兩層介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)潛體內(nèi)波的數(shù)值計(jì)算

盛　立，王　沖，劉巨斌

（1. 中國(guó)人民解放軍92537部隊(duì)，北京 100161；2. 海軍工程大學(xué)，湖北 武漢 430033）

兩層介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)潛體內(nèi)波的數(shù)值計(jì)算

盛立1，王沖2，劉巨斌2

（1. 中國(guó)人民解放軍92537部隊(duì)，北京 100161；2. 海軍工程大學(xué)，湖北 武漢 430033）

基于勢(shì)流理論，采用 Hess-Smith 方法，對(duì)兩層介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)潛體內(nèi)波的進(jìn)行數(shù)值計(jì)算研究，得到表面波和內(nèi)波波形與水深佛魯?shù)聰?shù)、潛深之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。并通過(guò)計(jì)算無(wú)限水深中運(yùn)動(dòng)橢球體引起的興波阻力對(duì)自編程序進(jìn)行驗(yàn)證。

潛體；內(nèi)波；兩層流體；邊界元

0　引　言

潛艇以其在海洋中的隱蔽性和機(jī)動(dòng)性的特點(diǎn)發(fā)揮了其他艦種難以起到的作用。由于海水溫度和鹽度分布的不均勻性，導(dǎo)致了其密度的層化特性，在這樣的分層流體中，內(nèi)波像表面波一樣存在，只要海水密度穩(wěn)定分層，且有擾動(dòng)源存在，內(nèi)波就會(huì)產(chǎn)生。在海洋深處運(yùn)動(dòng)的潛艇在海洋表面會(huì)形成內(nèi)波尾跡，可以通過(guò)星載或機(jī)載合成孔徑雷達(dá)（SAR）獲得這種尾跡的信息 這對(duì)發(fā)展?jié)擉w的非聲探測(cè)技術(shù)非常重要。

目前，比較多的理論研究工作是基于勢(shì)流理論，針對(duì)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)源等在分層流體中的興波問(wèn)題。Keller，Munk［1］進(jìn)行了分層流體中物體生成的內(nèi)波尾跡的理論研究，給出了任意色散介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)源生成的尾流方程式和尾流的遠(yuǎn)場(chǎng)和近場(chǎng)的波形圖。Miles［2］對(duì)于均勻分層和有溫躍層結(jié)構(gòu)的流體，研究了船體效應(yīng)和尾跡塌陷效應(yīng)導(dǎo)致的內(nèi)波，指出自由面形變率參數(shù)在內(nèi)波與自由面相互作用中具有重要作用。Hughes［3］研究了表面船生成的表面尾跡和內(nèi)波尾跡，并提供了內(nèi)波尾跡的形式。Tulin等［4］進(jìn)行了超臨界情況下淺躍層的船內(nèi)波研究。Timour［5］將 Yeung， Nguyen［6］的兩層流體模型推廣至多層流體系統(tǒng)，利用攝動(dòng)方法，分析了內(nèi)波對(duì)自由面波的影響。Wei［7］則研究了在兩層流體中定常運(yùn)動(dòng)的偶極子的興波特性問(wèn)題。朱偉［8］從 Green 定理出發(fā)，基于 Rankin 源的分層邊界積分理論模型研究?jī)蓪佑邢奚盍黧w中運(yùn)動(dòng)潛體的興波特性問(wèn)題。本文基于勢(shì)流理論，采用 Hess-Smith 方法，對(duì)兩層介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)潛體的內(nèi)波進(jìn)行數(shù)值計(jì)算研究，得到表面波和內(nèi)波波形與航速、潛深之間的關(guān)系。

1　基本方程和邊界條件及數(shù)值計(jì)算方法

設(shè)海水為兩層介質(zhì)，上層水的密度為ρ1，深度為H1；下層水的密度為ρ2，深度為H2；總水深為H。潛體在上層（或下層）介質(zhì)中以速度 U∞勻速直線(xiàn)航行，潛體的下潛深度為H0。將坐標(biāo)系固結(jié)在勻速運(yùn)動(dòng)的潛體上，原點(diǎn) o位于未擾動(dòng)的水面上，x 軸與潛體軸線(xiàn)平行，方向與潛體運(yùn)動(dòng)方向相反，z 軸垂直向上，在此坐標(biāo)系中觀察，遠(yuǎn)方流體以速度 U∞沿 x 方向流向潛體（見(jiàn)圖1）。

