稀疏貝葉斯混合專家模型及其在光譜數(shù)據(jù)標(biāo)定中的應(yīng)用

俞斌峰　季海波

稀疏貝葉斯混合專家模型及其在光譜數(shù)據(jù)標(biāo)定中的應(yīng)用

俞斌峰1季海波1

在光譜數(shù)據(jù)的多元校正中，光譜數(shù)據(jù)通常是在多種不同的環(huán)境條件下收集的.為了建模來源于不同環(huán)境中的高維光譜數(shù)據(jù)，本文提出了一種新的稀疏貝葉斯混合專家模型，并將其用來選擇多元校正模型的稀疏特征.混合專家模型能夠把訓(xùn)練數(shù)據(jù)劃分到不同的子類，之后使用不同的預(yù)測模型來分別對(duì)劃分后的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，因此這種方法適合于建模來自于多種環(huán)境下的光譜數(shù)據(jù).本文提出的稀疏的混合專家模型利用稀疏貝葉斯的方法來進(jìn)行特征選擇，不依賴于事先指定的參數(shù)；同時(shí)利用probit模型作為門函數(shù)以得到解析的后驗(yàn)分布，避免了在門函數(shù)分類模型中進(jìn)行特征提取時(shí)需要的近似.本文提出的模型與其他幾種常用的回歸模型在人工數(shù)據(jù)集和幾個(gè)公開的光譜數(shù)據(jù)集上進(jìn)行了比較，比較結(jié)果顯示本文提出的模型對(duì)多個(gè)來源的光譜數(shù)據(jù)進(jìn)行濃度預(yù)測時(shí)精度比傳統(tǒng)的回歸方法有一定的提高.

多元校正，混合專家模型，特征提取，變分推斷

引用格式俞斌峰，季海波.稀疏貝葉斯混合專家模型及其在光譜數(shù)據(jù)標(biāo)定中的應(yīng)用.自動(dòng)化學(xué)報(bào)，2016，42（4）:566?579

在很多機(jī)器學(xué)習(xí)的回歸或者分類問題中，訓(xùn)練樣本通?？梢詣澐譃楹芏嘧蛹?，不同的子集需要用不同的模型和不同的特征來進(jìn)行描述，這時(shí)為了構(gòu)建輸入輸出之間的關(guān)系，需要建立很復(fù)雜的預(yù)測函數(shù).分而治之的方法因?yàn)榭梢园岩粋€(gè)復(fù)雜的問題分解成多個(gè)相對(duì)簡單的子問題而成為了處理復(fù)雜機(jī)器學(xué)習(xí)問題的一種常用方法.決策樹算法是最常用的一種分而治之方法.決策樹模型的每個(gè)分支遞歸的選擇一個(gè)特征將輸入該節(jié)點(diǎn)的樣本空間劃分成不同區(qū)域，然后在葉子節(jié)點(diǎn)上用不同的節(jié)點(diǎn)值來對(duì)不同區(qū)域的樣本進(jìn)行預(yù)測.決策樹模型的一個(gè)缺陷是每次劃分只依據(jù)單一的特征，忽略了特征之間的聯(lián)系.另外決策樹模型也難以建模輸入輸出之間的局部的線性關(guān)系.當(dāng)根據(jù)領(lǐng)域知識(shí)輸入輸出關(guān)系更適合用線性模型來描述時(shí)，強(qiáng)行用決策樹模型建模的話需要大量樣本構(gòu)建復(fù)雜的樹結(jié)構(gòu).

與決策樹模型將每個(gè)輸入樣本都劃分到不同的節(jié)點(diǎn)、每個(gè)訓(xùn)練樣本只由一個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)負(fù)責(zé)預(yù)測不同，混合專家模型將概率方法引入到樣本空間分割和子預(yù)測模型建模中.混合專家模型通過門函數(shù)來計(jì)算樣本屬于不同子類的概率，并且對(duì)不同的子類估計(jì)一個(gè)稱為專家模型的輸入輸出的概率模型.混合專家模型通過門函數(shù)和多個(gè)專家模型的組合來建模輸入輸出之間復(fù)雜的概率關(guān)系［1］.

和決策樹模型一樣，混合專家模型也是一種將預(yù)測問題分而治之的方法.相比于決策樹模型使用硬的判決條件對(duì)輸入空間進(jìn)行分割，使用概率模型的混合專家模型可以認(rèn)為是一種軟分割的方法［2］.混合專家模型使用的門函數(shù)決定了每個(gè)樣本由不同專家預(yù)測的概率，也相當(dāng)于對(duì)于每個(gè)樣本分配了一組將子模型組合時(shí)的權(quán)值，之后用計(jì)算得到的概率權(quán)值把不同的專家模型的預(yù)測結(jié)果組合起來［3］.

混合專家模型中的門函數(shù)和專家模型的選取有較大的自由，通常使用簡單的線性模型來構(gòu)建專家模型以建模輸入輸出之間局部的線性關(guān)系［1，4?5］.另外也常使用高斯過程來構(gòu)建非線性的專家模型［6?7］.混合專家通常使用多類分類的softmax函數(shù)作為門函數(shù)來計(jì)算每個(gè)樣本由不同專家進(jìn)行預(yù)測的概率［5，8］.文獻(xiàn)［4］使用了多層的門函數(shù)，構(gòu)建一個(gè)類似于決策樹的多層混合專家模型.

