基于Curvelet變換的壓縮傳感超分辨率重建

葉坤濤　郭振龍　賀文熙

(江西理工大學(xué)理學(xué)院　江西 贛州 341000)

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基于Curvelet變換的壓縮傳感超分辨率重建

葉坤濤郭振龍賀文熙

(江西理工大學(xué)理學(xué)院江西 贛州 341000)

為了在無訓(xùn)練集的情況下，改善單幀退化圖像的分辨率，實(shí)現(xiàn)了一種基于Curvelet變換和快速迭代收縮閾值法(FIST)的壓縮傳感超分辨率重建算法(Curvelet-FIST)。算法首先對低分辨率圖像建立偽星形采樣的采樣方式，利用壓縮傳感理論，在Curvelet變換域，通過快速迭代收縮閾值法由采樣值恢復(fù)出高分辨率圖像。仿真實(shí)驗(yàn)表明，此超分辨率重建算法比傳統(tǒng)的插值算法以及基于Wavelet變換和FIST的壓縮傳感重建算法(Wavelet-FIST)有更高的峰值信噪比。

壓縮傳感超分辨率Curvelet變換快速迭代閾值法星形采樣

0　引　言

圖像超分辨率重建，也稱為圖像放大，即通過一幅低分辨率圖像或圖像序列恢復(fù)出高分辨率圖像的技術(shù)。它目前在醫(yī)學(xué)成像、視頻監(jiān)控、遙感、高清電視等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。單幀圖像的超分辨率重建大致可分為有訓(xùn)練樣本集的基于學(xué)習(xí)的超分辨率重建和無訓(xùn)練樣本集的圖像增強(qiáng)超分辨率重建[1]。有訓(xùn)練樣本集的超分辨率重建是從大量的訓(xùn)練樣本集中獲取先驗(yàn)知識作為超分辨率的依據(jù)，然后重建高分辨率圖像。該類方法重建效果較好，但對所設(shè)定的訓(xùn)練樣本集有依賴[2]。無訓(xùn)練樣本集的圖像增強(qiáng)是通過建立圖像的物理退化模型，假定低分辨率圖像是通過原始高分辨率圖像經(jīng)過幾何變形、模糊和降采樣得到的結(jié)果，利用算法反演高分辨率圖像，該類方法操作簡單，易于實(shí)現(xiàn)，例如插值法。傳統(tǒng)的插值法包括最鄰近插值、雙線性插值、立方插值等，算法復(fù)雜度低，但因?yàn)闆]有針對圖像的邊緣和紋理特征進(jìn)行特殊處理，所以導(dǎo)致重建的圖像出現(xiàn)不同程度的邊緣模糊、鋸齒或塊效應(yīng)等問題[3]。

2006年以來，Candes等提出的壓縮傳感理論經(jīng)常被應(yīng)用到單幀圖像的超分辨率重建領(lǐng)域。其中有壓縮傳感理論應(yīng)用于無訓(xùn)練樣本集的情況，如2006年，Sen等人在測量前引入高斯低通濾波過程，使得傳感矩陣滿足等距約束性RIP條件，然后利用正則化正交匹配追蹤算法ROMP實(shí)現(xiàn)圖像在小波域的壓縮傳感超分辨率重建[4]；也有將該理論應(yīng)用于有訓(xùn)練樣本集的情況，例如2015年，Sun等人先對低分辨率圖像雙邊濾波，然后通過對訓(xùn)練樣本集實(shí)行K奇異值分解K-SVD算法，得到冗余字典并對圖像稀疏表示，最后實(shí)現(xiàn)壓縮傳感超分辨率重建[5]。一般而言，無訓(xùn)練樣本集的方法與有訓(xùn)練樣本集的學(xué)習(xí)方法相比，具有不需要設(shè)定訓(xùn)練集、節(jié)省前期存儲空間和數(shù)據(jù)運(yùn)算量的優(yōu)點(diǎn)。

