燃燒室非線性壓力振蕩及其產(chǎn)生機(jī)理研究

汪廣旭，付秀文，石曉波，劉占一，楊建文

（西安航天動力研究所，陜西西安710100）

燃燒室非線性壓力振蕩及其產(chǎn)生機(jī)理研究

汪廣旭，付秀文，石曉波，劉占一，楊建文

（西安航天動力研究所，陜西西安710100）

當(dāng)燃燒不穩(wěn)定現(xiàn)象發(fā)生時，燃燒室內(nèi)部往往伴隨有較大幅值的壓力振蕩，其表現(xiàn)形式是非線性的。為了加深對其產(chǎn)生機(jī)理的認(rèn)識，在能量平衡方法的基礎(chǔ)上，通過求解包含高階非線性項的各階能量平衡方程，模擬了燃燒室非線性壓力振蕩曲線，給出了不穩(wěn)定狀態(tài)下，燃燒室壓力的陡峭化過程以及各階模態(tài)的“極限環(huán)”幅值分布。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步對初始線性增長率α以及非線性效應(yīng)對“極限環(huán)”幅值的影響規(guī)律進(jìn)行了參數(shù)化研究，獲得相應(yīng)的分布規(guī)律曲線。最后，作為驗證，對不同穩(wěn)定工況下的“爆炸彈”壓力振蕩過程進(jìn)行了數(shù)值模擬。研究表明，不穩(wěn)定燃燒過程中，各階模態(tài)之間存在相互作用，且隨著α的增加，“極限環(huán)”幅值呈線性遞增趨勢，而非線性效應(yīng)對“極限環(huán)”幅值的影響規(guī)律則相反。此外，“爆炸彈”數(shù)值實(shí)驗表明，在進(jìn)一步完善非線性項后，能量平衡方法具有模擬非線性燃燒不穩(wěn)定現(xiàn)象的潛力。

燃燒不穩(wěn)定現(xiàn)象，非線性壓力振蕩，能量平衡方法

0　引言

大量的試車和實(shí)驗結(jié)果表明，實(shí)際的燃燒不穩(wěn)定現(xiàn)象發(fā)生時，燃燒室內(nèi)的壓力振蕩往往表現(xiàn)出明顯的非線性特征，這些主要特征包括燃燒室壓力的陡峭化過程、“極限環(huán)”幅值以及燃燒室平均壓力的遷移現(xiàn)象等［1］。對以上特征所隱含的復(fù)雜機(jī)理進(jìn)行分析研究將為深入理解燃燒不穩(wěn)定現(xiàn)象提供重要切入點(diǎn)。例如，燃燒室壓力的“陡峭化”過程說明其內(nèi)部存在類似于弱激波形式的振蕩，其壓力變化曲線往往呈現(xiàn)N-型波特征（如圖1所示）［2］。

圖1　燃燒室壓力的N-型波特征Fig.1　N-type wave feature of combustion chamber pressure

本文采用的能量平衡方法起源于Kirchoff方程［3］，該方程給出了燃燒室不穩(wěn)定壓力振蕩過程中的能量平衡關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，Cantrell&Hart以及Morfey等人先后考慮了均勻流和非均勻流效應(yīng)，并由Myers推導(dǎo)了最終的解［4-11］。近年來，F(xiàn)landro等人采用能量平衡方法研究燃燒不穩(wěn)定方面取得了新的進(jìn)展［12-17］。研究表明，基于Galerkin譜分解的二階能量平衡方程能夠給出決定系統(tǒng)穩(wěn)定性的初始線性增長率αm，而更高階的三階非線性項的加入則使方程具有了描述不同模態(tài)間相互作用和影響的能力。通過求解代表不同模態(tài)間能量關(guān)系的方程組，可以獲得燃燒室壓力的理論演化曲線，從而能夠很好地解釋不穩(wěn)定燃燒過程中燃燒室內(nèi)壓力振蕩的一些重要的非線性特征。

1　能量平衡方法

為了分析不穩(wěn)定燃燒過程中的能量關(guān)系，描述燃燒室流場的控制方程必須包含熱傳導(dǎo)、燃燒熱釋放、粘性應(yīng)力和耗散效應(yīng)等，其控制方程如下：

式中：H為總焓；m為質(zhì)量流量；ω為渦量；ψ為單位體積內(nèi)的體積應(yīng)力，考慮了粘性剪切效應(yīng)、膨脹效應(yīng)和體積力等；Q為熱釋放。具體形式為：