近年來，隨著各種特征選擇方法的發(fā)展，學(xué)者們將特征選擇與混合專家模型進(jìn)行了結(jié)合，從而將混合專家模型推廣到了處理高維數(shù)據(jù)上.文獻(xiàn)［9］將L1懲罰加入到高斯混合模型訓(xùn)練的EM算法中以誘導(dǎo)稀疏的高斯模型均值.文獻(xiàn)［8，10］沿著將L1正則和EM算法結(jié)合的思路，提出利用L1正則方法來使得混合專家模型的門函數(shù)和專家模型都只使用部分稀疏特征.L1范數(shù)正則的稀疏化方法需要設(shè)置適當(dāng)?shù)恼齽t系數(shù)，這些L1正則和EM結(jié)合的方法通常都使用交叉檢驗(yàn)的算法來估計(jì)正則系數(shù).為了減小交叉檢驗(yàn)的計(jì)算量，文獻(xiàn)［8，10］中所有的專家模型和門函數(shù)都使用統(tǒng)一的正則系數(shù).然而在實(shí)際中不同的專家模型可能需要使用的特征和特征數(shù)目都不相同，這種統(tǒng)一的正則懲罰可能會(huì)降低模型的泛化性能.另外由于訓(xùn)練混合模型時(shí)使用的EM算法不能保證每次都收斂到全局的最優(yōu)解，只能夠得到局部的極大值點(diǎn)，收斂得到的最終結(jié)果受到迭代初始值的影響，因此交叉檢驗(yàn)的性能差異并不能完全確定是否是由于使用了不同的正則化系數(shù)而導(dǎo)致的.上面的這些原因?qū)е铝耸褂肔1范數(shù)正則對(duì)混合專家模型進(jìn)行特征選擇在實(shí)踐中使用的困難.

稀疏貝葉斯方法是另外一種常用的特征選擇的方法.稀疏貝葉斯方法不像L1范數(shù)正則一樣可以歸結(jié)到的一個(gè)凸優(yōu)化問題而能夠保證收斂到全局最優(yōu)值，它是一種概率的方法并且只能保證收斂到局部極值點(diǎn)［11?12］.稀疏貝葉斯方法的主要優(yōu)點(diǎn)在于不需要預(yù)設(shè)一個(gè)正則參數(shù)，避免了繁雜的參數(shù)選擇問題.對(duì)于混合專家模型而言，由于訓(xùn)練多個(gè)模型混合就無法保證收斂到全局的最優(yōu)，并且模型本身也是從概率角度進(jìn)行描述的，因此用稀釋貝葉斯方法來進(jìn)行模型特征選擇更加自然并且計(jì)算也更加簡便.文獻(xiàn)［5］使用了稀疏貝葉斯方法來選擇混合的高斯專家模型的特征，但是其門函數(shù)使用的softmax函數(shù)難以使用合適的先驗(yàn)分布，使得后驗(yàn)分布具有容易計(jì)算的解析形式，因此他們的方法只能選擇專家模型特征而不能選擇門函數(shù)的特征.本文將probit模型［13］引入到混合專家模型的門函數(shù)建模中，用全貝葉斯方法建立了一種稀疏的混合專家模型，這種模型能夠自動(dòng)地確定不同的專家模型和門函數(shù)使用的特征并且不依賴于人為的設(shè)置的參數(shù)，因此新提出的模型適用于分析高維的輸入數(shù)據(jù).文獻(xiàn)［14］提出了一種貝葉斯混合專家模型方法.本文與其主要區(qū)別在于本文的模型更注重于高維數(shù)據(jù)的特征選擇.為了進(jìn)行特征選擇，本文提出的模型使用了不同的先驗(yàn)分布和門函數(shù).本文提出的這種全貝葉斯的混合專家模型的框架也很容易使用其他的先驗(yàn)分布來進(jìn)行推廣，以提取具有其他性質(zhì)的專家模型或者門函數(shù).

本文主要是為了解決不同條件下的光譜數(shù)據(jù)多元校正問題.在光譜數(shù)據(jù)分析中，很多時(shí)候整個(gè)光譜數(shù)據(jù)集中的樣本是在不同的條件下搜集的.如果我們能夠確定光譜數(shù)據(jù)的來源，就可以對(duì)不同的來源的高維光譜數(shù)據(jù)分別建立回歸模型.但當(dāng)數(shù)據(jù)來源不確定時(shí)候，如果單純只是將不同來源的數(shù)據(jù)放在一起用統(tǒng)一的線性模型估計(jì)的話可能會(huì)產(chǎn)生較大的誤差，特別是部分環(huán)境中的樣本點(diǎn)很小的時(shí)候［15］.在光譜分析中為了分析來自不同來源的數(shù)據(jù)以及將一種環(huán)境中建立好的模型運(yùn)用到另外不同的環(huán)境中人們提出了很多特殊的光譜校正遷移的算法［16］.為了避免線性模型在建模數(shù)據(jù)來源復(fù)雜時(shí)預(yù)測精度下降的問題，很多非線性方法如支持向量機(jī)等也都被引入到了光譜多元校正中［17?21］.但是這樣的模型忽視了在同一個(gè)環(huán)境中光譜數(shù)據(jù)和預(yù)測值通常是具有線性關(guān)系的.因此本文將混合專家模型引入到光譜數(shù)據(jù)分析之中，混合專家模型能夠把搜集于不同環(huán)境中的光譜數(shù)據(jù)首先用門函數(shù)來進(jìn)行分類，然后劃分到不同的專家模型進(jìn)行預(yù)測，更加符合光譜分析中非線性產(chǎn)生的根源.

