OFDM水聲通信多普勒頻移的最大似然估計

郭鐵梁，任敦亮，郝俊才，姜洪喜

(黑龍江科技大學 理學院，哈爾濱 150022)

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OFDM水聲通信多普勒頻移的最大似然估計

郭鐵梁，任敦亮，郝俊才，姜洪喜

(黑龍江科技大學 理學院，哈爾濱 150022)

針對水聲信道的時間、空間及頻率變化特性，以及由于發(fā)射機和接收機之間相對運動產(chǎn)生的多普勒頻移對OFDM子載波間正交性的破壞問題，提出一種OFDM水聲通信系統(tǒng)多普勒頻移的估計方法，用于估計和補償接收機的多普勒頻移。該方法以O(shè)FDM數(shù)據(jù)塊為研究對象，假設(shè)在一個OFDM數(shù)據(jù)塊內(nèi)多普勒因子不隨路徑變化，采用最大似然估計算法估計多普勒頻移，通過仿真分析系統(tǒng)多普勒因子臨界值，并將多普勒因子估計方差與克拉美羅界進行比較。結(jié)果表明：系統(tǒng)存在一個信噪比范圍并-15～0 dB，此時估計方差最接近于克拉美羅界。該方法還可以給出系統(tǒng)多普勒因子的臨界值，能夠保證在不同信道條件下估計參數(shù)的一致性，提高了多普勒因子的估計精度。

水聲通信； 正交頻分復用； 多普勒頻移； 最大似然估計； 克拉美羅界

0　引　言

正交頻分復用(Orthogonal frequency division multiplexing,OFDM)技術(shù)能夠很好地解決由多徑效應而引起的頻率選擇性衰落問題，因此，在水聲無線通信領(lǐng)域已廣泛應用。水聲信道存在時空頻變特性，加之發(fā)射機和接收機存在相對運動，由此產(chǎn)生了多普勒頻移。這種頻移影響載波跟蹤和信號同步，也破壞OFDM子載波間的正交性。

對于OFDM水聲通信系統(tǒng)多普勒頻移估計問題，近年來，研究者提出多種解決方法。早期的研究是通過在OFDM信號中添加訓練序列或?qū)ьl對多普勒頻移進行估計[1-3]。Shaif等[4]提出在數(shù)據(jù)塊首尾添加一對已知波形的線性調(diào)頻(Linear frequency modulation,LFM)信號，然后在接收端利用相關(guān)器檢測數(shù)據(jù)塊前后的LFM信號，通過測量上述兩個LFM信號之間的數(shù)據(jù)塊在時間上的伸縮變化來估計多普勒因子。計算出多普勒因子之后，通過對該數(shù)據(jù)塊進行采樣率轉(zhuǎn)換就可以補償多普勒頻移，傳輸距離為100～3 000 m，誤碼率為4×10-3。此后,Beaujean等[5]又進行了改進，這種方法簡單適用，得到了廣泛的應用。但上述方法的應用是有前提條件的，即假設(shè)在一個數(shù)據(jù)塊持續(xù)時間內(nèi)收發(fā)雙方的多普勒頻移不變。由于這種方法是將整個數(shù)據(jù)塊緩存后進行相應地計算與處理，如果在接收的過程中收發(fā)雙方的相對速度發(fā)生了改變，這種方法將引起較大的誤差。

S.Mason等[6]提出了利用一系列并行自相關(guān)器對數(shù)據(jù)塊的同步信號進行相關(guān)運算來估算多普勒因子的方法。張翔采[7]用模糊函數(shù)法處理多普勒問題也屬于上述方法。這類方法不需要緩存整個數(shù)據(jù)塊就能夠進行相應的處理與運算，且可以控制系統(tǒng)的估計精度。這樣接收端就可以根據(jù)不同情況進行相應的系統(tǒng)設(shè)置。這種方法的缺點是硬件數(shù)量及計算復雜度很高。