式中：q為熱流通量；HR為燃燒熱釋放；Φ為耗散項。方程（1）表達(dá)了實(shí)際燃燒室中三種擾動傳播形式：壓力波、渦波、熵波。能量方程可以用方程（1）推導(dǎo)出來，具體形式為：

根據(jù)Kirchoff的理論，對于任何聲學(xué)系統(tǒng)，其振蕩能量的變化量與作用在系統(tǒng)上的功等于源項，其方程的具體表達(dá)式如下：

式中：E為系統(tǒng)振蕩能量密度；W為作用在系統(tǒng)上的功；D為源項。因此，方程（3）理論上可以簡化成方程（4）的形式。

Myers采用將均勻流變量分離的方法，給出了考慮非均勻流效應(yīng)的能量準(zhǔn)則 （Energy Corollary），并給出了上式中各項的具體表達(dá)式。進(jìn)一步，引入聲學(xué)分析方法，考慮將其中的變量分解成平均量和脈動量，并將脈動量展開成如下形式［15］：

式中：下標(biāo)“0”為均勻流變量的穩(wěn)態(tài)值；qn為n階擾動量；ε為高階小量。這樣，在經(jīng)過化簡后可以獲得各階能量平衡方程。其中，零階和一階方程對于能量方程（3）恒成立，而二階能量平衡方程可以用來評價系統(tǒng)的線性穩(wěn)定性。

等熵情況下的二階能量密度可以寫成：

式中：前兩項為Kirchoff聲能量密度；第三項為均勻流引入的非定常量。相應(yīng)地，二階能量通量W2和源項D2為：

這樣形成的二階能量平衡方程為：

對上式進(jìn)行空間積分和時間積分有：

為了對以上方程進(jìn)行求解，需要給出各變量的擾動量形式。根據(jù)Galerkin譜分解思想，一階壓力擾動量可以寫成：

無旋速度為：

式中：ψm為m階聲學(xué)模態(tài)的空間分布函數(shù)；x代表了空間位置；km為波數(shù)；γ為比熱比。這樣，方程（10）可以寫成以下形式：

其中

對于縱向振型：

對于切向振型：

式中W′和D′分別為采用無量綱壓力擾動幅值Rm歸一化后的做功項和源項。如果認(rèn)為各階模態(tài)的初始幅值滿足以下線性形式：

式中R0為初始幅值。代入方程（13）后可得：

初始線性增長率m是一個非常重要的參數(shù)。由方程（16）得到的 m包含很多子項［12-13］，主要包括噴注壓力耦合效應(yīng)、噴管耗散效應(yīng)、熱傳導(dǎo)效應(yīng)、邊界層泵吸效應(yīng)（Acoustic Boundary Layer Pumping）以及不穩(wěn)定熱釋放等。αm中的每一項都需要單獨(dú)討論，其中的部分子項還沒有明確的表達(dá)式，準(zhǔn)確地給出該值仍然很困難。方程（16）可以進(jìn)一步簡化為：

假設(shè)初始一階模態(tài)相對幅值為0.001，其他各階模態(tài)幅值為0，則該線性方程給出的燃燒室各階（縱向）模態(tài)幅值將會以圖2所示的指數(shù)形式增長，而對應(yīng)的壓力會以圖3所示的那樣無限地增長。顯然，這是不符合物理實(shí)際的，方程（17）需要考慮高階非線性項。

圖3　線性壓力振蕩過程Fig.3　Process of linear pressure oscillation

2　非線性壓力振蕩過程分析

為了簡化討論，忽略熱傳導(dǎo)效應(yīng)，考慮等熵、無粘的燃燒室縱向壓力振蕩，并忽略二次流效應(yīng)后的三階能量密度項可以寫成：

對其進(jìn)行時間和空間積分后，帶入方程（17）變?yōu)椋?/p>

其中

方程（19）代表了各階模態(tài)的能量平衡關(guān)系。在獲得各階模態(tài)的幅值Rm后可以根據(jù)方程（11）獲得疊加后的脈動壓力變化曲線。從方程（19）可以看出，三階項引入了各階模態(tài)之間的相互作用。同時，方程（19）也具有了描述燃燒室非線性振蕩的能力。現(xiàn)考慮一階模態(tài)驅(qū)動下的不穩(wěn)定工況，并給定一階模態(tài)增長率α1=200，αm=-400-200（m-1），（m=2，3，…，15），給定一階模態(tài)幅值 R1（0）=0.05，αm=0，（m=2，3，…，15）。帶入到方程（19）中計算得到的各階模態(tài)幅值演化規(guī)律見圖4。