近年來為了分析來自不同來源的但是相互之間具有內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)據(jù)，多任務(wù)學(xué)習(xí)（Multi-task learning）的方法得到了人們廣泛關(guān)注［22?29］.多任務(wù)學(xué)習(xí)的方法能夠提取多個(gè)相關(guān)的機(jī)器學(xué)習(xí)任務(wù)之間的內(nèi)在聯(lián)系.即使在單個(gè)學(xué)習(xí)任務(wù)的訓(xùn)練樣本不足的時(shí)候，多任務(wù)學(xué)習(xí)的方法也可以利用任務(wù)之間的關(guān)聯(lián)來對(duì)每個(gè)學(xué)習(xí)任務(wù)建立泛化性能較好的模型［22］.多任務(wù)學(xué)習(xí)研究的是在給定多個(gè)學(xué)習(xí)任務(wù)后同時(shí)學(xué)習(xí)多個(gè)學(xué)習(xí)任務(wù)，對(duì)于每個(gè)數(shù)據(jù)樣本都要有一個(gè)任務(wù)標(biāo)簽來判斷是屬于哪一個(gè)任務(wù).而有時(shí)我們并不清楚搜集到的數(shù)據(jù)具體屬于哪個(gè)任務(wù)，不能給這些數(shù)據(jù)一些明確的任務(wù)標(biāo)簽，本文主要研究的是在不能夠給定數(shù)據(jù)來源標(biāo)簽的情況下同時(shí)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行劃分和對(duì)劃分后的數(shù)據(jù)建模.

本文內(nèi)容安排如下：在第1節(jié)回顧了混合專家模型的基本形式，并且提出了新的稀疏混合專家模型.第2節(jié)基于變分推斷方法給出了稀疏混合專家模型的訓(xùn)練算法，以及對(duì)新樣本的預(yù)測算法.第3節(jié)將我們提出的新的模型在一個(gè)人工數(shù)據(jù)集和3個(gè)真實(shí)的多種來源的光譜數(shù)據(jù)集中進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，展示了新的方法的預(yù)測性能.最后第4節(jié)對(duì)全文進(jìn)行了總結(jié).

1　稀疏混合專家模型

在本節(jié)中我們首先簡要回顧經(jīng)典的混合專家模型（Mixture of experts，ME），之后介紹本文的主要貢獻(xiàn)：結(jié)合稀疏貝葉斯方法以及probit模型對(duì)經(jīng)典的混合專家模型進(jìn)行擴(kuò)展后的使用貝葉斯方法選擇稀疏特征的新的稀疏混合專家模型（Sparse mixture of experts，SME）.

1.1混合專家模型

輸入輸出之間的條件概率有時(shí)比較復(fù)雜，難以用單個(gè)的概率模型來描述，混合專家模型采用多個(gè)局部的混合密度來估計(jì)輸入輸出之間的條件概率分布.

設(shè)有K個(gè)局部的概率模型，混合專家模型將條件分布P（y|x）分解為

ME模型假設(shè)輸入輸出的條件概率是多個(gè)局部概率密度的加權(quán)混合，其中局部的概率密度函數(shù)稱為ME模型中的專家，混合系數(shù)稱為門函數(shù).混合專家模型可以認(rèn)為是一種概率上的決策樹模型：其采用概率的門函數(shù)來計(jì)算各個(gè)輸入更適合用哪個(gè)專家預(yù)測.決策樹模型采用硬的分割規(guī)則來分割輸入空間.相對(duì)于一般的概率混合模型，如高斯混合模型.混合專家模型假設(shè)混合模型的加權(quán)系數(shù)與輸入有關(guān)，而概率混合模型中混合系數(shù)認(rèn)為是常數(shù).

ME常采用多元logit模型來定義門函數(shù)：

其中：

采用不同的門函數(shù)和專家模型，可以得到不同的混合專家模型.如對(duì)于分類問題，可采用邏輯回歸模型作為專家模型來進(jìn)行構(gòu)建混合專家分類模型.文獻(xiàn)［4］使用混合專家分類模型作為門函數(shù)得到了一種分層的混合專家模型.

1.2稀疏混合專家模型

當(dāng)輸入數(shù)據(jù)的維數(shù)大于訓(xùn)練樣本數(shù)時(shí)，擬合線性的高斯模型以及線性的多元分類模型都會(huì)出現(xiàn)過擬合問題，因此傳統(tǒng)的混合專家模型不適合處理高維的輸入數(shù)據(jù).而由于高維的輸入特征中通常只有部分的特征與輸出有關(guān)，對(duì)輸入的特征進(jìn)行提取是一種常用的分析高維數(shù)據(jù)的方法.本文將稀疏貝葉斯方法和probit模型與混合專家模型結(jié)合起來，提出一種能夠自動(dòng)提取輸入特征的稀疏混合專家模型.

我們采用全貝葉斯的稀疏的線性回歸模型作為專家模型：

我們采用如下的貝葉斯probit門函數(shù)模型：

其中δ為0-1指示函數(shù)，記00=1，

設(shè)有N個(gè)訓(xùn)練樣本，可以用圖1所示的概率圖模型來表示上述的概率關(guān)系.

