīng)用于測量設(shè)備軸系偏差的修正。較近的與此相關(guān)的研究主要是基于該正割補(bǔ)償法對應(yīng)用系統(tǒng)進(jìn)行改進(jìn)，其中文獻(xiàn)［9-14］主要集中于設(shè)備跟蹤過頂問題的研究，文獻(xiàn)［15-16］主要針對系統(tǒng)跟蹤問題重點(diǎn)開展了跟蹤穩(wěn)定性研究，文獻(xiàn)［17-19］側(cè)重于對角誤差估計(jì)方法和模型的研究。

文獻(xiàn)［20］在研究測量精度問題中，基于坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，提出了光學(xué)與無線電雷達(dá)捷聯(lián)測量新方法。為了提高方位-俯仰型角度跟蹤測量系統(tǒng)特別是大型空間目標(biāo)測量雷達(dá)和光學(xué)望遠(yuǎn)鏡的高仰角測量精度和數(shù)據(jù)利用率，本文重點(diǎn)針對當(dāng)前通用的偏差正割補(bǔ)償修正方法的奇異性問題開展研究，基于指向坐標(biāo)系的定義，從坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的角度給出一種嚴(yán)格、簡潔的修正方法，并從理論上證明了其精確性和準(zhǔn)確性，便于工程應(yīng)用中的偏差修正和高仰角跟蹤能力的提高。

1　正割補(bǔ)償修正方法分析

一般的光學(xué)測量系統(tǒng)偏差稱為脫靶量，無線電雷達(dá)測量系統(tǒng)偏差稱為動(dòng)態(tài)滯后。眾多文獻(xiàn)［1-8］對光學(xué)測量系統(tǒng)的軸系偏差修正給出了很詳細(xì)的推理和分析，無線電雷達(dá)測量系統(tǒng)偏差修正則是直接對簡化公式的應(yīng)用。

1.1光學(xué)脫靶量修正

以光學(xué)經(jīng)緯儀測量系統(tǒng)為例，脫靶量ΔA、ΔE，反映在像面（攝像機(jī)靶面）上就是偏離視場中心的距離ΔX、ΔY，根據(jù)立體幾何原理，有如下關(guān)系（具體推導(dǎo)過程參見文獻(xiàn)［2-3］）:

式中:f為經(jīng)緯儀焦距；A、E分別為光軸指向的方位角和俯仰角。

考慮ΔA、ΔE值很小，經(jīng)泰勒展開忽略高階項(xiàng)可得

工程應(yīng)用中常用（3）式，其實(shí)質(zhì)是一個(gè)近似表達(dá)式。

1.2雷達(dá)動(dòng)態(tài)滯后修正

由于雷達(dá)跟蹤的基本原理是偏差跟蹤，即驅(qū)動(dòng)天線使目標(biāo)像點(diǎn)（或信號中心）趨近雷達(dá)中心；同時(shí)由于噪聲的影響，以及無線電雷達(dá)天線伺服系統(tǒng)速度、加速度有限，實(shí)際跟蹤過程中總是存在目標(biāo)像點(diǎn)與雷達(dá)中心的偏差，傳統(tǒng)上稱之為動(dòng)態(tài)滯后。計(jì)算目標(biāo)的實(shí)際指向時(shí)一般都需要對此動(dòng)態(tài)滯后量進(jìn)行修正。

一般的雷達(dá)動(dòng)態(tài)滯后直接測量值是方位俯仰誤差電壓ΔUA、ΔUE，記其定向靈敏度分別為KA、KE，根據(jù)誤差角定義為

對比（3）式，其中，tan（ΔAD）與ΔX/f，tan（ΔED）與ΔY/f各自等價(jià)。由于ΔAD、ΔED為接近0的小量，大多數(shù)文獻(xiàn)均直接給出或應(yīng)用雷達(dá)角偏差的正割補(bǔ)償計(jì)算方法為