圖1　潛體在兩層流體中運(yùn)動(dòng)示意圖Fig. 1　Sketch map of submerged body in two-layer fluid

設(shè)流體是無(wú)粘性流體，流動(dòng)無(wú)旋，則流體流動(dòng)可以用勢(shì)流理論求解。上、下兩層流體的擾動(dòng)速度勢(shì)分別記為φ1和φ2。則 φ1和φ2滿(mǎn)足的基本方程分別為：

在定常流動(dòng)和小擾動(dòng)條件下，在自由面上，運(yùn)動(dòng)學(xué)條件為：

動(dòng)力學(xué)條件為：

將式（3）代入式（4）得到自由面上運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)結(jié)合條件為：

在小擾動(dòng)條件下，潛艇表面上滿(mǎn)足的邊界條件為：

在定常流動(dòng)和小擾動(dòng)條件下，在分層界面上，運(yùn)動(dòng)學(xué)條件為：

在分層界面上，動(dòng)力學(xué)邊界條件為：

將式（8）代入式（9）得得到分層界面上運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)結(jié)合條件為：

在海底的邊界條件為：

自由面波高的計(jì)算公式為：

分層界面波高的計(jì)算公式為：

采用常數(shù)密度的邊界元法（Hess-Smith 方法）求解上述基本方程和邊界條件。在物體表面、自由表面、分界面和水底劃分四邊形單元，在每個(gè)單元上分布常數(shù)密度的面源，采用 Dawson 的方法，通過(guò)兩次采用迎風(fēng)差分的方法［9］，解出面源密度。進(jìn)而計(jì)算出上層和下層流體的流動(dòng)速度勢(shì)和速度。根據(jù)式（12）計(jì)算自由表面波高，根據(jù)式（13）計(jì)算內(nèi)波波高。

2　算　例

采用 C 語(yǔ)言開(kāi)發(fā)了計(jì)算潛艇在兩層分層介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生內(nèi)波和表面波的邊界元計(jì)算程序。潛艇或其他模型可以在上層或下層流體中運(yùn)動(dòng)，可以對(duì)無(wú)限水深和有限水深工況進(jìn)行計(jì)算。通過(guò)命令窗口，輸入相關(guān)參數(shù)后進(jìn)行計(jì)算，表面波和內(nèi)波波高通過(guò)條用 Matlab計(jì)算引擎繪出。

2.1無(wú)限水深下均勻環(huán)境橢球體興波阻力計(jì)算

圖2　橢球體興波阻力系數(shù)Fig. 2　wave-making resistance coefficient of ellipsoid

2.2SUBOFF 光體模型計(jì)算結(jié)果分析

由于計(jì)算模型與xoz平面對(duì)稱(chēng)有關(guān)，只對(duì)xoz平面一側(cè)表面進(jìn)行離散。采用鏡像法考慮另一側(cè)的影響。半個(gè)光體表面的面元數(shù)目為1 000個(gè)，其中沿軸向 50個(gè)單元，周向?yàn)?0個(gè)單元（見(jiàn)圖3）。自由表面的范圍取為：潛艇頭部 500 m，尾部 2 000 m，側(cè)面 800 m，自由表面一半的面元數(shù)目為15 000個(gè)，其中沿縱向?yàn)?00個(gè)單元，橫向?yàn)?0個(gè)單元。所以總面元數(shù)目為16 000個(gè)。

圖3　SUBOFF 半光體表面單元Fig. 3　Panels of half suboff bare body surface

采用放大 20 倍 SUBOFF 光體模型，H1=45 m，H2=100 m，考慮密度比 γ=0.974 時(shí)，表面波模式的臨界佛魯?shù)聰?shù)Fr1=0.997，內(nèi)波模式的臨界佛魯?shù)聰?shù) Fr2=0.077 4，其中，F(xiàn)m由式（14）確定。

