數(shù)字帶阻濾波器的設(shè)計及畸變矯正

及少勇+李龍譚+張洪飛+郭漢明

摘要：

在研究數(shù)字信號處理的過程中，可以采用數(shù)字帶阻濾波器方法來進行消除交流電產(chǎn)生的工頻干擾，但是傳統(tǒng)的數(shù)字濾波器在起始位置存在畸變。利用雙線性變換的方法將模擬帶阻濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字帶阻濾波器，借助離散時間系統(tǒng)中Z變換后的系統(tǒng)函數(shù)設(shè)計相應的數(shù)字帶阻濾波器，以此來去除被測信號中的干擾信號，并通過兩種簡單算法來消除數(shù)字濾波器在起始位置的畸變。對一仿真混合正弦信號進行測試，試驗表明，該濾波器可以很好地消除50 Hz 的工頻干擾，且該方法具有設(shè)計簡單、應用方便、實用性強等特點。

關(guān)鍵詞：

帶阻濾波器； 雙線性變換； 畸變

中圖分類號： TP 302.1文獻標志碼： Adoi： 10.3969/j.issn.1005-5630.2016.04.012

Abstract：

In the study of digital signal processing，digital band-stop filter approach is used to resolve power frequency interference which is from the alternating current.However，distortion is generated in the starting position with traditional digital filter.Using the system function in the Z-transform of discrete-time system，and converting analog-stop filter to bilinear digital-stop filter，we design an appropriate digital band-stop filter to remove the signal interference.It can eliminate the digital filter distortion of the starting position.Simulation results of a mixed sinusoidal signal show that the interference signal could be eliminated at 50 Hz frequency by the designed filter.The method has the advantages of simple design，convenient application，strong practicability and so on.

Keywords：

band-stop filter； bilinear transformation； distortion

引言

在信號采集中經(jīng)常會采到帶有工頻干擾的信號，工頻干擾是由交流供電的基頻和各高次諧波導致的諧波干擾，會對激光共焦掃描顯微鏡等光學儀器設(shè)備的圖像采集造成干擾，導致拍攝的圖像分辨率下降。所以如何在保留有用信號的同時有效地消除這一干擾，對信號處理有著重要的實際意義[1]。

數(shù)字濾波的功能就是對輸入序列通過一定的數(shù)字運算以實現(xiàn)濾除其中不需要的頻率成分，而輸出有用的序列[2]。數(shù)字濾波器包括有限沖激響應（FIR）濾波器和無限沖激響應（IIR）濾波器兩大類型，在相同技術(shù)指標下，IIR濾波器比FIR濾波器需要的階數(shù)低，而且還可以利用模擬濾波器的許多現(xiàn)成的設(shè)計公式、數(shù)據(jù)和表格，計算的工作量小，執(zhí)行速度快，并且所用的存儲單元少[3-4]。而在IIR濾波器的設(shè)計中，雙線性變換法不僅能克服沖激響應不變法在設(shè)計高通帶阻濾波器時出現(xiàn)頻域混疊的缺點，而且易于設(shè)計。

然而，由于雙線性變換是非線性變換，這種方法有其局限性：其一，會產(chǎn)生相移畸變，即濾波后的信號與原始信號之間存在相位差，這種畸變的矯正可以利用零相位矯正算法來消除[5]；其二，濾波后信號的起始位置會產(chǎn)生畸變，即在起始位置濾波效果不是很理想。本文主要介紹二階IIR帶阻濾波器的設(shè)計方法和對起始位置畸變的矯正方法。

數(shù)字濾波器的角頻率為ω=2πfT，其中f為數(shù)字頻域中的頻率，T為采樣周期。模擬頻域中的角頻率Ω與數(shù)字頻域中的角頻率ω的關(guān)系是非線性的，可以用公式表示[8]為