圖4　考慮非線性項后的各階模態(tài)幅值Fig.4　Each order modal amplitudes considering the nonlinear term

與圖2類似，一階模態(tài)在初始階段都經(jīng)歷了增長。在此之后，由于各階非線性效應(yīng)的加入，使得系統(tǒng)振蕩幅值最終達(dá)到一個穩(wěn)定值，該值稱為“極限環(huán)”幅值。然而與圖2所示不同的是，圖4中其他各階模態(tài)幅值也出現(xiàn)了增長，這一現(xiàn)象說明燃燒不穩(wěn)定現(xiàn)象產(chǎn)生的非線性壓力振蕩會引起不同模態(tài)間能量的遷移現(xiàn)象。由圖4進(jìn)一步得到的壓力變化曲線如圖5所示。與實(shí)際情況類似，壓力表現(xiàn)出了N-型波特征，其陡峭化的出現(xiàn)意味著模態(tài)間的相互作用得到了加強(qiáng)。

圖5　燃燒室壓力振蕩“陡峭化”過程Fig.5　Steepening process of combustion chamber pressure oscillation

對于實(shí)際的不穩(wěn)定燃燒問題，單純地模擬出這些非線性特征顯然是不夠的，因為大部分的研究工作都希望能為工程實(shí)際提供指導(dǎo)。上文已經(jīng)提到，αm綜合考慮了不穩(wěn)定燃燒的影響因素，其中包含了設(shè)計過程關(guān)心的重要參數(shù)。雖然目前還沒有能力針對每一個影響因素進(jìn)行討論，但對αm進(jìn)行定性的分析仍然是有意義的。為此，本文針對一階模態(tài)驅(qū)動下的縱向燃燒不穩(wěn)定現(xiàn)象進(jìn)行了進(jìn)一步分析，對不同α1驅(qū)動下的“極限環(huán)”幅值進(jìn)行了計算，其結(jié)果如圖6所示。從圖6中可以看到，隨著α1的增加，一階模態(tài)的“極限環(huán)”幅值在升高，說明初始增長率的降低對抑制燃燒不穩(wěn)定性有促進(jìn)作用。

圖6　一階模態(tài)增長率α1對“極限環(huán)”幅值的影響Fig.6　Effect of linear growth rate 1 in first-order modal on"limited cycle"amplitude

從以上分析可以看出，非線性項的引入是能量平衡方法的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，而模態(tài)間的相互影響是造成“極限環(huán)”幅值不能無限增長的主要因素。為了研究這種影響與“極限環(huán)”幅值的關(guān)系，本文引入非線性系數(shù)NF（Nonlinear Factor），使方程（19）變?yōu)椋?/p>

即通過改變NF可以改變代表模態(tài)間耦合的非線性效應(yīng)?！皹O限環(huán)”幅值隨非線性系數(shù)的變化規(guī)律如圖7所示。從圖7可以看出，隨著非線性系數(shù)的減小，“極限環(huán)”幅在不斷增大，這說明模態(tài)間的相互作用是壓力振蕩趨于非線性化的重要誘因。

此外，由于本文采用了簡單的柱形燃燒室結(jié)構(gòu)以及縱向不穩(wěn)定振型，與燃燒室具體幾何相關(guān)的空間特征函數(shù)積分在方程（21）中被化簡。然而，實(shí)際幾何結(jié)構(gòu)或者振型的影響仍然體現(xiàn)在方程（21）右端的非線性項中［15-16］。這些影響最終會體現(xiàn)在各階模態(tài)的相互作用程度以及燃燒室壓力的非線性特征上，從而改變?nèi)紵到y(tǒng)的穩(wěn)定性。事實(shí)上，現(xiàn)有的在液體火箭發(fā)動機(jī)燃燒室中加入隔板，通過改變其模態(tài)振型來抑制不穩(wěn)定燃燒發(fā)生的思想與以上結(jié)論是一致的。從圖7來看，如果改變?nèi)紵医Y(jié)構(gòu)或者使振型朝著提高非線性效應(yīng)的方向發(fā)展，則同樣有助于提高燃燒系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