崔健等[8]提出了幾種處理OFDM水聲通信系統(tǒng)多普勒頻移的方法。其中一種方法是采用循環(huán)前綴相關(guān)估計多普勒因子，并利用線性插值重采樣的方法進行多普勒校正。文獻[8]還綜合利用循環(huán)前綴和訓練序列進行多普勒估計與補償。另外，常娟等[9]提出利用功率譜的分布對最大多普勒頻移進行估計。這種方法復雜度低、精度較高，但該算法在多徑的情況下效果不理想。M.Stojanovic等[10]將水聲信道的多普勒頻移估計和補償分兩步，分別是寬帶補償和窄帶補償[10]，2013年，M.Stojanovic在文獻[2]中又采用了多倍重采樣技術(shù)對多普勒頻移進行補償。而文獻[11]采用中繼前向放大與重采樣技術(shù)相結(jié)合的方法估計和補償多普勒頻移。陳陽等[12]通過水上實驗對兩種OFDM系統(tǒng)多普勒頻偏估計算法進行了對比，其中基于拷貝相關(guān)時延差估計的多普勒估計算法結(jié)構(gòu)簡單、易于實現(xiàn)，而基于空載波的算法較復雜，但精度較高。徐小卡[13]提出了在頻域測量多普勒展縮因子的算法，即在發(fā)射端發(fā)送頻率已知的單頻信號，然后在接收端對該信號進行測頻，這樣通過頻率的變化就可獲得多普勒因子，再利用循環(huán)前綴估計窄帶多普勒頻移。文獻[14]主要采用了基于過采樣與線性插值的寬帶多普勒頻移估計與補償，然后再采用基于多普勒因子候選值與空載波能量相結(jié)合的窄帶多普勒頻移估計。

上述文獻中多種多普勒頻移的估計方法在算法的精度、運算量或硬件設(shè)備的復雜度等幾個方面各有優(yōu)缺點，但并沒有討論算法在不同系統(tǒng)中的一致性問題，即同一方法對系統(tǒng)不同條件下的適應性問題。筆者綜合考慮上述問題，提出一種OFDM水聲通信系統(tǒng)接收機多普勒頻的最大似然估計方法，給出了這種估計方法的克拉美羅界(Cramer rao bound,CRB)。

1　信號與系統(tǒng)模型

1.1OFDM的數(shù)學描述

如果一組二進制數(shù)據(jù)在發(fā)射端被傳送，首先將該組數(shù)據(jù)映射成為N個復數(shù)序列{d[0]，d[1]，…,d[N-1]}，再對這一復數(shù)序列做逆離散傅里葉變換(Inverse discrete fourier transform,IDFT)，則得到N個新復數(shù)序列{s[0]，s[1]，…,s[N-1]}，其中,

(1)

(2)

因此，式(2)表示的是一個多個載波調(diào)制信號的和。其相鄰子載波間的頻率之差為

Δf=fk-fk-1=1/N·Δt=1/T。

如果以Δt的時間間隔把序列{s[0]，s[1]，…,s[N-1]}進行數(shù)模轉(zhuǎn)換，濾波輸出后得到的連續(xù)信號形式：

(3)

在接收端，對式(3)接收到的連續(xù)信號，以Δt為時間間隔進行采樣，然后進行離散傅里葉變換(Discrete fourier transform,DFT)，則復數(shù)序列{d[0]，d[1]，…,d[N-1]}可以得到恢復，進而通過與接收端相反的映射關(guān)系恢復出二進制數(shù)據(jù)。為減少計算量，提高系統(tǒng)效率，通常采用快速傅里葉變換算法代替離散傅里葉變換進行計算。

1.2OFDM水聲通信系統(tǒng)的多普勒頻移

一般情況下，多普勒頻移Δfd由聲速、收發(fā)設(shè)備之間的相對速度以及信號傳輸方向和徑向速度之間的夾角所決定。如圖1所示，A為發(fā)射機，C為接收機，當發(fā)射機相對于接收機以速度v從A點向B點方向移動時(B表示v的方向)，Δfd的計算：

Δfd=(v/c)·f·cosφ，

(4)

式中：v——發(fā)送設(shè)備相對于參照物的運動速度，m/s；

c——水中聲波的傳播速度，m/s；

f——信號的傳輸頻率，Hz；

φ——AC與AB的夾角，rad。

最簡單的情況是φ=0，再令a=v/c，則式(4)變?yōu)?/p>

Δfd=a·f，

(5)

式中:Δfd——多普勒頻移；

a——多普勒因子。

圖1　發(fā)射機與接收機之間相對運動引起的多普勒頻移

Fig.1Doppler shift caused by relative motion between transmitter and receiver

用T表示OFDM符號的周期(無保護間隔)，各子載波頻率間隔Δf=1/T，設(shè)子載波數(shù)量為N，則第k個子載波的頻率表示為

fk=fc+kΔf,k=0,1,…,N-1，

式中：fc——中心載波頻率。

在一個OFDM符號周期T內(nèi)，第k個子載波上所傳送的復數(shù)信息符號用d[k]表示，則系統(tǒng)所傳送的帶通信號：

(6)

由于水聲信道的多徑效應，其沖激響應表示為

(7)