本文將文獻(xiàn)［12］提出的稀疏probit分類方法引入到混合專家模型中對(duì)門函數(shù)進(jìn)行建模.相比于文獻(xiàn)［14］中貝葉斯的混合專家模型，本文提出的SME模型中每個(gè)專家的線性高斯模型的系數(shù)的先驗(yàn)分布具有不同的精度，這樣SME模型的訓(xùn)練過程中能夠根據(jù)這些精度的后驗(yàn)分布自動(dòng)地選取特征.SME模型中使用probit模型作為門函數(shù)，可以直接處理多類的貝葉斯分類問題，而文獻(xiàn)［14］需要對(duì)logistic回歸中的sigmoid函數(shù)進(jìn)行近似，并且需要構(gòu)建一個(gè)復(fù)雜的樹結(jié)構(gòu)以使用兩類分類方法來對(duì)多類進(jìn)行分類.文獻(xiàn)［8］采用了L1范數(shù)正則化的方法來獲得稀疏的專家模型系數(shù)和門函數(shù)模型系數(shù)，但文獻(xiàn)［8］中所有的專家模型和門函數(shù)都使用了同樣的正則化參數(shù)，這樣的限制可能會(huì)使得有些專家模型或者門函數(shù)模型使用了過多的特征而出現(xiàn)過擬合，而有些模型的正則化參數(shù)太大而出現(xiàn)欠擬合.如果對(duì)不同的專家使用不同的正則化系數(shù)，文獻(xiàn)［8］中的方法將會(huì)有太多的正則參數(shù)需要事先確定，確定參數(shù)的計(jì)算量過大.文獻(xiàn)［5］和本文一樣使用了稀疏貝葉斯的線性模型作為專家模型.兩者的混合專家模型的門函數(shù)使用的是多元logit模型，當(dāng)把稀疏貝葉斯的思想用到多元logit模型時(shí)，需要在每步迭代中計(jì)算Kp×Kp的Hessian矩陣以及其逆矩陣，計(jì)算量過大.文獻(xiàn)［5］的模型無法對(duì)門函數(shù)進(jìn)行特征選擇，當(dāng)輸入特征的維度很高時(shí)，可能不能得到合適的門函數(shù).

圖1　SME的概率圖模型Fig.1　The probabilistic graph of the SME model

2　變分推斷以及預(yù)測

本節(jié)先通過變分推斷（Variational inference）的方法推導(dǎo)出上面提出的SME模型的訓(xùn)練方法，之后給出當(dāng)出現(xiàn)新樣本時(shí)輸出的預(yù)測方法.

這里記：

θ代表所有模型中未觀測的隱藏變量，

記：

其中L（q）定義為

KL（q||P）定義為

將式（32）代入到式（30），用變分法來極大化L（q），可以得到

這里θi，θj代表式（32）中的因子項(xiàng)，如C，A等.根據(jù)式（33）可以得到一系列的關(guān)于每個(gè)因子分布的方程，式（32）中的每個(gè)因子與其他因子的期望有關(guān)，變分推斷方法即是初始化每個(gè)因子，然后根據(jù)式（33）交替的計(jì)算每個(gè)因子分布并代替當(dāng)前因子分布，一直循環(huán)迭代直到收斂.下面給出專家模型和門函數(shù)中每一個(gè)因子分布的具體計(jì)算方法.

2.1專家模型的變分推斷

專家模型中包含了隨機(jī)變量α ，W，A，根據(jù)式（22），q?（W）滿足：

由于模型中采用了共軛先驗(yàn)，后驗(yàn)估計(jì)q（W）同樣也為高斯分布，其期望與協(xié)方差矩陣分別為和與訓(xùn)練樣本有關(guān).q?（α）滿足：

因此根據(jù)共軛先驗(yàn)，q?（α）同樣也為Gamma分布：

根據(jù)Gamma分布的性質(zhì)有：

稀疏混合專家模型通過參數(shù)A進(jìn)行特征選擇，由式（22）和式（33）可以得到：

可以看出q?（aki）同樣為Gamma分布，

2.2門函數(shù)的變分推斷

在概率圖模型中，隨機(jī)變量V，Z，R，C屬于門函數(shù)模型，其中q（R），q（C）的推斷和上面的專家模型中q（W），q（A）的推斷類似：

其中

從式（45）中可以看出R的后驗(yàn)估計(jì)同樣為高斯分布：

q?（R）的均值和協(xié)方差矩陣分別為和滿足：

我們采用了稀疏貝葉斯的方法設(shè)專家模型和門函數(shù)中關(guān)于每個(gè)特征的擬合系數(shù)的先驗(yàn)分布有著不同的精度，在模型推斷的時(shí)候，大部分精度的后驗(yàn)分布均值即Eak1和Eck1會(huì)變得很大，因此可以剔除很多冗余的特征，達(dá)到特征提取的目的［11］.

q（Z，V）的估計(jì)相對(duì)復(fù)雜：

代入上面的分布函數(shù)可以計(jì)算得到：

根據(jù)前面的模型定義：

結(jié)合g1，g2可以得到：

vn的后驗(yàn)分布估計(jì)的邊緣分布為

似然函數(shù)值下界可以寫成

代入前面設(shè)定的模型的具體分布以及估計(jì)出的后驗(yàn)分布就可以得到極大化的似然函數(shù)值的下界.通過計(jì)算采用不同專家數(shù)時(shí)的不同的似然函數(shù)值的下界可以選擇最優(yōu)的專家個(gè)數(shù).采用probit模型作為門函數(shù)不需要在每步對(duì)門函數(shù)模型的后驗(yàn)概率進(jìn)行近似，而是采用多個(gè)獨(dú)立分布的積利用變分推斷來近似整個(gè)后驗(yàn)分布.在上面的變分推斷中每次關(guān)于門函數(shù)的迭代中需要計(jì)算k個(gè)P×P的矩陣k及其逆，相比于用logit模型計(jì)算1個(gè)KP×KP的Hessian矩陣及其逆的計(jì)算量要小一點(diǎn)，前者的計(jì)算量為O（KP3），后者為O（K3P3）.但是采用probit模型每步迭代時(shí)需要計(jì)算O（K2N）個(gè)一維積分，當(dāng)專家數(shù)過多時(shí)積分的計(jì)算量會(huì)變得很大.

