考慮溫度效應(yīng)的多層粘彈性矩形板的動力響應(yīng)

張震東，馬大為，任　杰，何　強(qiáng)，高　原，王　旭

(1.南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京　210094；2.第二炮兵裝備研究院，北京　100094)

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考慮溫度效應(yīng)的多層粘彈性矩形板的動力響應(yīng)

張震東1，馬大為1，任杰1，何強(qiáng)1，高原2，王旭2

(1.南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京210094；2.第二炮兵裝備研究院，北京100094)

根據(jù)熱粘彈性本構(gòu)模型及時-溫等效原理，結(jié)合Kirchhoff薄板理論，推導(dǎo)了考慮溫度效應(yīng)的多層粘彈性板的板的運(yùn)動微分方程。采用級數(shù)分解和Laplace積分變換相結(jié)合的方法，給出了圓形均布動載荷及溫度載荷聯(lián)合作用下多層板的撓度解析表達(dá)式。采用具有較高精度的BURBIN F方法求解Laplace積分逆變換，在MATLAB軟件中編寫計(jì)算程序，以2層薄板為例分析了初始溫度、表面變溫速率對板動力響應(yīng)的影響。結(jié)果表明，初始溫度越高，板的撓度越大，隨著時間的增長，橫向位移有所增加；變溫速率越大，撓度變化幅度越大；相同幅度的變溫速率下，升溫對撓度的影響大于降溫。

熱粘彈性本構(gòu)；溫度效應(yīng)；薄板理論；動力響應(yīng)；Laplace積分逆變換

0　引言

新型復(fù)合材料板由于具有密度低、力學(xué)性能好等優(yōu)點(diǎn)，近年來被廣泛用于航空航天領(lǐng)域，而這些材料一般都表現(xiàn)出一定的蠕變和應(yīng)力松弛特性，其力學(xué)行為與粘彈性材料相近。因此，國內(nèi)外學(xué)者采用粘彈性理論，對這類板的動態(tài)特性進(jìn)行了較多研究。

國內(nèi)方面，祝彥知等[1]分析了粘彈性地基上粘彈性板的自由振動問題，得到了3種粘彈性模型矩形薄板的固有頻率解析解。彭凡等[2]基于Boltzman積分型本構(gòu)關(guān)系，研究了線粘彈性薄板在考慮幾何線性與非線性時的動力穩(wěn)定特性問題。傅衣銘等[3-4]采用Von Karman板理論和復(fù)合材料單層板的損傷模型，分析了考慮溫度效應(yīng)時板的動力響應(yīng)，但假設(shè)板為均勻變溫，未涉及熱傳導(dǎo)問題。王燕楠等[5-7]則建立了含熱傳導(dǎo)效應(yīng)的粘彈性板耦合非線性動力分析模型，并發(fā)展了相應(yīng)的數(shù)值分析方法。國外學(xué)者也對粘彈性板問題進(jìn)行了相關(guān)研究，Igor Bock[8]采用Von Karman板理論對粘彈性板的大變形問題進(jìn)行了深入研究。Kim Tae Woo等[9]探討了粘彈性層合板的非線性振動問題。Assie A E等[10]基于Mindlin-Reissner薄板理論，對瞬態(tài)載荷下各向異性粘彈性復(fù)合材料板的動力響應(yīng)進(jìn)行了分析，并通過有限元方法得到了數(shù)值解。Saeed Masoumi等[11]采用廣義微分求積法，多角度分析了粘彈性復(fù)合材料板的彎曲問題。Zhou Yin-feng等[12]則應(yīng)用廣義微分求積法，求解了變厚度粘彈性板在各種邊界條件下的自由振動頻率。Raffaele Barretta等[13]基于Kirchhoff薄板理論，給出了各向同性粘彈性功能梯度板的精確解。Dai Hong-liang等[14]在經(jīng)典的薄板理論以及Von Karman非線性應(yīng)變-位移關(guān)系的基礎(chǔ)上，分析了復(fù)合材料窄長板的熱粘彈性動力響應(yīng)。

國外學(xué)者雖然采用多種不同方法研究了粘彈性板的動力響應(yīng)問題，但很少考慮溫度的作用，值得注意的是國內(nèi)一些研究中包含了熱效應(yīng)，多數(shù)學(xué)者只關(guān)注了熱應(yīng)力對單層板運(yùn)動狀態(tài)的影響，并未分析由溫度引起的材料性能的變化對板動力響應(yīng)改變。

本文基于熱粘彈性本構(gòu)模型，結(jié)合時-溫等效原理，并考慮溫度與材料力學(xué)性能的相關(guān)性，采用Kirchhoff薄板理論，以2層粘彈性板為例，分析了板的動力響應(yīng)問題，得到了一些有意義的結(jié)論。

1　熱粘彈性本構(gòu)有溫度效應(yīng)