式中：p——多徑數(shù)；

Ap(t)——第p個路徑信號的幅值；

δ(t)——單位沖激信號；

τp(t)——第p個路徑的時延。

為簡化研究過程，假設(shè)各路徑具有相同的幅值A(chǔ)p和相同的多普勒因子a，則有：

(8)

再設(shè)在一個OFDM符號周期T內(nèi)，式(8)中Ap、τp和a均為常數(shù)，則系統(tǒng)接收到的帶通信號：

(9)

式中:n(t)——基帶信號中的加性高斯噪聲。

式(9)中存在兩處頻率偏移[10]：

(1) 寬帶多普勒頻移。OFDM符號周期由T變?yōu)門/(1+a)。這時每一子載波都發(fā)生了與該子載波頻率和a有關(guān)的多普勒頻移ej2πkaΔft。

(2) 窄帶多普勒頻移。所有子載波共同產(chǎn)生了一個與中心載波和a有關(guān)的多普勒頻移ej2πafct。

在實際的水聲通信系統(tǒng)中，當水下聲速為c=1 500 m/s，并且發(fā)射機和接收機的最大相對運動速度為vmax=6 m/s時，產(chǎn)生的多普勒因子為amax=1±0.004。而對于陸上無線電磁通信，當電磁波速為c=3×108m/s,vmax=60 m/s，時，amax=1±2×10-7。針對上述數(shù)據(jù)，對于一個1 024點的OFDM符號，水聲信道大約產(chǎn)生一個四倍采樣周期的時延，而對于陸上無線電磁通信，則僅產(chǎn)生一個2×10-4倍采樣周期的時延。由此可見，多普勒頻移對于OFDM水聲通信系統(tǒng)所產(chǎn)生的嚴重影響。因此，在接收端對OFDM符號解調(diào)之前，必須對多普勒效應所產(chǎn)生的信號展縮與載波頻移進行估計，然后加以補償與校正，否則就會產(chǎn)生嚴重的子載波間干擾和誤碼率。

多普勒效應在時域上表現(xiàn)為接收信號的壓縮或伸展，這種影響通常表示為

y(t)=s[(1+a)t]，

(10)

式中：s(t)——發(fā)射信號；

y(t)——具有多普勒頻移的接收信號。

式(10)表示的是模擬信號，y(t)在接收端被采樣后可寫成離散時間信號形式：

y[m]=s[(1+a)m]，

式中：m——整數(shù)。

在已知多普勒因子a的條件下，對接收信號y[m]進行重采樣，就可以在接收端恢復原信號：

(11)

如果將式(9)寫成離散時間信號形式，設(shè)奈奎斯特采樣周期為T/N，可得：

(12)

由式(11)，對式(12)進行采樣率轉(zhuǎn)換，略去噪聲項，得：

(13)

只有再進一步消除窄帶多普勒頻偏對接收信號的影響，OFDM信號才能順利通過DFT進行解調(diào)。因此，接收端對基帶信號s(m)進行寬帶多普勒頻移補償之后，還必須進行CFO補償：

(14)

經(jīng)式(13)和式(14)的補償算法之后，就可大幅減小多普勒效應對OFDM水聲通信系統(tǒng)所產(chǎn)生的影響，降低由此而引起的子載波間干擾，以恢復子載波間的正交性，進而能夠順利進行DFT運算。因此可知，多普勒因子a的估計算法或方法是解決多普勒頻移的一個關(guān)鍵問題。

2　最大似然估計與克拉美羅界

2.1多普勒因子a的最大似然估計

為了突出研究問題的重點，需做一些必要的簡化工作。對于式(12)，只保留一條路徑，在理想均衡與同步的前提下，只存在噪聲和多普勒效應對接收信號的影響。式(12)簡化為

y(m)=x[m](a)+n[m]，

(15)

其中,

考慮到接收端由于多普勒效應使信號發(fā)生展縮，對整數(shù)m的取值范圍加以修正。設(shè)m的范圍為，0≤m≤M-1，M應根據(jù)保護間隔的長度加以確定。

下面定義三個矩陣：

Y=[y[0]，y[1]，…，y[M-1]]T,

X(a)=[x[0](a)，x[1](a)，…，x[M-1](a)]T,

N=[n[0]，n[1]，…，n[M-1]]T,

式中：Y——接收到的總信號；

X(a)——接收信號中受到多普勒效應影響的有效成分；

N——接收信號中均值為0，方差為σ2的噪聲。

根據(jù)式(15)，可得到上述三個矩陣關(guān)系：

Y=X(a)+N。

為了應用最大似然方法對多普勒因子a進行估計，應將X(0)作為已知條件，可以認為接收機已知某一OFDM數(shù)據(jù)塊的全部信息，對于這一數(shù)據(jù)塊相當于沒有多普勒效應的影響，或者說a=0。下面就利用接收機接收到的這一數(shù)據(jù)塊的實際數(shù)據(jù)Y以及X(0)，對多普勒因子a進行最大似然估計?；谏鲜黾僭O(shè)，有：