2.3變分預(yù)測分布

其中：

上式的第3行中的積分沒有解析解.由于后驗(yàn)分布一般比較尖銳，可以直接用αk的均值近似在整個(gè)空間中對(duì)后驗(yàn)分布的積分.

其中Sk=｛（v1，v2，···，vk）∈RK|vk＞vj，?j/=k｝，由于：

式（75）等于：

u為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量.可以用下面的高斯混合分布來估計(jì)新樣本輸出ynew的分布：

輸出ynew的期望為

可以將上式作為混合專家模型對(duì)輸出的預(yù)測公式.

3　實(shí)驗(yàn)

本節(jié)中我們首先采用人工生成的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來檢測新提出的SME模型的函數(shù)擬合和特征選擇能力，之后將提出的SME模型運(yùn)用到了三個(gè)真實(shí)的光譜數(shù)據(jù)集中來檢驗(yàn)新提出的方法在光譜數(shù)據(jù)的定量分析中的表現(xiàn).SME模型將與經(jīng)典的混合專家模型，以及幾種常用的回歸方法包括偏最小二乘（Partial least squares，PLS）、支持向量機(jī)回歸（Support vector regression，SVR）、LASSO（Least absolute shrinkage and selection operator）和嶺回歸（Ridge regression）進(jìn)行了比較.其中SVR中采用徑向基函數(shù)（Radial basis function，RBF）作為核函數(shù).在真實(shí)光譜數(shù)據(jù)集中，我們的算法還和使用Bagging方法集成的嶺回歸方法進(jìn)行了比較.SME模型中只需要指定一個(gè)超參數(shù)，即共軛Gamma先驗(yàn)分布的a，b.與PLS、SVR以及LAR中的參數(shù)不同，我們通常希望貝葉斯模型中超參數(shù)對(duì)模型訓(xùn)練的結(jié)果的影響盡量小，因此可以直接指定為一個(gè)很小的值a=10?3，b=10?5.使用這樣很小的超參數(shù)，可以減少SME模型中先驗(yàn)信息對(duì)后驗(yàn)概率分布的影響.其他模型的參數(shù)由5層交叉檢驗(yàn)決定.Bagging集成學(xué)習(xí)方法采用了100次重新抽樣.對(duì)于我們提出的這種稀疏混合專家模型，和文獻(xiàn)［14］一樣，我們使用了確定性退火（Deterministic annealing）的策略來減小迭代初值對(duì)最終得到的模型的影響，確定性退火策略的具體實(shí)現(xiàn)步驟參照文獻(xiàn)［31?32］.

3.1仿真數(shù)據(jù)

我們生成300個(gè)60維的隨機(jī)輸入.隨機(jī)輸入的生成方式如下：首先生成300個(gè)均值為0、協(xié)方差矩陣為UDUT的60維多元高斯分布隨機(jī)數(shù)，其中U為60維的隨機(jī)單位正交矩陣，D為對(duì)角矩陣，其前五個(gè)對(duì)角元為1，剩下的為0.01.之后將這些多元高斯分布隨機(jī)數(shù)的前2維加上平移項(xiàng)，對(duì)前100個(gè)數(shù)據(jù)的前兩維加上平移項(xiàng)（1，1），中間100個(gè)數(shù)據(jù)加上平移項(xiàng)（1，?1），最后100個(gè)數(shù)據(jù)加上平移項(xiàng)（?1，?1）.這樣這些輸入數(shù)據(jù)可以根據(jù)前兩維分成3類.接下來為了生成對(duì)應(yīng)的輸出，我們把這些數(shù)據(jù)的第3到4維按照之前分成的三堆分別乘上3個(gè)隨機(jī)的系數(shù)向量并且加上方差為1的零均值高斯噪聲以生成一維輸出Y，其中隨機(jī)系數(shù)向量服從均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為10的正態(tài)分布.通過上面的步驟我們生成了三堆可用通過前兩維劃分開的，同時(shí)輸出只與輸入的第3、4維有關(guān)的數(shù)據(jù)集.

我們根據(jù)生成的仿真數(shù)據(jù)訓(xùn)練多個(gè)不同專家數(shù)目的SME模型.為了確定最優(yōu)的專家個(gè)數(shù)，分別計(jì)算專家數(shù)為2～6時(shí)的L（q），結(jié)果如圖2所示.從圖2中可以看出當(dāng)專家數(shù)超過3時(shí)，進(jìn)一步增加專家數(shù)模型L（q）反而降低，因此SME模型適合使用3個(gè)專家.圖3和圖4展示了SME模型中專家模型和門函數(shù)的代表擬合系數(shù)精度的隨機(jī)變量A、C的均值.根據(jù)稀疏貝葉斯方法，矩陣A、C中對(duì)應(yīng)特征的精度值越大，特征的對(duì)應(yīng)系數(shù)就越集中到0.因此大精度值對(duì)應(yīng)的特征就可以刪去，從圖3和圖4中可以看出SME模型成功的找出了與專家模型相關(guān)的第3、4維特征，以及與門函數(shù)相關(guān)的第1、2維特征.