壓縮傳感的實(shí)現(xiàn)與采用的恢復(fù)算法以及信號的具體稀疏方式有關(guān)[6]。同樣，壓縮傳感理論應(yīng)用到圖像超分辨率重建時，恢復(fù)算法、稀疏方式也會影響超分辨率重建質(zhì)量。

貪婪恢復(fù)算法一般都會面臨產(chǎn)生巨大稀疏矩陣和測量矩陣的問題，對計(jì)算內(nèi)存配置要求高，而凸優(yōu)化算法中的迭代收縮閾值算法IST[7,8]可以避免生成維數(shù)很大的稀疏矩陣和測量矩陣。

常見稀疏方式有Wavelet和離散余弦(DCT)，但它們?nèi)秉c(diǎn)明顯。DCT的時頻分析性能不佳，Wavelet方向選擇性差，不能很好地表示圖像邊緣的信息。而曲波(Curvelet)變換，融合了Wavelet變換的多尺度和脊波變換的各向異性特點(diǎn)，在細(xì)尺度下能更優(yōu)地逼近曲線或直線，對圖像的邊緣細(xì)節(jié)和曲線等特征有更好的描述[9,10]。2014年，葉慧等實(shí)現(xiàn)了基于Curvelet變換的壓縮傳感[11]，但并沒有實(shí)現(xiàn)此框架下的圖像超分辨率重建。

壓縮傳感理論應(yīng)用到圖像超分辨率重建的重要障礙是采樣測量方法的建立。因?yàn)槌直媛手亟ㄒ蟮牟蓸訙y量方法和壓縮傳感要求的采樣隨機(jī)性不同。

本文建立了對低分辨率圖像的偽星形采樣方法，并在Curvelet變換域，采用快速迭代收縮閾值算法FIST[7,12]恢復(fù)出高分辨率的圖像，即實(shí)現(xiàn)了一種基于Curvelet變換和FIST的壓縮傳感(Curvelet-FIST)超分辨率重建算法。實(shí)驗(yàn)表明，與傳統(tǒng)插值算法、基于Wavelet變換和FIST的壓縮傳感超分辨率重建算法(Wavelet-FIST)相比，具有更好的超分辨率重建效果。

1　稀疏方式與恢復(fù)算法

1.1壓縮傳感理論

在壓縮傳感理論中，設(shè)某個可稀疏化的長度為N的信號X的稀疏度為K，壓縮傳感的采樣壓縮過程可描述為：

y=ΦX=ΦΨα=Θα

(1)

其中，Ψ與Φ分別是稀疏矩陣、測量矩陣；Θ=ΦΨ稱為傳感矩陣；y是長度為M(M

(2)

(3)

這是一個典型的凸優(yōu)化問題，可以將其轉(zhuǎn)化為一個線性規(guī)劃問題求解。構(gòu)造優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)f(x)，如式(4)所示：

(4)

(5)

式(5)構(gòu)成了一個通過y、Φ和Ψ恢復(fù)出X的壓縮傳感數(shù)學(xué)模型。由該模型可知恢復(fù)出的X的質(zhì)量好壞取決于測量矩陣Φ、代表稀疏方式的稀疏矩陣Ψ和恢復(fù)算法三個重要因素。

實(shí)際上，稀疏矩陣、測量矩陣分別抽象表示信號X的稀疏方式和采樣測量方式，而精確重建信號X的具體方法即是恢復(fù)算法。

1.2稀疏方式

因?yàn)镃urvelet變換是在單尺度脊波變換或局部脊波變換的基礎(chǔ)上構(gòu)造的，綜合了脊波擅長表示直線特征和Wavelet適于表現(xiàn)點(diǎn)狀特征的優(yōu)點(diǎn)，能夠克服DCT的時頻分析性能不佳、Wavelet的方向選擇性差的缺點(diǎn)，所以本文用Curvelet變換來實(shí)現(xiàn)圖像的稀疏。