故

(16)

下面構(gòu)造似然函數(shù)，概率密度函數(shù)為

式中：0≤m≤M-1。

最大似然函數(shù)為

對上述似然函數(shù)取自然對數(shù):

(17)

將式(17)對a取一階導數(shù)：

X(a)HX(a)]

(18)

式(18)中，YHY表示OFDM數(shù)據(jù)塊的能量。當子載波數(shù)量足夠大時，這一數(shù)值近似為常數(shù)，所以其導數(shù)為0，這樣式(18)可以近似表示：

(19)

最后，根據(jù)相應的求極值的算法，即可求出多普勒因子的最大似然估計值:

2.2克拉美羅界

(20)

對式(19)進行展開計算：

(21)

然后式(21)兩邊對a再求一次導數(shù)：

又由于

E[(Y-X(a))]=E[(Y-X(a))H]=E[N]=0，

所以式(20)變換為

根據(jù)式(16)，

所以

(22)

由式(22)可知，對于多普勒因子估計的CRB主要由復數(shù)信號和采樣的點數(shù)所決定。采樣點數(shù)越大，CRB越小。

3　系統(tǒng)仿真分析

3.1仿真參數(shù)

通過計算機仿真驗證上述關(guān)于多普勒頻移最大似然估計新算法的性能。設(shè)水聲信道的最大時延擴展為l ms，這一時延與1～5 km范圍內(nèi)的淺水信道的實際通信情況是相符合的。系統(tǒng)仿真部分參數(shù)詳細說明，參見表1。

表1　OFDM系統(tǒng)仿真主要參數(shù)

該仿真系統(tǒng)載波中心頻率設(shè)為20 kHz，所能處理的最大多普勒頻移為40～80 Hz。這個數(shù)值相當于相對運動速度為6～12 kn的發(fā)射機與接收機之間所產(chǎn)生的多普勒頻移。仿真系統(tǒng)平均分配所有子載波的功率和頻率間隔。為了簡化研究過程，文中仿真過程采用非編碼方式，多徑數(shù)據(jù)采用表2數(shù)據(jù)[15]。

表2水聲信道多徑幅度衰落和相對時延

Table 2Amplitude fading and relative delay related with multipath in UWA channel

路徑相對時延/ms幅度衰落1 00.419702 1.40.293903 1.80.09388

3.2多普勒頻移對誤碼率的影響

采用表2數(shù)據(jù)對此進行了仿真，分別采用1徑信道和3徑信道進行研究。結(jié)果表明，對于一定子載波數(shù)的OFDM水聲通信系統(tǒng)，存在一個多普勒頻移的臨界值，如果多普勒頻移超過此值，OFDM信號中攜帶的有效信息就會受到破壞。仿真結(jié)果如圖2所示，在系統(tǒng)FFT點數(shù)為2 048，載波頻率為20 kHz的情況下，當多普勒因子達到3×10-5時，系統(tǒng)的誤碼率已經(jīng)超過了10-2。另外，在多徑情況下，多普勒頻移對于系統(tǒng)誤碼率的影響也是有所上升的。

圖2　多普勒頻移對誤碼率的影響

3.3最大似然值與多普勒固子的關(guān)系

設(shè)一種極限情況信噪比為0，1徑信道主要受多普勒頻移和加性高斯白噪聲的影響，對于接收到的數(shù)據(jù)進行最大似然估計，在上述仿真系統(tǒng)的條件下，如圖3所示，當多普勒因子a=0.003時，似然函數(shù)達到最大值。對于3徑信道，主要采用表2中的數(shù)據(jù)，在這種情況下，得到的似然函數(shù)最大值所對應的多普勒因子依然近似為a=0.003，這說明最大似然估計法，對于同一OFDM發(fā)射系統(tǒng)，在不同路徑數(shù)信道的情況下，對于多譜勒頻移的估計存在一致性。