圖2　不同專家數(shù)時(shí)的似然函數(shù)下界Fig.2　Plot of the lower bound L（q）versus the number of experts

圖3　專家模型在不同維度上的精度矩陣A的后驗(yàn)均值Fig.3　The means of the coefficients of expert models

圖4　門函數(shù)在不同維度上的精度矩陣C的后驗(yàn)均值Fig.4　The means of the coefficients of gate function

最后來檢驗(yàn)生成的數(shù)據(jù)對(duì)輸出預(yù)測效果，這里采用均方誤差值（Root mean square error，RMSE）來作為各種方法的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，設(shè)有n個(gè)測試樣本RMSE值的定義如下：

其中yi是真實(shí)的輸出值，而i是預(yù)測值，我們用5層交叉檢驗(yàn)的方法來計(jì)算預(yù)測結(jié)果，每次選取300個(gè)樣本中的20% 的樣本作為測試樣本，剩下的80%樣本作為訓(xùn)練樣本.表1給出了采用PLS、SVR、LAR、經(jīng)典的混合專家模型（ME）以及我們提出的SME方法的預(yù)測誤差.對(duì)于這種有大量多余噪聲維數(shù)同時(shí)可以用少量幾個(gè)線性模型描述的數(shù)據(jù)集，SME方法取得了最好的預(yù)想結(jié)果，預(yù)測誤差最接近貝葉斯誤差1.0.而線性的PLS、LASSO、Ridge方法都不能很好地預(yù)測這類數(shù)據(jù).由于具有大量的噪聲維度，非線性的SVR方法的預(yù)測效果也很差.表1顯示了經(jīng)典的混合專家模型無法處理高維數(shù)據(jù)，因此在之后對(duì)光譜數(shù)據(jù)的實(shí)驗(yàn)中我們只考慮使用SME模型，不再進(jìn)行和經(jīng)典ME模型的比較.

表1　在人工數(shù)據(jù)集上的預(yù)測結(jié)果Table 1　The prediction results in the artificial data set

3.2光譜數(shù)據(jù)

我們使用三個(gè)真實(shí)的光譜數(shù)據(jù)集來展示我們的算法在光譜分析中的應(yīng)用效果，這三個(gè)數(shù)據(jù)集都是使用紅外光譜來對(duì)物質(zhì)含量或者濃度來進(jìn)行預(yù)測.第1個(gè)數(shù)據(jù)集是玉米光譜數(shù)據(jù)集，數(shù)據(jù)集下載地址為：http：//software.eigenvector.com/Data/Corn/ index.html，這個(gè)數(shù)據(jù)集包括了240條由三個(gè)不同的光譜儀測量的玉米樣本的紅外光譜以及其對(duì)應(yīng)的蛋白質(zhì)含量、脂肪含量、水分含量以及淀粉含量，我們只進(jìn)行對(duì)水分的預(yù)測.玉米光譜的波長范圍為1100nm～2498nm，每隔2nm測量光譜在該波長上的吸收度，這樣玉米數(shù)據(jù)集的輸入樣本為240個(gè)700維的向量.而進(jìn)行預(yù)測的輸出的水分濃度的范圍為9.38%～10.99%.第2個(gè)數(shù)據(jù)集是來自于IDRC Shootout 2002的藥品數(shù)據(jù)集，這個(gè)數(shù)據(jù)集包含了由兩個(gè)紅外儀器測654個(gè)樣本得到的1308條光譜以及對(duì)應(yīng)藥品成分含量，這個(gè)數(shù)據(jù)集的輸入為從600nm～1898nm每隔2nm進(jìn)行記錄的1308個(gè)650維的向量，預(yù)測輸出為在152nm～239mg范圍內(nèi)的藥品有效成分的含量.第3個(gè)數(shù)據(jù)集是來自于文獻(xiàn)［15］的溫度數(shù)據(jù)集，包含了19個(gè)水，乙醇等混合物樣本在30?C～70?C時(shí)測得的95條光譜數(shù)據(jù)，我們研究對(duì)乙醇的預(yù)測.溫度數(shù)據(jù)集的輸入為850nm～1049nm間每隔1nm測量的95個(gè)200維向量，預(yù)測輸出為濃度范圍為0%～100%的乙醇濃度.我們首先使用玉米數(shù)據(jù)集的所有240個(gè)樣本訓(xùn)練了一個(gè)使用3個(gè)專家的SME模型.圖5顯示了這個(gè)SME模型的專家模型的回歸系數(shù)的均值，即式（35）中的W的后驗(yàn)估計(jì)q（W）的均值k，k=1，2，3.從圖5中可以看出每個(gè)專家模型都只使用了部分的波長，這顯示了SME模型可以實(shí)現(xiàn)特征選擇的目標(biāo).