（5）式的物理意義本質(zhì)上與（3）式一致，也是一個(gè)近似表達(dá)。

1.3軸系偏差修正

無線電設(shè)備軸系偏差較為復(fù)雜，包括大盤不水平（方位軸不垂直于基準(zhǔn)平面）、兩軸不正交（俯仰軸不垂直于方位軸）、電軸不垂直（即電軸不垂直于俯仰軸）等。如果無線電雷達(dá)設(shè)備借助光學(xué)設(shè)備進(jìn)行標(biāo)定，則還包括光機(jī)偏差Sb（光軸不垂直于俯仰軸）、光電偏差（電軸不平行于光軸），二者綜合起來等效于電軸不垂直于俯仰軸。其中電軸不垂直與光機(jī)偏差的物理意義一致，本文以此為例進(jìn)行分析說明。

依據(jù)文獻(xiàn)［2-3］，電軸/光軸不垂直或光機(jī)偏差只引起方位角誤差ΔAb.如圖1所示，當(dāng)仰角E抬高時(shí)電軸本應(yīng)沿大圓弧QO移動(dòng)。因?yàn)橛须娸S不垂直角Sb，電軸卻沿Q′O′移動(dòng)，在仰角為E時(shí)電軸指向S′，產(chǎn)生橫向角誤差SS′（即Sb，對應(yīng)大圓弧SS′），投影至方位轉(zhuǎn)盤（類似于赤道面）上為QQ"，即對應(yīng)方位角誤差為

圖1　光機(jī)偏差引起的方位誤差Fig.1 Azimuth error caused by offset between optical axis and mechanical axis

上述分析成立的前提是當(dāng)且僅當(dāng)大圓弧SS′與仰角E上半徑為R cos E的小圓弧SS′弧長相等時(shí)才成立（類似于緯度圈），其中R為球半徑。事實(shí)上這二者是不可能相等的。因此（6）式也是一個(gè)近似表達(dá)。

1.4極限狀態(tài)分析

從（3）式、（5）式以及（6）式可以看出，無論跟蹤誤差或光電偏差多么小，在仰角E趨近90°的過程中，方位角修正量ΔA均會超過180°趨向無窮大，從而出現(xiàn)奇異性問題。此時(shí)修正值的物理意義不再明確。因?yàn)樵谘鼋勤吔?0°的過程中，從實(shí)際天線連續(xù)旋轉(zhuǎn)的意義上分析，方位角極限修正量不會超過180°，且為仰角E的連續(xù)單調(diào)量，無窮大的修正量是無意義的。

由于實(shí)際工程應(yīng)用中跟蹤偏差和軸系誤差始終存在，正割補(bǔ)償修正方法在高仰角時(shí)將會導(dǎo)致計(jì)算的修正量與真值修正量差異較大，嚴(yán)重時(shí)計(jì)算的修正量不可用；基于同樣的原因，高仰角跟蹤也會出現(xiàn)計(jì)算的修正量遠(yuǎn)大于實(shí)際需要的角度調(diào)整量，從而導(dǎo)致天線不必要的轉(zhuǎn)動(dòng)，已有的跟蹤性能不能得到充分利用。

2　偏差無奇點(diǎn)修正方法

當(dāng)前通用的光學(xué)或無線電雷達(dá)跟蹤測量主要基于地平坐標(biāo)系和設(shè)備測量坐標(biāo)系，如果需要計(jì)算慣性空間的位置，則還需要用到慣性坐標(biāo)系。雖然光學(xué)設(shè)備與無線電雷達(dá)設(shè)備誤差跟蹤原理和修正方法是一致的，但雷達(dá)測量誤差修正不如光學(xué)測量那樣便于理解，本文側(cè)重于以雷達(dá)測量為例進(jìn)行修正方法的討論，并對與光學(xué)測量的等價(jià)性進(jìn)行必要的說明。

跟蹤測量設(shè)備的方位角、俯仰角、距離一般定義在設(shè)備測量坐標(biāo)系下，且跟蹤誤差也在同樣的坐標(biāo)系下進(jìn)行分析和修正量解算。眾所周知，坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的原理簡單易懂。本文嘗試從坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換原理出發(fā)研究新的偏差無奇點(diǎn)修正推理方法。