圖7　非線性系數(shù)對“極限環(huán)”幅值的影響Fig.7　Effect of nonlinear factor on“imited cycle”amplitude

3　爆炸彈數(shù)值實(shí)驗

實(shí)際的爆炸彈實(shí)驗是用來衡量燃燒穩(wěn)定性的重要方法，其壓力振蕩過程同樣是非線性的。能量平衡方法同樣具有模擬爆炸彈的能力。對于一階模態(tài)驅(qū)動下的不穩(wěn)定工況（α1=200）和穩(wěn)定工況（α1=0.01），可以通過在無量綱時間（a/L）*t=37.5（a為聲速，L為燃燒室長度）時引入各階模態(tài)振幅的脈沖值（Rm=1.0）來實(shí)現(xiàn)爆炸彈過程，其壓力振蕩結(jié)果分別見圖8和圖9。對比兩圖可以發(fā)現(xiàn)，對于穩(wěn)定工況，壓力振蕩會不斷衰減，而不穩(wěn)定工況下其振幅會達(dá)到有限值，這與預(yù)期的結(jié)果是一致的。

以上研究為模擬實(shí)際發(fā)動機(jī)試車曲線，為直觀地分析發(fā)動機(jī)的穩(wěn)定性結(jié)果奠定了基礎(chǔ)，具有實(shí)際的工程意義。

圖8　不穩(wěn)定工況下的爆炸彈數(shù)值實(shí)驗Fig.8　Numerical“bomb”test on unstable engines

圖9　穩(wěn)定工況下的爆炸彈數(shù)值實(shí)驗Fig.9　Numerical test result of"bomb"under stable working condition

4　結(jié)論

本文采用能量平衡方法對燃燒室非線性壓力振蕩過程進(jìn)行了數(shù)值模擬，并對主要影響因素進(jìn)行了參數(shù)化研究。研究表明，初始模態(tài)增長率和各聲學(xué)模態(tài)間的耦合對非線性壓力振蕩的“極限環(huán)”幅值具有重要影響，而各聲學(xué)階模態(tài)間的相互作用是導(dǎo)致燃燒室非線性壓力振蕩的重要誘因。也正是模態(tài)間的相互作用導(dǎo)致了能量在不同模態(tài)間的傳遞，進(jìn)而抑制了驅(qū)動模態(tài)幅值的不合理增長。同時，本文采用能量平衡方法開展的“爆炸彈”數(shù)值實(shí)驗證明：在進(jìn)一步完善初始模態(tài)增長率后，該方法具有模擬真實(shí)發(fā)動機(jī)燃燒室壓力振蕩曲線的潛力。

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（編輯：馬杰）

Study on nonlinear pressure oscillation and its mechanism in combustion chamber

WANG Guangxu，F(xiàn)U Xiuwen，SHI Xiaobo，LIU Zhanyi，YANG Jianwen
（Xi'an Aerospace Propulsion Institute，Xi'an 710100，China）

When the combustion instable phenomenon happens，the high amplitude pressure oscillation often occurs simultaneously in combustion chamber，which behaves in nonlinear form.In order to make it more clear about the mechanism of production，the nonlinear oscillating curve for chamber pressure was simulated based on the energy balance method through solving the energy equations including high-order nonlinear term of each mode.The pressure steepening process and the distribution of“l(fā)imited cycle”amplitudes in the unstable status are also presented.Based on this，the parameterized studyis conducted on the influence ofinitial linear growth rate α and the nonlinear effect on“l(fā)imited cycle”amplitude，and the corresponding distribution curves are also showed in this paper.Then，as a validation，the pressure oscillating process of"bomb"under different stable conditions are simulated as well.It indicates that during the unbalanced combustion，interactive effects exist between the oscillating modes.Although"limited cycle"amplitude assumes progressive increase tendency with the increase of α the nonlinear effect on"limited cycle"amplitude has the opposite tendency.Except for this，the numerical experiment results show that if the nonlinear term can be further perfect properly，the energy balance method can be applied to the simulation of nonlinear combustion instable.

combustion instable phenomenon；nonlinear pressure oscillation；energy balance method

V434.13-34

A

1672-9374（2016）02-0029-06

2015-04-02；

2015-09-27

航天支撐技術(shù)項目（617010423）

汪廣旭（1987—），男，工程師，研究領(lǐng)域為液體火箭發(fā)動機(jī)燃燒不穩(wěn)定