圖5　根據(jù)玉米數(shù)據(jù)集的全部樣本訓(xùn)練的三個(gè)專家的SME模型的專家模型回歸系數(shù)的均值Fig.5　The means of the coefficients of the three expert models of SME trained with the corn data set

由于貝葉斯方法不需要進(jìn)行參數(shù)選擇，對(duì)于新提出的SME模型，我們只需要將數(shù)據(jù)分成訓(xùn)練集和測試集，用訓(xùn)練集上數(shù)據(jù)來訓(xùn)練SME模型，然后用測試集上的數(shù)據(jù)來檢驗(yàn)預(yù)測效果.和PLS、SVR等模型不同，SME模型不需要一個(gè)獨(dú)立的驗(yàn)證集來選擇模型參數(shù).為了充分利用所有的訓(xùn)練樣本，我們直接使用交叉檢驗(yàn)誤差來評(píng)估SME模型在真實(shí)光譜數(shù)據(jù)集上的預(yù)測效果.對(duì)于其他需要選擇參數(shù)的建模方法，我們給出了使得交叉檢驗(yàn)誤差最小的模型參數(shù)的RMSECV（Root mean square error of cross validation）值.對(duì)于玉米數(shù)據(jù)集，我們將240個(gè)樣本用5層交叉檢驗(yàn)的方法來劃分訓(xùn)練集和驗(yàn)證集.每次選擇192個(gè)樣本作為訓(xùn)練集，選擇剩下的48個(gè)樣本作為驗(yàn)證集.對(duì)于藥品數(shù)據(jù)集，我們和文獻(xiàn)［33］一樣首先去掉了部分異常樣本，之后對(duì)剩下的1208個(gè)樣本同樣進(jìn)行5層交叉檢驗(yàn)來選擇部分模型的參數(shù)和評(píng)價(jià)不同模型預(yù)測結(jié)果.最后對(duì)溫度數(shù)據(jù)集的不同溫度下的95個(gè)樣本計(jì)算交叉檢驗(yàn)的均方誤差.實(shí)驗(yàn)的三個(gè)光譜數(shù)據(jù)集包含了每條光譜的測量儀器或者測量環(huán)境信息，這樣我們也可以根據(jù)測量儀器或者測量環(huán)境的不同，將濃度預(yù)測問題劃分成幾個(gè)子問題，然后用多任務(wù)學(xué)習(xí)的方法來分別對(duì)不同儀器或者不同環(huán)境的光譜數(shù)據(jù)建立預(yù)測模型.我們實(shí)驗(yàn)了多任務(wù)學(xué)習(xí)中的L2，1范數(shù)正則的方法以同時(shí)對(duì)子問題建模和提取模型間的共有稀疏特征［27，34］.三個(gè)數(shù)據(jù)集中不同建模方法的預(yù)測誤差如表2～4所示.

表2　玉米光譜數(shù)據(jù)集的預(yù)測結(jié)果Table 2　The prediction results in corn data set

表3　溫度數(shù)據(jù)集的預(yù)測結(jié)果Table 3　The prediction results in temperature data set

從表2～4可以看出在三個(gè)數(shù)據(jù)集中，SME方法都取得了最好的預(yù)測結(jié)果，這說明對(duì)于光譜數(shù)據(jù)采用混合專家模型方法將幾個(gè)線性模型組合，能夠得到比單一線性模型更好的結(jié)果.在不知道光譜來源的情況下，SME方法的預(yù)測結(jié)果甚至還優(yōu)于知道光譜測量儀器或者測量環(huán)境時(shí)的共同稀疏特征提取的多任務(wù)學(xué)習(xí)方法（Multi-task）.與多任務(wù)學(xué)習(xí)方法不同，SME方法可以在不明確光譜數(shù)據(jù)來源的情況下根據(jù)輸入輸出數(shù)據(jù)自動(dòng)地對(duì)輸入樣本進(jìn)行分類，之后再分別建立模型.在對(duì)光譜數(shù)據(jù)建模的問題上比多任務(wù)學(xué)習(xí)方法更加靈活：因?yàn)橛袝r(shí)可能沒有記錄光譜的來源.與非線性的方法相比，SME的預(yù)測結(jié)果在三個(gè)數(shù)據(jù)集上也優(yōu)于采用高斯核函數(shù)建模的SVR方法.實(shí)驗(yàn)結(jié)果說明當(dāng)不知道光譜數(shù)據(jù)的來源時(shí)，SME方法可以自動(dòng)地構(gòu)建適合不同環(huán)境中的光譜數(shù)據(jù)的預(yù)測模型，同時(shí)判斷模型的適用范圍，相比于單一的模型能夠取得更好的預(yù)測結(jié)果.

集成學(xué)習(xí)的方法將多個(gè)線性模型進(jìn)行集成后最終得到的還是線性模型.和集成學(xué)習(xí)方法（如Boosting、Bagging方法）不同，SME方法得到的模型可以用多個(gè)分段的線性模型來建模更加復(fù)雜的非線性關(guān)系，也更適合建模不同環(huán)境中搜集到的光譜數(shù)據(jù).由于基于決策樹的回歸方法，如隨機(jī)森林（Random forest，RF）、GDBT（Gradient boosting decision tree）等，無法建模線性關(guān)系，而理論上光譜數(shù)據(jù)和預(yù)測濃度在很大的一個(gè)范圍內(nèi)都滿足適當(dāng)?shù)木€性關(guān)系，我們沒有實(shí)驗(yàn)基于樹模型的集成學(xué)習(xí)方法.我們將SME方法和采用了Bagging進(jìn)行集成的嶺回歸方法進(jìn)行了比較，從實(shí)驗(yàn)結(jié)果中可以看出采用Bagging方法進(jìn)行集成后的嶺回歸模型的預(yù)測誤差比原有的嶺回歸模型的預(yù)測誤差在玉米和溫度數(shù)據(jù)集上有很大的降低，但仍然高于SME方法.這是因?yàn)镾ME用多個(gè)分段線性函數(shù)構(gòu)建預(yù)測模型，更符合光譜預(yù)測數(shù)據(jù)中的非線性產(chǎn)生的根源，也就能夠取得更好的預(yù)測結(jié)果.盡管我們?cè)谟?xùn)練模型時(shí)采用了確定性退火的策略，但當(dāng)專家個(gè)數(shù)較多時(shí)，混合模型的優(yōu)化結(jié)果將受到初值影響，因此實(shí)驗(yàn)中采用了較小的專家個(gè)數(shù).為了減小初值影響，同時(shí)避免計(jì)算過程中產(chǎn)生奇異點(diǎn)，需要研究如何在混合模型訓(xùn)練時(shí)同時(shí)對(duì)專家進(jìn)行合并與重新分割.另一方面，SME模型的計(jì)算量隨著專家個(gè)數(shù)的增加而會(huì)變得很大，當(dāng)專家個(gè)數(shù)較多時(shí)，每個(gè)專家模型的訓(xùn)練樣本可能會(huì)出現(xiàn)不足，這些都可能會(huì)限制SME模型建立更加復(fù)雜的非線性模型和在其他高維的數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用.將混合專家模型和多任務(wù)學(xué)習(xí)方法進(jìn)行結(jié)合可能是解決專家個(gè)數(shù)較多時(shí)訓(xùn)練樣本不足的一種途徑.最后將這種SME方法的學(xué)習(xí)框架擴(kuò)展到提取其他的專家模型以及門函數(shù)的結(jié)構(gòu)也是我們接下來需要進(jìn)一步研究的目標(biāo).