2.1坐標(biāo)系定義

2.1.1雷達(dá)測量坐標(biāo)系OMXMYMZM

原點(diǎn)為雷達(dá)三軸中心，XM軸在方位大盤平面內(nèi)，指向方位角為0°的方向；YM軸垂直方位大盤平面，平行于方位軸（方位逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的軸向）；ZM軸由右手螺旋法則確定。

本文約定測量坐標(biāo)系下方位順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正，范圍是0°～360°；俯仰抬高為正，范圍是0°～180°，對于可負(fù)仰角跟蹤的系統(tǒng)，可以根據(jù)需求定義為-n～（180+n）°。類似的光學(xué)測量坐標(biāo)系與此定義一致。

2.1.2雷達(dá)指向坐標(biāo)系ODXDYDZD

一般光學(xué)測量可以建立以光學(xué)中心為原點(diǎn)，光軸為x軸，成像靶面分別為y軸和z軸的指向坐標(biāo)系，如星敏感器坐標(biāo)系。類似可以建立雷達(dá)指向坐標(biāo)系，原點(diǎn)為雷達(dá)三軸中心，XD軸為電軸，目標(biāo)方向?yàn)檎籞D軸指向俯仰旋轉(zhuǎn)軸，面向目標(biāo)，向右為正（即正鏡時(shí)俯仰角抬高的右手旋轉(zhuǎn)方向?yàn)檎籝D軸由右手螺旋法則確定，指向俯仰旋轉(zhuǎn)的切向方向，逆時(shí)針為正。

當(dāng)雷達(dá)天線方位角、俯仰角均為0°且不考慮軸系安裝誤差時(shí)，OMXMYMZM與ODXDYDZD重合。兩坐標(biāo)系關(guān)系如圖2所示。

圖2 雷達(dá)測量坐標(biāo)系與指向坐標(biāo)系Fig.2 Radar measurement coordinate system and direction coordinate system

圖2中雷達(dá)繞YM軸旋轉(zhuǎn)方位角A、繞ZD軸旋轉(zhuǎn)俯仰角E后得到圖2（b），靶面始終在YD軸和ZD軸構(gòu)成的平面內(nèi)。

雷達(dá)動(dòng)態(tài)滯后即跟蹤偏差一般均定義為雷達(dá)指向坐標(biāo)系下的直接量測值，與光學(xué)測量像平面脫靶量偏差定義具有相同的物理意義。該坐標(biāo)系的定義可給偏差修正帶來很多方便。

2.2雷達(dá)動(dòng)態(tài)滯后修正

因?yàn)橹攸c(diǎn)討論角度指向，不失一般性，距離以單位值代替。根據(jù)定向靈敏度事先標(biāo)定結(jié)果以及直接測量值方位俯仰誤差電壓，方位俯仰動(dòng)態(tài)滯后的角度量如（4）式所示。

由于無線電雷達(dá)動(dòng)態(tài)滯后角度的物理意義與光學(xué)脫靶量一致。其中，tan（ΔAD）對應(yīng)于ΔX/f，tan（ΔED）對應(yīng)于ΔY/f，從而可獲得空間目標(biāo)在雷達(dá)指向坐標(biāo)系下的歸一化矢量為

而雷達(dá)測量坐標(biāo)系到指向坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換為先繞Y軸旋轉(zhuǎn)方位角-A（旋轉(zhuǎn)矩陣為RY（-A）），再繞Z軸旋轉(zhuǎn)俯仰角E（旋轉(zhuǎn)矩陣為RZ（E）），則總旋轉(zhuǎn)矩陣為（A、E為編碼器測量值）為

由（10）式可獲得偏差修正后的目標(biāo)方位、俯仰角的解析表達(dá)式（下標(biāo)M表示測量坐標(biāo)系，T表示真值）:

方位、俯仰角的具體值還需要視XM、YM、ZM的象限符號和角度的定義域而定。由于AMT是反正切函數(shù)，即使分母XM趨近于0，也不是數(shù)學(xué)上的奇異點(diǎn)，因?yàn)樵谧宰兞亢瘮?shù)值ZM/XM趨近于無窮的過程中，將趨近于±π/2.

