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    等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最值問題

    2016-11-09 03:18:05安徽省太和中學(xué)岳峻安徽省太和十一中薛曉林
    青蘋果 2016年5期
    關(guān)鍵詞:太和正整數(shù)拋物線

    安徽省太和中學(xué)岳峻安徽省太和十一中 薛曉林

    等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最值問題

    安徽省太和中學(xué)岳峻安徽省太和十一中 薛曉林

    等差數(shù)列是一種特殊的基本數(shù)列模型,常用Sn表示其前n項(xiàng)和。如何求解Sn的最值問題是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn),體現(xiàn)著函數(shù)與方程思想,也滲透著數(shù)形結(jié)合思想。

    一、二次函數(shù)法

    變式1已知等差數(shù)列-11,-9,-7,-5,-3,…的前n項(xiàng)和為Sn,求使得Sn最小的序號(hào)n的值。(答案:6)

    二、鄰項(xiàng)異號(hào)法

    例2若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,首項(xiàng)a1>0,a4+a5>0,a4a5<0,則使得{an}前n項(xiàng)和Sn取得最大值的正整數(shù)n是_______。

    解析若d>0,因?yàn)閍1>0,則{an}滿足an>0,a4a5>0,與題意不符,所以d<0,

    所以a1>a2>a3>a4>0>a5>a6>…

    又因?yàn)閍4+a5>0,a4a5<0,所以a4>0,a5<0,

    故S4最大,即n=4時(shí),數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn取得最大值。

    點(diǎn)評(píng)對(duì)于公差不為0的等差數(shù)列{an},

    若d>0,a1<0,且存在k∈N*,k≥2,使得ak≤0

    若d<0,a1>0,且存在k∈N*,k≥2,使得ak≥0>ak+1,則Smax=Sk(ak>0)或Smax=Sk=Sk-1(ak=0)。

    變式2已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-31,若其前n項(xiàng)和為Sn,則Sn的最小值為。_______(答案:-225)

    三、圖像法

    例3等差數(shù)列{an}中,a1>0,p≠q,Sp=Sq,當(dāng)n取何值時(shí),Sn取得最大值?

    點(diǎn)評(píng)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn可視為關(guān)于自變量n的二次函數(shù),其定義域?yàn)镹*,其圖像是過原點(diǎn)的拋物線上的“自變量等距離分布”的孤立的點(diǎn)。若Sp=Sq(p、q∈N*,p≠q),則Sp+q=0。

    變式3已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1<0,設(shè)Sn為{an}的前n項(xiàng)和,且S6=S11,則Sn取得最小值時(shí),n=。(答案:8或9)

    四、綜合法

    例4已知{an}為等差數(shù)列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示{an}的前n項(xiàng)和,則使得Sn取得最大值的n是。

    解析由于{an}為等差數(shù)列,所以a1+a5=2a3,a2+a6=2a4,

    又因?yàn)閍1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,

    所以a3=35,a4=33,

    故a1=39,d=-2,

    所以an=a3+(n-3)d=35+(n-3)(-2)=41-2n,

    方法1:Sn=n(40-n)=-(n-20)2+400,故使得Sn取得最大值的n是20。

    方法2:an=41-2n,當(dāng)n≤20時(shí),an>0;當(dāng)n≥21時(shí),an<0。故使得Sn取得最大值的n是20。

    方法3:Sn=n(40-n),顯然有S1=S39,而Sn=n(40-n)的圖像是拋物線上的孤立的點(diǎn),根據(jù)拋物線的對(duì)稱性,Sn取得最大值的n是20。

    點(diǎn)評(píng)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的最值問題求解的方法有二次函數(shù)法、鄰項(xiàng)異號(hào)法、圖像法等。

    變式4等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,S12>0,S13<0,當(dāng)n=時(shí),Sn取得最大值。(答案:6)

    五、方法的拓展

    例5若{an}是等差數(shù)列,首項(xiàng)a1<0,a2015+a2016>0,a2015a2016<0,則使數(shù)列前n項(xiàng)和Sn<0成立的最大正整數(shù)n是。

    根據(jù)數(shù)列{Sn}的圖像所在的拋物線開口向上的特點(diǎn),S4029<0且S4030>0,則使Sn<0成立的最大正整數(shù)n是4029。

    點(diǎn)評(píng)求解等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn<0成立時(shí)最大正整數(shù)n的問題,不是求Sn的最大值,而是求在所有使得Sn<0的正整數(shù)n當(dāng)中,n的最大值。

    變式5若{an}為等差數(shù)列,首項(xiàng)a1>0,a4+a5>0,a4a5<0,則使{an}的前n項(xiàng)和Sn>0成立的最大正整數(shù)n的值是。(答案:8)

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