圖4～圖6為在潛深 30 m 時(shí)，不同水深佛魯?shù)聰?shù)情況下的表面波和內(nèi)波波形。在水深佛魯?shù)聰?shù)比較小時(shí)（見(jiàn)圖4），表面波和內(nèi)波以橫波為主，影響范圍比較小；在接近內(nèi)波模式的臨界佛魯?shù)聰?shù) Fr2時(shí)（見(jiàn)圖5），表面波和內(nèi)波中散波和橫波的波形都比較明顯；在水深佛魯?shù)聰?shù)比較大時(shí)（見(jiàn)圖6），表面波和內(nèi)波以散波為主。

圖4　H0=30 m，F(xiàn)h=0.034Fig. 4　H0=30 m， Fh=0.034

圖5　H0=30 m，F(xiàn)h=0.068Fig. 5　H0=30 m， Fh=0.068

圖7為在潛深30 m 時(shí)，不同水深佛魯?shù)聰?shù)情況下表面波和內(nèi)波波峰和波谷（圖中內(nèi)波數(shù)據(jù)為計(jì)算值加上 H1的結(jié)果）。從圖中可以看出，隨著水深佛魯?shù)聰?shù)的增加，表面波的波峰和波谷在增加；而內(nèi)波的波峰和波谷在接近內(nèi)波模式的臨界佛魯?shù)聰?shù) Fr2時(shí)均接近最大值，在大于 Fr2時(shí)，內(nèi)波的波峰和波谷變化趨于平緩。

圖8和圖9為Fh=0.068（航速為5 kn）時(shí)，不同潛深時(shí)的表面波和內(nèi)波波形。結(jié)合圖5可看出，表面波和內(nèi)波波形，在同一航速、不同潛深的情況下，分布是相似的，但當(dāng)潛體位于下層流體時(shí)，波峰與波谷的位置剛好與潛體位于上層流體時(shí)相反。

圖6　H0=30 m，F(xiàn)h=0.102Fig. 6　H0=30 m， Fh=0.102

圖7　H0=30 m，表面波和內(nèi)波的波峰和波谷Fig. 7　Peak and trough of surface wave and internal wave for H0=30 m

圖8　H0=37.5 m，F(xiàn)h=0.068 表面波和內(nèi)波Fig. 8　Surface wave and internal wave for H0=60 m， Fh=0.068

圖9　H0=60 m，F(xiàn)h=0.068 表面波和內(nèi)波Fig. 9　Surface wave and internal wave for H0=60 m， Fh=0.068

3　結(jié)　語(yǔ)

采用常數(shù)密度的邊界元法可以求解潛體在分層流中定常運(yùn)動(dòng)引起的表面波和內(nèi)波問(wèn)題。在水深佛魯?shù)聰?shù)比較小時(shí)，表面波和內(nèi)波以橫波為主，影響范圍比較小；在接近內(nèi)波模式的臨界佛魯?shù)聰?shù) Fr2時(shí)，表面波和內(nèi)波中散波和橫波的波形都比較明顯，且內(nèi)波的波高和波峰均接近最大值；在水深佛魯?shù)聰?shù)比較大時(shí)，表面波和內(nèi)波以散波為主。在同一航速、不同潛深的情況下，分布相似，但當(dāng)潛體位于下層流體時(shí)，波峰與波谷的位置剛好與潛體位于上層流體時(shí)相反。

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Numerical simulation of internal waves caused by moving submerged body in two-layer fluid

SHENG Li1， WANG Chong2， LIU Jiu-bin2
（1. No. 92537 Unit of PLA， Beijing 100161， China； 2. Naval University of Engineering， Wuhan 430033， China）

Based potential flow theory， internal waves caused by moving submerged body in two-layer fluid is simulated numerically using Hess-Smith method. The correspondence between patterns of surface wave， internal wave and Froude number of water deep， diving depth is obtained. Program is verified by simulating wave-making resistance of ellipsoid moving in a finite water-depth.

submerged body；internal waves；two-layer fluid；boundary-element method

U661.1

A

1672-7619（2016）09-0060-05

10.3404/j.issn.1672-7619.2016.09.011

2016-03-31；

2016-05-05

國(guó)防預(yù)研資助項(xiàng)目（1010401030502）

盛立（1984-），男，博士，工程師，研究方向?yàn)榕灤傮w。