如果用于目標(biāo)空間位置測量，（11）式和（12）式可直接應(yīng)用，且可回避求解修正量的過程；如果用于跟蹤，則需要求解方位、俯仰的修正量:

對于（10）式～（13）式，用ΔX/f代替tan（ΔAD），ΔY/f代替tan（ΔED），可獲得光學(xué)脫靶量修正的新方法。

2.3電軸/光軸不垂直修正

關(guān)于電軸/光軸不垂直的修正，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角定義，相應(yīng)旋轉(zhuǎn)矩陣為

令rD=［1 0 0］T，即rM取旋轉(zhuǎn)矩陣的第一列

再利用（11）式～（13）式可以進(jìn)行角度真值和修正量計(jì)算。

以上無論是雷達(dá)動(dòng)態(tài)滯后修正，還是電軸/光軸不垂直修正，偏差無奇點(diǎn)修正方法是嚴(yán)格數(shù)學(xué)意義上的無誤差修正方法，沒有任何近似的假設(shè)。

3　等價(jià)性證明

3.1雷達(dá)動(dòng)態(tài)滯后修正

利用三角函數(shù)關(guān)系可以證明關(guān)于雷達(dá)動(dòng)態(tài)滯后修正（14）式與（1）式、（12）式與（2）式是等價(jià)的。

首先證明（12）式與（2）式即俯仰修正的等價(jià)性。將（9）式代入（12）式可得

由于tan（ΔAD）與ΔX/f，tan（ΔED）與ΔY/f各自等價(jià)性，可以看出（12）式與（2）式是等價(jià)的。

下面證明（11）式與（1）式即方位修正的等價(jià)性。由（9）式和（11）式得

根據(jù)三角函數(shù)公式可得

整理后可得

由于tan（ΔAD）與ΔX/f，tan（ΔED）與ΔY/f各自等價(jià)性，可以看出（19）式與（1）式是等價(jià)的，即（11）式與（1）式是等價(jià)的。

不難看出用ΔX/f代替tan（ΔAD），ΔY/f代替tan（ΔED），所獲得的光學(xué)脫靶量修正方法與（1）式、（2）式也是等價(jià)的。

3.2電軸/光軸不垂直修正

關(guān)于電軸/光軸不垂直這里主要證明在不垂直量Sb是一個(gè)小量時(shí)本文計(jì)算與傳統(tǒng)近似修正結(jié)果的一致性。

由于Sb是一個(gè)小量，有cos Sb≈1，sin Sb≈tan Sb≈Sb，同時(shí)將（15）式代入（11）式化簡后可得

可以看出（20）式近似計(jì)算結(jié)果與傳統(tǒng)的方位角修正量（6）式是等價(jià)的。

將（15）式代入（12）式直接可得

（21）式表明在不垂直量很小時(shí)，ΔEb≈0°，俯仰角可以不修正。

4　應(yīng)用分析

從本文給出的無奇點(diǎn)修正結(jié)果看，無論是動(dòng)態(tài)滯后還是其他軸系偏差引起的角度修正量均在±π/2或［0，π］范圍內(nèi)，不會出現(xiàn)無窮大的修正量。這符合天線運(yùn)動(dòng)的實(shí)際物理意義。

在無線電雷達(dá)或光學(xué)設(shè)備的高精度跟蹤測量中，一般仰角高于75°時(shí)就不再做精度要求。主要是考慮到一方面高仰角穩(wěn)定跟蹤困難較大，另一方面即使能夠跟蹤，測量數(shù)據(jù)精度也較低。究其原因，主要是設(shè)備伺服系統(tǒng)有限的速度和加速度決定了其高仰角必定存在較明顯的動(dòng)態(tài)滯后，甚至無法跟蹤的現(xiàn)象。這同時(shí)也是自跟蹤系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)天線使跟蹤誤差無限接近零值的跟蹤策略（簡稱為中心跟蹤策略）必然帶來的不可克服的問題。不同跟蹤系統(tǒng)的差異主要在于可跟蹤的高仰角門限不同，相同的是即使能夠跟蹤，仰角越高測角數(shù)據(jù)精度均越低。