1.1熱粘彈性本構(gòu)模型

二維狀態(tài)下，變溫粘彈性本構(gòu)為[4,14]

(1)

式中E(t)為松弛模量；μ為泊松比；α為線膨脹系數(shù)；T(t)為平面溫度場；?為Stieltjes卷積運(yùn)算符號。

對式(1)進(jìn)行Laplace變換，并利用Stieltjes卷積的性質(zhì)，可得到：

(2)

1.2變溫條件下的應(yīng)力松弛模量

由M個Maxwell體并聯(lián)組成的廣義粘彈性模型，可解釋復(fù)雜的應(yīng)力松弛現(xiàn)象，參考溫度下的松弛模量可表示為

(3)

式中TR為參考溫度；EK(TR)為第K個Maxwell單元的彈性模量；τK=ηK/EK為松弛時間；ηK(T)為第K個Maxwell單元的粘性常數(shù)。

根據(jù)時-溫等效原理，某一溫度條件下的應(yīng)力松弛過程，可用不同溫度條件下的模量-時間曲線擬合而得。時溫等效可表示為

(4)

式中λT為位移因子。

可用式(5)確定位移因子λT：

(5)

式中δH為材料活化能；R為摩爾氣體常數(shù)。

由時-溫等效原理得到：

(6)

1.3溫度場模型

本文溫度場沿x、y方向均勻分布，于是可假設(shè)變溫速率為

式中ΔT0為多層板上表面變溫速率；H為板總厚。

若板的初始溫度為Tini，則板內(nèi)任一點(diǎn)的溫度為

(7)

將式(7)代入式(5)，則位移因子可寫成：

(8)

2　多層板的內(nèi)力平衡方程

圓形均布載荷作用下多層矩形板模型如圖1所示，由于板的厚寬比很小，故認(rèn)為多層板在動載荷作用下的變形滿足Kirchhoff薄板假設(shè)。

根據(jù)薄板理論假定，可得應(yīng)變分量為

(9)

從多層板中取底邊為dx、dy、高為H的微小六面體為研究對象，分別對x軸、y軸取矩，由力矩平衡方程，以及z方向的力平衡方程得到：

圖1　多層矩形板模型

其中，F(xiàn)(x,y,t)為外載荷；Qx(x,y,t)、Qy(x,y,t)為剪力，且有

式中ρn為第n層板的密度；hn為第n層板板厚；N為板層數(shù)。

分別對式(10)中的第1式、第2式求x、y偏導(dǎo)，并代入第3式，可得到z方向的力平衡方程為

(11)

將式(9)進(jìn)行拉氏變換，并代入式(2)，然后代入Laplace變換后的式(11)，同時根據(jù)溫度x，y方向均勻分布的假定，對ΔT(t)求偏導(dǎo)后，相應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)為0，于是可得到：

其中

3　平衡方程求解

3.1邊界條件及載荷模型

假設(shè)多層板四邊簡支，則邊界條件可表示為

(13)

圓形均布動載荷表達(dá)式如下：

(14)

式中f(t)為載荷平均集度，本文取承載板上載荷平均集度變化規(guī)律為f(t)=0.1×sin4πt，單位為MPa；r為載荷圓形分布區(qū)域半徑；(x0，y0)為圓心坐標(biāo)；H(x,y)為Heaviside階躍函數(shù)。

3.2方程求解

為滿足邊界條件，用三角級數(shù)形式表示板的撓度[15]，如下：

(15)

把載荷函數(shù)展開成三角級數(shù)：

(16)

根據(jù)三角函數(shù)的正交性，求得：

把式(14)代入上式，經(jīng)過整理得到：

(17)

其中

(18)

式中A為載荷作用面圍成的封閉區(qū)域。

將式(15)、式(16)拉氏變換后代入式(12)，經(jīng)過整理后，得到：

(19)

即

(20)

對式(20)進(jìn)行Laplace逆變換并代入式(15)，即可得到板的橫向位移，如式(21)：

(21)

4　算例及參數(shù)影響分析

4.1Laplace積分變換及其逆變換的處理

文中需進(jìn)行Laplace變換的參數(shù)較多，且表達(dá)式繁瑣，故采用高斯-拉蓋爾積分公式[16]進(jìn)行數(shù)值求解。

由于式(21)較復(fù)雜，很難得到Laplace逆變換的解析解。因此，需用數(shù)值的方法進(jìn)行求解。本文采用具有高精度的BURBIN F方法[17-18]，則tj時刻的橫向位移W(x,y,tj)，可表示為

(22)

其中

由文獻(xiàn)[17]可知，對于L×U=50～5 000時，cT∑=5～10時的計(jì)算結(jié)果較好。

4.2算例及結(jié)果分析

在MATLAB軟件中，首先編寫溫度場模型，然后求解位移因子及溫度相關(guān)的松弛模量，并采用高斯-拉蓋爾積分公式進(jìn)行Laplace變換，最后將拉氏變換后的相關(guān)參數(shù)代入式(21)，采用BURBINF方法進(jìn)行逆變換，可得到時域下的板的橫向位移。