圖3　最大似然函數(shù)值與多普勒因子的關(guān)系

Fig.3Relationship of maximum likelihood function and Doppler factor

3.4估計方差與低信噪的關(guān)系

首先通過仿真得到克拉美羅界，然后在1徑信道和3徑信道的情況下分別得到多普勒因子的估計方差與信噪比的關(guān)系曲線。圖4表示的是信噪比較低的情況，當多普勒因子的數(shù)量級為10-5時，可近似認為估計方差的數(shù)量級為10-10。從圖4可以看到，這時克拉美羅界線上所對應的信噪比大約為-15 dB，又根據(jù)圖2的結(jié)論，這一信噪比也是系統(tǒng)的臨界值(這一臨界值會隨信號和多普勒因子的改變而發(fā)生變化)。從圖4中的1徑信道和3徑信道曲線也可以看出，當系統(tǒng)的信噪比低于上述臨界值時，多普勒因子的估計方差會大幅上升。另外，圖5中高信噪比曲線也表明在信噪比從-15～0 dB之間，多普勒因子的估計方差的變化規(guī)律基本遵從克拉美羅界。當信噪比高于0 dB時，估計方差會出現(xiàn)地板效應。這時估計方差會逐漸高于克拉美羅界。這種情況主要與極值搜索算法有關(guān)，此文不做詳細討論。

圖4　估計方差與低信噪比的關(guān)系

圖4和圖5中多普勒因子的估計方差與信噪比的關(guān)系，也可以用圖6的星座圖更加直觀地加以說明。由圖4可見，多徑現(xiàn)象對于多譜勒因子方差的影響可以暫不考慮。圖6a和6b說明在信噪比-22 dB和-20 dB之間存在一個多普勒因子的臨界值，對于這個系統(tǒng)只要多普勒頻移超過這個臨界值，系統(tǒng)的誤碼率就會急劇上升。對于圖6c和6d，信噪比分別為-10 dB和5 dB,說明多普勒頻移在此段信噪比區(qū)間對于系統(tǒng)的誤碼率的影響程現(xiàn)緩慢變化關(guān)系。

圖5　估計方差與高信噪比的關(guān)系

a　信噪比-22 dB　　　　　b　信噪比-20 dB

c　信噪比10 dB　　　　　d　信噪比5 dB

4　結(jié)　論

結(jié)合水聲信道的特點，分析OFDM水聲通信系統(tǒng)多普勒頻移理論模型，采用最大似然的方法對多普勒頻移進行估計。計算機仿真驗證了最大似然估計法，給出了最大似然估計方差的下限——克拉美羅界，將多普勒因子的估計方差與克拉美羅進行了比較，得出：

(1)最大似然估計方法可以用來初步判定系統(tǒng)的多普勒頻移的臨界值。

(2)對于某一OFDM水聲通信系統(tǒng)，存在多普勒因子估計方差最接近于克拉美羅界的信噪比范圍。

(3)在不同路徑數(shù)的情況下，最大似然估計法對OFDM水聲通信系統(tǒng)多普勒因子估計具有一致性。

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(編輯晁曉筠)

Maximum likelihood estimation for Doppler shift of OFDM underwater acoustic communication

GUO Tieliang，REN Dunliang，HAO Juncai，JIANG Hongxi

(School of Sciences,Heilongjiang University of Science &Technology,Harbin 150022,China)

This paper proposes an improved method capable of estimating and compensating the Doppler effects at the receiving end,an approach designed for working with the metabolic time,space and frequency of underwater acoustic(UWA) channel,and above all overcoming the notorious effect on the orthogonality among subcarriers by the Doppler frequency shift resulting from the relative motion between transmitters and receivers.The proposed method building on the OFDM data block and on the assumption that Doppler factor does not change with the path during one block works by estimating the Doppler frequency shift using the maximum likelihood estimation algorithm;providing the simulation analysis of the critical value of Doppler factor,combined with the maximum likelihood algorithm;and ultimately comparing the variance of the factor with the Cramer Rao bound(CRB).The results show that the system features a rang of SNR(-15—0 dB provided in this paper),allowing the estimation variance to be the most close to the CRB.The method capable of giving the threshold value of Doppler shift,and thereby ensuring the consistency of the estimated parameters in different channel conditions could contribute to an improvement in the estimation precision of Doppler factor.

underwater acoustic communication;orthogonal frequency division multiplexing;Doppler shift;maximum likelihood estimation;Cramer Rao bound

2016-05-01

黑龍江省自然科學基金項目(F2015018)

郭鐵梁(1971-),男,黑龍江省雙城人,副教授,博士,研究方向：現(xiàn)代通信系統(tǒng)與通信技術(shù)，E-mail:guotieliang@hrbeu.edu.cn。

10.3969/j.issn.2095-7262.2016.03.015

TN929.3

2095-7262(2016)03-0304-07

A