表1給出了不同仰角下的5組典型偏差修正值，其中A=30°，方位、俯仰角偏差均為3 mrad；ΔAc、ΔEc分別為正割補(bǔ)償法計(jì)算的方位、俯仰角修正量，ΔAm、ΔEm分別為無奇點(diǎn)修正法計(jì)算的方位、俯仰角修正量。

表1　通用正割補(bǔ)償法與無奇點(diǎn)修正方法不同仰角典型結(jié)果比對（通用正割補(bǔ)償法和無奇點(diǎn)修正方法計(jì)算的典型方位角和俯仰角偏差）Tab.1 Typical azimuth and elevation deviations calculated by the universal secant compensation method and the nonsingular modification method

從表1中可以看出，針對3 mrad的固定偏差，當(dāng)仰角為89°，方位角修正偏差為6 759.2"，對于50ms的采樣周期可造成37.6°/s的方位速度計(jì)算誤差。該誤差已經(jīng)超出了多數(shù)雷達(dá)和光學(xué)設(shè)備的方位速度極限，從而造成了高仰角跟蹤性能無法提高。

5　結(jié)論

本文基于指向坐標(biāo)系的定義和坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的原理，提出了無線電雷達(dá)和光學(xué)測量設(shè)備跟蹤偏差和典型軸系誤差的無奇點(diǎn)修正新方法，并證明了其有效性。不考慮計(jì)算截?cái)嗾`差，該方法能夠?qū)崿F(xiàn)無誤差的修正，在高仰角時(shí)能夠提高設(shè)備指向計(jì)算的精度，對于89°仰角、方位與俯仰角偏差均為3mrad情形，可改善正割補(bǔ)償修正法指向計(jì)算存在的6 759.2"的方位角誤差和63.5"的俯仰誤差。

該方法理論上無近似假設(shè)，工程上使用方便，可用于提高方位-俯仰型測量設(shè)備高仰角跟蹤性能、測量數(shù)據(jù)利用率和測量精度，缺點(diǎn)是仍不能完全克服高仰角盲區(qū)問題。

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A Nonsingularity Modification Method of Angular Deviation in Azimuth-elevation Tracking Frame

CHEN Jia-hong，XIANG Jie，WANG Er-jian
（Joint Laboratory of Flight Vehicle Ocean-based Measurement and Control，Chinese Satellite Maritime Tracking and Controlling Department，Jiangyin 214431，Jiangsu，China）

The secant compensation method for correcting an angular deviation of radar tracking measurement system in azimuth-elevation polar coordinate frame is reviewed，and its pros and cons are analyzed. To overcome the complexity of derivation process and singularity，a tracking pointing coordinate system，i.e.，line-of-sight coordinate system，and a simple and practical nonsingularity compensation method based on coordinate transform principle are proposed.The equipollency between the proposed method and the universal secant compensation method based on solid geometry reasoning results is proven.The application of the proposed method in typical deviation correction of shafting and its effect on the tracking and measurement accuracies of radar system are also analyzed.For elevation angle of 89°，and azimuth and elevation angular deviations of 3 mrad，the azimuth error and elevation error calculated by the secant compensation method are 6 759.2"and 63.5"，respectively.The proposed method is benefit for the high precision tracking and measurement of space targets in the polar coordinate frame，especially to effectively improve the zenith tracking performance and the pointing accuracy with high elevation.

radar engineering；tracking and measurement；polar coordinate frame；deviation correction；secant compensation

V557+.5

A

1000-1093（2016）09-1708-07

10.3969/j.issn.1000-1093.2016.09.022

2016-02-02

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（61403421）

陳嘉鴻（1971—），男，研究員。E-mail:stone_cjh@126.com