通過此式可以由要設(shè)計的數(shù)字濾波器的中心頻率和帶寬計算出模擬濾波器的Ω0和B值。

綜合上述可知，濾波器的帶寬決定了a的取值，濾波器阻帶的中心頻率決定了b的取值。因此，在設(shè)計數(shù)字帶阻濾波器的時候可以先由帶寬和中心頻率計算出a和b，然后用式（3）設(shè)計相應的帶阻濾波器。假設(shè)要濾除50 Hz的工頻信號，采樣頻率為1 000 Hz，帶寬為5 Hz，那么可以求出a=0.97，b=0.951，則系統(tǒng)函數(shù)為

系統(tǒng)的零極點分布和幅頻響應如圖1和圖2所示。

由圖1可以看出，零點位于單位圓上，極點離零點很近，零極點的抵消作用明顯。由圖2頻響特性曲線可以看出，濾波器的阻帶較窄，過渡帶較為陡峭，在歸一化頻率0.1處幅值為0，能對50 Hz的干擾信號很好濾除。

用x（n）表示信號的輸入序列，y（n）表示信號的輸出序列，則系統(tǒng)的差分方程為

可以看到信號經(jīng)過濾波后濾波效果相當明顯，但是在起始位置濾波效果還很差，原因是在迭代過程中沒有考慮濾波器的初始條件，剛開始點少，沒能用到濾波器全部系數(shù)。當數(shù)據(jù)較短，而濾波器的階數(shù)又比較高時，這種畸變會帶來較大的負面影響。

為了克服濾波器的上述問題，本文提出兩種方法來進行調(diào)整：一種是將信號進行延拓，在信號的起始位置前加上一段信號，經(jīng)過濾波器后再將首部去掉；另一種是規(guī)定信號濾波后的初始化條件。設(shè)在這兩種方法中，信號序列均為x（n），n=0，1，…，N，兩種方法如下。

（1） 信號延拓的方法

首先，對信號序列x（n）的首部進行擴展，在x（n）前面添加K個數(shù)據(jù)，擴展后的序列記為x′n，n=0，1，…，N+K。

其次，進行濾波，將x′（n）通過式（5）濾波后的序列記為y′（n），n=0，1，…，N+K。

最后，刪除y′（n）的擴展部分，將y′（n）的前K個數(shù)據(jù)刪除，得到y(tǒng)（n）=y′（n+K），n=0，1，…，N。

運用以上算法，假設(shè)K=200，再一次對式（6）信號進行濾波，得到濾波后的輸出信號波形如圖5所示。從圖中可以看到處理后的信號達到了預期的要求，在起始位置處沒有產(chǎn)生畸變。

（2） 規(guī)定信號濾波后的初始化條件

這種方法是將信號序列經(jīng)過濾波器后的初始值進行定性規(guī)定，也就是在濾波的過程中，將濾波后的序列y（n）的前幾個序列值進行定性規(guī)定。因為本文濾波器的系統(tǒng)函數(shù)是二階數(shù)字濾波器，所以只需定性規(guī)定濾波后輸出序列的第一個值y（0）和第二個值y（1）。讓y（0）為一個噪聲周期的平均值，使y（1）=y（0），那么初始化條件為

初始化后再從n=2開始進行式（5）的濾波，其中T′=采樣頻率/噪聲頻率，這里T′=20。

通過此種方法對式（6）信號進行濾波，輸出后的信號波形如圖6所示。圖7是圖6起始位置部分的放大。

從圖6和圖7可以看到處理后的信號同樣達到了預期的要求，只是起始位置前幾個點較為平滑，但并不影響濾波后的整體效果，這種影響可以忽略。

3結(jié)論

帶阻濾波器在數(shù)字信號處理領(lǐng)域中有著廣泛的應用，設(shè)計出可靠、頻譜特性良好的帶阻濾波器有著重要意義。本文提出了一種數(shù)字帶阻濾波器的設(shè)計方法，即基于雙線性變換的方法將模擬帶阻濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字帶阻濾波器。應用實例表明，這種方法設(shè)計的帶阻濾波器會產(chǎn)生一定的畸變，通過文中給出的兩種方法能夠簡單有效地消除這種畸變，并且由比較可知，方法2更為簡單。

本文所設(shè)計的濾波器成功地濾去了信號的所有諧波干擾，完整地保留了有用信號，達到了設(shè)計要求。

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