另外，實(shí)現(xiàn)第二代Curvelet變換的兩種快速離散算法分別是基于不均勻采樣的快速傅里葉變換USFFT(UnequisedFFT)和基于特殊選擇的傅里葉采樣的繞疊[15]。兩種算法都是先通過FFT變換到頻域，再在頻域中進(jìn)行局部化，然后對局部化后的結(jié)果做二維FFT逆變換，得到離散Curvelet變換系數(shù)；區(qū)別在于不同尺度和方向下空間網(wǎng)格的選擇方法不同。由于USFFT算法比Wrapping算法計(jì)算量更大、速度更慢，因此，本文的Curvelet變換用Wrapping算法實(shí)現(xiàn)。

1.3恢復(fù)算法

求解式(5)的恢復(fù)算法主要包括最優(yōu)化算法和貪婪算法。常用的最優(yōu)化算法有凸優(yōu)化算法、非凸優(yōu)化算法及光滑l0范數(shù)算法等[16]。常用的貪婪算法有正交匹配追蹤算法(OMP)、正則化正交匹配追蹤算法ROMP、壓縮采樣匹配追蹤算法(CoSaMP)等[17]。

Curvelet是一個多尺度幾何變換，變換后的系數(shù)數(shù)據(jù)量大，用貪婪算法重建經(jīng)常產(chǎn)生維數(shù)很大的稀疏矩陣和測量矩陣，對計(jì)算內(nèi)存配置要求高，采用快速迭代收縮閾值算法可解決此問題。

迭代收縮閾值法的核心是對前一次的估計(jì)值進(jìn)行閾值收縮處理從而來獲得新的估計(jì)值[7,8]：

(6)

(7)

Sc(X)具體實(shí)現(xiàn)步驟描述如下：

1) 在Ψ域中對X進(jìn)行變換，得到變換系數(shù)α；

2) 確定閾值，對α軟閾值處理，即執(zhí)行閾值σ>0定義的軟收縮函數(shù)Tσ(α)：

(8)

3) 對軟閾值處理后的α進(jìn)行Ψ域的逆變換，得到更新值X。

而FIST算法主要改進(jìn)了Sc(X)函數(shù)，在原Sc(X)的實(shí)現(xiàn)步驟2)之前結(jié)合前兩次的迭代系數(shù)值αk、αk+1，并引入?yún)?shù)t，對α進(jìn)行更新，然后對更新后的α繼續(xù)實(shí)現(xiàn)步驟2)、步驟3)。更新方法描述如下[7,12]：

(9)

其中參數(shù)t的更新方法為：

基于Curvelet變換和IST法的壓縮傳感方法還未見用于圖像的超分辨率重建，為了提高收斂速度本文用FIST算法代替IST算法，實(shí)現(xiàn)Curvelet-FIST算法，并通過設(shè)計(jì)采樣方式測量矩陣，將此方法應(yīng)用于圖像的超分辨率重建。

應(yīng)用sbar交班模式前,所檢查的501例交班患者中存在交班缺陷者81例,缺陷率為16.17%,實(shí)施后所檢查的504例交班患者中存在交班缺陷者19例,缺陷率為3.76%,兩組間缺陷率對比組間比較差異存在統(tǒng)計(jì)學(xué)意義,X2=43.0999,P<0.05。

2　超分辨率重建實(shí)現(xiàn)

2.1超分辨率的采樣測量方式

普通的圖像壓縮傳感重建是將空域內(nèi)的圖像在某個變換域中稀疏表示，利用一個與變換基不相關(guān)的測量矩陣對稀疏圖像隨機(jī)測量，這樣同時完成數(shù)據(jù)的采樣和壓縮兩個過程，然后通過求解最優(yōu)化問題可由少量的稀疏投影高概率的重建出原始圖像。常見的采樣測量矩陣在時域有高斯隨機(jī)矩陣、局部傅里葉矩陣、置亂哈達(dá)瑪矩陣等，也可以在圖像的二維傅里葉變換域生成隨機(jī)采樣矩陣。Wan等在文獻(xiàn)[18]中給出了傅里葉變換域的三種隨機(jī)采樣方法，它們分別是星形采樣、雙星形采樣和星環(huán)采樣[18]。星形采樣過程先將圖像的二維傅里葉變換系數(shù)中的低頻信息移動到頻譜圖中心，然后與星形采樣矩陣相乘來完成采樣。星形采樣矩陣的元素由0和1組成，如圖1(a)所示。圖1(a)為一個維數(shù)256×256，采樣率M=0.3的星形采樣矩陣實(shí)例，其中黑色位置為0，白色位置為1，顯然白色射線條表示用于構(gòu)造壓縮測量值的頻率位置，射線條數(shù)決定采樣率M。