以2層矩形板為例分析變溫速率，初始溫度對撓度的影響，除上述2個參數(shù)外，其余參數(shù)取值見表1。

變溫速率為0 ℃/s時，不同初始溫度下板的撓度變化，如圖2所示。

對比不同初始溫度下板撓度的變化幅值，可知：(1)由式(3)可知，松弛模量大小不僅受溫度影響，而且與時間相關(guān)。從式(3)可看出，隨著時間的增加，松弛模量不斷減小，同時由熱粘彈性本構(gòu)方程(1)知，剛度矩陣各元素亦減小，從而引起多層板的承載能力降低，造成振幅的增加。因此，應(yīng)力松弛模量越大，則板的振動幅度越小；松弛模量愈小，多層板的剛度愈小，承載能力愈低。(2)考慮到載荷變化規(guī)律為正弦曲線，多層板應(yīng)首先達(dá)到向下的振動峰值后，經(jīng)過約半個周期，才能產(chǎn)生此振動周期內(nèi)向上的振動峰值。由于時間的推移，此時板的剛度已經(jīng)小于上個峰值時的剛度，故隨著時間的增加，板上下振動的幅度不相等。(3)由于溫度越高材料的粘性特性越明顯，剛度越低，因此初始溫度較高時，板振動幅度較大，且不同溫度下振動峰值到達(dá)時間不相同，溫度較高時，稍微滯后。

表1　參數(shù)取值

表2　Maxwell模型的參數(shù)取值

圖2　不同初始溫度下板的撓度

初始溫度為10 ℃時，不同變溫速率下板的撓度變化如圖3所示。

圖3　不同變溫速率下板的撓度

分析不同變溫速率下板撓度的變化曲線，可看出：(1)變溫速率越大，板的撓度變化幅值越大；(2)由式(5)及式(6)可知相同幅度的變溫速率下，溫度升高造成的松弛模量的減小量大于降溫引起的松弛模量的增加量，就同幅度的變溫速率導(dǎo)致的板剛度變化量而言，升溫要大于降溫。因此，相同的變溫幅度下，溫度升高對撓度的影響大于降溫過程。

5　結(jié)論

采用熱粘彈性本構(gòu)模型及時-溫等效原理，結(jié)合經(jīng)典薄板理論，分析了溫度載荷及圓形均布動載荷聯(lián)合作用下多層粘彈性板的動力響應(yīng)。研究得知，初始溫度及變溫速率對板的橫向位移影響較大，對于粘彈性板的動力響應(yīng)問題，溫度是一個不可忽略的因素。

(1)初始溫度越高，板的剛度愈低，導(dǎo)致多層板的撓度變化幅度越大。

(2)載荷作用時間越長，松弛模量越小，板的橫向位移越大。

(3)變溫速率越大，撓度變化幅度越大；由于板剛度的變化量在同幅度的變溫速率下，升溫要大于降溫，故溫度升高對撓度的影響大于降溫過程。

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(編輯：劉紅利)

Dynamic response of viscoelastic multi-layer rectangle plates considering temperature effect

ZHANG Zhen-dong1, MA Da-wei1, REN Jie1, HE Qiang1, GAO Yuan2, WANG Xu2

(1.Nanjing University of Science and Technology，Nanjing210094，China；2.The Second Artillery Equipment Academy，Beijing100094，China)

On the basis of the thermoviscoelastic constitutive equation, time-temperature superposition principle and classical Kirchhoff thin plate theory, the motion differential equation of viscoelastic multi-layer rectangle plate with temperature was deduced. Then the expression of multi-layer rectangle plate deflection under circle distributed dynamic load and temperature was deduced by combing Laplace integral transformation and triangular series methods. The high-precision method of DURBIN F's numerical inversion of Laplace transforms was successfully used to evaluate the influence of initial temperature, the rate of temperature change on dynamic response of plate. Results indicate that the deflection of plate increases gradually as the value of initial temperature increases. With the increase of time, the deflection is increased too; the greater rate of temperature change, the more obvious magnitude of deflection variation; the effect of heating on deflection is greater than that of cooling under same magnitude of temperature change rate.

thermoviscoelastic constitutive equation；temperature effect；thin plate theory；dynamic response；inversion of Laplace transforms

2015-06-03；

2015-08-11。

裝備預(yù)先研究項(xiàng)目(51328020106)。

張震東(1988—)，男，博士生，研究方向?yàn)楸靼l(fā)射理論與技術(shù)。E-mail:zzd1157@163.com

任杰(1982—)，男，副教授，研究方向?yàn)楸靼l(fā)射動力學(xué)。E-mail:renjie@njust.edu.cn

V414.3

A

1006-2793(2016)04-0542-05

10.7673/j.issn.1006-2793.2016.04.017