表4　藥片光譜數(shù)據(jù)集的預(yù)測結(jié)果Table 4　The prediction results in pharmaceutical data set

4　結(jié)論

本文利用稀疏貝葉斯方法和probit模型分類方法提出一種新的稀疏的混合專家模型.這種模型利用了稀疏貝葉斯方法的自動(dòng)相關(guān)判決技術(shù)來選擇混合專家模型的門函數(shù)和專家模型的特征，并且利用probit模型構(gòu)建門函數(shù)得到了一個(gè)全貝葉斯的混合專家模型.相對(duì)于現(xiàn)有混合專家模型中的特征選擇方法，本文提出的方法不需要使用交叉檢驗(yàn)來調(diào)整模型參數(shù)，避免了使用EM算法收斂到局部極值點(diǎn)時(shí)對(duì)交叉檢驗(yàn)結(jié)果的影響.之后我們將提出的新的模型運(yùn)用到了多來源的光譜數(shù)據(jù)的多元校正的建模之中，本文提出的模型可以為這種多個(gè)來源的光譜數(shù)據(jù)分別建立合適的線性模型，并判斷各個(gè)模型所適用的光譜數(shù)據(jù).在幾個(gè)真實(shí)的光譜數(shù)據(jù)集上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文提出的模型相對(duì)于光譜多元校正常用的支持向量機(jī)和偏最小二乘方法在預(yù)測精度上有一定的提高.

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俞斌峰中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)自動(dòng)化系博士研究生.2010年獲得中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)自動(dòng)化系學(xué)士學(xué)位.主要研究方向?yàn)闄C(jī)器學(xué)習(xí)和光譜分析.本文通信作者.E-mail:ybfeng@mail.ustc.edu.cn

（YU Bin-FengPh.D.candidate in the Department of Automation，University of Science and Technology of China.He received his bachelor degree from University of Science and Technology of China in 2010.His research interest covers machine learning and spectral analysis.Corresponding author of this paper.）

季海波中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)自動(dòng)化系教授.1984年獲得浙江大學(xué)力學(xué)與機(jī)械工程系學(xué)士學(xué)位，1990年獲得北京大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)系理學(xué)博士學(xué)位.主要研究方向?yàn)榉蔷€性及自適應(yīng)控制.E-mail:jihb@ustc.edu.cn

（JI Hai-BoProfessor in the Department of Automation，University of Science and Technology of China.He received his bachelor degree and Ph.D.degree in mechanical engineering from Zhejiang University and Beijing University，in 1984 and 1990，respectively.His research interest covers nonlinear control and adaptive control.）

Sparse Bayesian Mixture of Experts and Its Application to Spectral Multivariate Calibration

YU Bin-Feng1JI Hai-Bo1

In spectral multivariate calibration，high dimensional spectral data are often measured on different conditions. To predict the property value of a spectrum without knowing its source，a new sparse Bayesian mixture experts（ME）model is proposed and applied to the multivariate calibration model for selecting the sparse features.The technique of mixture of experts can divide the training data into some different classes and estimate the different predictive functions for each class.Therefore，ME is suitable for prediction of multiple-source spectral data.To analyze high dimensional spectral data，the new ME model employs the sparse Bayesian method to select certain features without tuning parameters.Moreover，the multinomial probit model is used as the gate function to obtain the analytic posterior distribution in this model.This new method is compared with some classical multivariate calibration methods on artificial and some real-world datasets. Experimental results show the advantage of proposed model for high dimensional spectral data.

Multivariate calibration，mixture of experts，feature selection，variational inference

Manuscript April 29，2015；accepted August 31，2015

10.16383/j.aas.2016.c150255

Yu Bin-Feng，Ji Hai-Bo.Sparse Bayesian mixture of experts and its application to spectral multivariate calibration.Acta Automatica Sinica，2016，42（4）:566?579

2015-04-29錄用日期2015-08-31

國家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃（863計(jì)劃）（AA2100100021）資助

Supported by National High Technology Research and Development Program of China（863 Program）（AA2100100021）

本文責(zé)任編委賈云得

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1.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)自動(dòng)化系合肥230027

1.Department of Automation，University of Science and Technology of China，Hefei 230027