普通壓縮傳感中的采樣測量方式必須做適當(dāng)修正，才能用于單幀圖像的超分辨率重建。首先由低分辨率圖像按照新的采樣方法構(gòu)造出高分辨率圖像的測量采樣信號y，然后將高分辨率圖像視為原信號X，通過壓縮傳感過程由測量值y恢復(fù)出原信號X。新的采樣測量方法由星形采樣改進(jìn)而成，稱為偽星形采樣。偽星形采樣的具體實(shí)現(xiàn)過程描述如下：

(1) 經(jīng)過立方插值將低分辨率圖像XL放大一定倍數(shù)變成高分辨率估計(jì)圖像XH；

(2) 對XH進(jìn)行二維快速傅里葉變換(FFT2)，并重排傅里葉系數(shù)，把低頻信息移動到頻譜圖中心；

(3) 對XL進(jìn)行FFT2，并重排傅里葉系數(shù)，把低頻信息移動到頻譜圖中心；

(4) 將步驟(2)中的頻譜圖中心，維數(shù)與XL相同的區(qū)域，用步驟(3)中的低頻頻譜圖取代，得到XHN；

(5) 按照XHN的維數(shù)建立星形采樣矩陣；

(6) 將星形采樣矩陣的中心，維數(shù)與XL相同區(qū)域置為1，構(gòu)造出新的采樣矩陣，稱為偽星形采樣矩陣；圖1(b)為在圖1(a)基礎(chǔ)上構(gòu)造的偽星形采樣矩陣，中間白色矩形部分的維數(shù)為128×128；

(8) 對上述(7)的處理結(jié)果逆重排后，進(jìn)行逆快速傅里葉變換得到高分辨率圖像的測量值y。

圖1　星形采樣矩陣和與之對應(yīng)的偽星形采樣矩陣

這個新的采樣測量方法，保留了低分辨率圖像完整頻率信息作為高分辨率圖像的低頻信息，同時也合理估計(jì)了高頻信息，使重建出的高分辨率圖像更符合視覺要求。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，不同采樣率的星形采樣矩陣的重建效果也有所不同。

2.2Curvelet-FIST超分辨率算法

將基于Curvelet-FIST算法的壓縮傳感中的測量采樣方法，修正為偽星形采樣，得到基于Curvelet-FIST算法的圖像超分辨率重建算法，其具體實(shí)現(xiàn)步驟詳述如下：

1) 初始化：設(shè)定迭代停止參數(shù)ε，迭代步長γ，閾值σ=max_e×η(max_e是對低分辨率圖像立方插值后圖像的Curvelet變換系數(shù)的最大值，稀疏化閾值η>0)，收縮因子μ(0<μ<1)，迭代次數(shù)k=0。

2) 本文Curvelet-FIST算法的壓縮傳感的圖像超分辨率重建：

(1) 采用偽星形采樣方法對低分辨率圖像測量得到y(tǒng)，初始化Xk=y；

(2) 對測量圖像Xk進(jìn)行Curvelet變換αk=ΨXk；

(3) 計(jì)算殘差Residual=αk-αk-1；

(4) 迭代更新：αk+1=αk+γ×Residual；

(5) 利用FIST方法更新tk+1與αk+1；

(6) 軟閾值處理：αk+1=Tσ(αk+1)；

(7)Curvelet逆變換：Xk+1=ΨTαk+1；

(8) 軟閾值松弛：σ=σ×μ；

3) 迭代重建過程停止判斷條件：當(dāng)σ<ε時，則停止迭代；否則，重復(fù)步驟2)，直到滿足閾值條件，輸出Xk+1，得到重建的超分辨圖像。

將前述基于Curvelet-FIST算法的圖像超分辨率重建算法步驟中的Curvelet變換替換成Wavelet變換，還可實(shí)現(xiàn)基于Wavelet變換和FIST的壓縮傳感重建算法Wavelet-FIST。

3　實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

實(shí)驗(yàn)平臺搭建在內(nèi)存為32GB的臺式機(jī)上，使用工具及版本為Matlab2014a。為了客觀描述超分辨率算法的優(yōu)劣，首先用鄰域平均插值法[19]從256×256的Lena、Barbara標(biāo)準(zhǔn)圖像和Phantom醫(yī)學(xué)高分辨率圖像獲得對應(yīng)的128×128的低分辨率圖像，然后分別采用最鄰近插值、雙線性插值、立方插值、Wavelet-FIST(sym8小波)、Curvelet-FIST算法對128×128的低分辨率圖像進(jìn)行256×256的超分辨率重建，并計(jì)算重建后圖像與原256×256圖像的峰值信噪比(PSNR)，PSNR越大代表重建效果越好。

對每幅圖像的Wavelet-FIST、Curvelet-FIST算法分別仿真81次。各次實(shí)驗(yàn)的參數(shù)在固定ε=10-3，γ=1.0，η=1.0的前提下，對介于0.1至0.9間隔0.1的每個M值，改變μ(從0.1開始以間隔0.1變化到0.9)，并記錄與每個M值對應(yīng)的最大PSNR，如圖2所示，圖中的橫坐標(biāo)為M，縱坐標(biāo)是與M對應(yīng)的最大PSNR。在圖2中可以明顯看出，對Lena圖像，Curvelet顯然在不同的M值上，都比Wavelet的重建效果好；而對Phantom圖像，在低M值和高M(jìn)值的兩端，Curvelet取得比Wavelet更好的重建效果；而對于Barbara圖像，只在高M(jìn)值的一端，Curvelet取得比Wavelet更好的重建效果。這是因?yàn)镃urvelet變換的高度各向異性的特點(diǎn)，具有很強(qiáng)的表示圖像中“沿”邊緣信息的能力。Lena圖像包含的光滑和邊緣信息較多，適合Curvelet稀疏表示；Phantom圖像顯然在低M值和高M(jìn)值的采樣時，光滑邊緣信息比重多，導(dǎo)致Curvelet稀疏效果好；而對于紋理信息豐富的Barbara圖像，光滑邊緣信息隨M值增加，Curvelet變換的優(yōu)點(diǎn)在高M(jìn)值時才得以體現(xiàn)。

圖2　不同圖像的Wavelet-FIST、Curvelet-FIST算法效果對比圖

雖然對于不同圖像，不同M值，Curvelet-FIST與Wavelet-FIST相比重建效果不同，但是無論針對邊緣信息比較多的Lena圖像還是紋理信息比較多的Barbara圖像和醫(yī)學(xué)Phantom圖像，Curevlet-FIST的81次超分辨率重建實(shí)驗(yàn)中的PSNR的最優(yōu)值總是比Wavelet-FIST的高，而且Curvelet-FIST的超分辨率重建效果又都比傳統(tǒng)的插值算法好，如表1所示。

表1　不同算法的峰值信噪比對照

表1記錄了針對三幅圖像，用傳統(tǒng)插值算法超分辨率重建的PSNR以及Wavelet-FIST和Curvelet-FIST的超分辨率重建的PSNR最優(yōu)值；括號中是算法最優(yōu)值對應(yīng)的μ和M取值。對Lena圖像，Curvelet-FIST算法超分辨率重建的最優(yōu)PSNR比最鄰近插值、雙線性插值、立方插值、Wavelet-FIST最優(yōu)值依次提高了2.19、1.36、0.12、0.53dB；對Phantom圖像，分別提高2.05、1.47、0.52、0.14dB；對Barbara圖像，分別提高0.8、1.24、0.62、0.25dB。

為了使超分辨重建結(jié)果可視化，以Lena圖像為例，除整體效果圖外，選擇細(xì)節(jié)信息特征較豐富的帽沿和肩部進(jìn)行比較。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示，每幅圖中的左下角與右上角分別是帽沿和肩部的局部放大圖。

圖3　Lena圖像效果圖

在圖3中，從整體上看，采用雙線性插值方法使得圖像整體較暗；從細(xì)節(jié)方面看，最鄰近插值產(chǎn)生的鋸齒現(xiàn)象十分明顯，雙線性插值圖像雖然鋸齒現(xiàn)象得到改善，但圖像在細(xì)節(jié)處比較模糊。Wavelet-FIST算法雖然在細(xì)節(jié)處得到了很好的改善，但是邊緣處不夠平滑，Curvelet-FIST算法的重建圖像在帽沿邊緣和紋理細(xì)節(jié)等處更加平滑和清晰。

4　結(jié)　語

本文實(shí)現(xiàn)了一種基于Curvelet變換和快速迭代收縮閾值法的壓縮傳感超分辨率重建算法Curvelet-FIST，其核心思想是通過改進(jìn)的星形采樣，從低分辨率圖像直接構(gòu)造出高分辨率圖像的采樣值，然后按照壓縮傳感理論，將采樣值在Curvelet變換域通過快速迭代閾值法重建出高分辨率圖像。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，Curvelet-FIST對不同信息(光滑、紋理等)圖像的超分辨率重建的效果，比傳統(tǒng)插值及Wavelet-FIST算法均有提高。這一方面體現(xiàn)出壓縮傳感超分辨率重建與插值算法相比的優(yōu)點(diǎn)，另一方面也體現(xiàn)出Curvelet變換與Wavelet變換相比在圖像表示方面的優(yōu)勢。不足之處是該算法針對信息分布不同特點(diǎn)的圖像，需要調(diào)整算法參數(shù)才能得到最理想的重建效果。以后的研究方向可從解決這個問題入手。

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COMPRESSEDSENSINGSUPER-RESOLUTIONRECONSTRUCTIONBASEDONCURVELETTRANSFORM

YeKuntaoGuoZhenlongHeWenxi

(CollegeofScience,JiangxiUniversityofScienceandTechnology,Ganzhou341000,Jiangxi,China)

Inordertoimprovetheresolutionofsingle-framedegradedimagesundertheconditionofnoanytrainingset,weimplementedacompressedsensingsuper-resolutionreconstructionalgorithm,calledCurvelet-FIST,whichisbasedonCurvelettransformandfastiterativethreshold-shrinkage(FIST)algorithm.First,thealgorithmsetsupasamplingmodeofpseudo-star-shapesamplingonlow-resolutionimages.Thenbymakinguseofthetheoryofcompressedsensing,andinCurvelettransformdomain,itrestoresthehigh-resolutionimagefromsamplingvaluesthroughFISTalgorithm.Simulationexperimentshowedthatthissuper-resolutionreconstructionalgorithm,comparedwithtraditionalinterpolationalgorithmandthecompressedsensingreconstructionalgorithmbasedonWavelettransformandFIST(Wavelet-FIST),hashigherpeaksignal-to-noiseratio(PSNR).

CompressedsensingSuper-resolutionCurvelettransformFastiterativethreshold-shrinkageStar-shapesampling

2015-09-02。國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61368004)；國家高層次留學(xué)人才回國資助項(xiàng)目([2011]481)。葉坤濤，博士，主研領(lǐng)域：MEMS，光譜測量與儀器。郭振龍，碩士生。賀文熙，碩士。

TP

ADOI:10.3969/j.issn.1000-386x.2016.10.013