基于分?jǐn)?shù)階微積分理論的新型三維末制導(dǎo)律①

葉繼坤，韋道知，李　炯，邵　雷，雷虎民

(空軍工程大學(xué) 防空反導(dǎo)學(xué)院，西安　710051)

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基于分?jǐn)?shù)階微積分理論的新型三維末制導(dǎo)律①

葉繼坤，韋道知，李炯，邵雷，雷虎民

(空軍工程大學(xué) 防空反導(dǎo)學(xué)院，西安710051)

針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截問(wèn)題，設(shè)計(jì)了一種基于分?jǐn)?shù)階微積分理論的新型三維末制導(dǎo)律。首先，介紹了分?jǐn)?shù)階微積分理論的定義及其相關(guān)性質(zhì)，通過(guò)分析彈目攔截的空間幾何關(guān)系，基于傳統(tǒng)比例導(dǎo)引律(Proportional Navigation簡(jiǎn)稱PN)，設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階微積分比例制導(dǎo)律(Fractional order calculus proportional navigation簡(jiǎn)稱FOCPN)；其次，對(duì)設(shè)計(jì)FOCPN制導(dǎo)律的過(guò)載特性及其能量控制特點(diǎn)進(jìn)行研究，通過(guò)分析前置角的變化，研究了FOCPN制導(dǎo)律的彈道平穩(wěn)度；同時(shí)，運(yùn)用小偏量運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，分析了FOCPN對(duì)自動(dòng)駕駛儀參數(shù)變化的魯棒特性。最后，通過(guò)仿真表明，新設(shè)計(jì)的FOCPN制導(dǎo)律制導(dǎo)精度高，攔截時(shí)間短，過(guò)載變化較為平穩(wěn)，解決了傳統(tǒng)PN末端視線角速率發(fā)散導(dǎo)致的過(guò)載激增問(wèn)題，可有效攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)。

分?jǐn)?shù)階微積分；制導(dǎo)；比例導(dǎo)引；過(guò)載；彈道

0　引言

比例導(dǎo)引因其使用簡(jiǎn)單，而被廣泛應(yīng)用[1-3]。然而，傳統(tǒng)的比例導(dǎo)引在攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)時(shí)，由于末端視線角速率快速旋轉(zhuǎn)，容易導(dǎo)致過(guò)載飽和[4-6]，許多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)，設(shè)計(jì)了多種改進(jìn)型比例導(dǎo)引律。文獻(xiàn)[7]利用李亞普諾夫方法，設(shè)計(jì)了針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)和非機(jī)動(dòng)目標(biāo)改進(jìn)型比例導(dǎo)引律，并對(duì)制導(dǎo)參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，解決了視線角速率延遲導(dǎo)致的制導(dǎo)精度低的問(wèn)題。文獻(xiàn)[8]針對(duì)高速非機(jī)動(dòng)目標(biāo)，設(shè)計(jì)了一種可控制末端攻擊角的改進(jìn)型比例導(dǎo)引律，并對(duì)制導(dǎo)律的捕獲區(qū)域進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[9]通過(guò)最小化控制能量，設(shè)計(jì)了一種最優(yōu)化比例導(dǎo)引律，并研究了比例導(dǎo)引系數(shù)對(duì)最優(yōu)化的影響。以上制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)主要是通過(guò)增加PN對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度、視線角速率延遲誤差等控制項(xiàng)來(lái)改善傳統(tǒng)PN的制導(dǎo)性能，主要利用視線角速率的整數(shù)階微分項(xiàng)對(duì)視線角速度的非整數(shù)階微分，一直沒(méi)有深入研究和應(yīng)用。

近年來(lái)，隨著分?jǐn)?shù)階微積分理論的發(fā)展，分?jǐn)?shù)階微積分理論在工程中得到越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)特有的記憶功能、線性系統(tǒng)穩(wěn)定等特點(diǎn)，使其在制導(dǎo)控制領(lǐng)域也得到越來(lái)越多的應(yīng)用。文獻(xiàn)[12]將分?jǐn)?shù)階微積分理論在高超聲速飛行器控制中的應(yīng)用進(jìn)行總結(jié)，與傳統(tǒng)PID相比，分?jǐn)?shù)階微積分控制具有更好的魯棒性和控制精度。文獻(xiàn)[13]將分?jǐn)?shù)階理論用于擴(kuò)散系統(tǒng)，解決輸入磁滯問(wèn)題，通過(guò)最小化積分誤差思想，設(shè)計(jì)了比例型分?jǐn)?shù)階微積分控制器，相對(duì)于整數(shù)型微積分控制器，分?jǐn)?shù)階微積分控制器表現(xiàn)出更好的控制特性。文獻(xiàn)[14]基于Lyapunov穩(wěn)定性理論設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階混沌控制器，該控制器具有較好的響應(yīng)速度和控制精度，并通過(guò)仿真，對(duì)控制算法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。針對(duì)制導(dǎo)炮彈控制系統(tǒng)中系統(tǒng)參數(shù)出現(xiàn)較大的非線性和時(shí)變性等問(wèn)題，文獻(xiàn)[15]將分?jǐn)?shù)階控制器用于其飛行控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中，提出了制導(dǎo)炮彈分?jǐn)?shù)階控制器參數(shù)整定的一種方法，該方法整定出的控制器參數(shù)，使系統(tǒng)具有較強(qiáng)的魯棒性和抗干擾能力，為分?jǐn)?shù)階控制器在制導(dǎo)炮彈控制系統(tǒng)中的應(yīng)用提供了參考。文獻(xiàn)[16]提出了一種基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的彈載SAR成像算法，通過(guò)最優(yōu)化分?jǐn)?shù)階微積分的階次，能對(duì)目標(biāo)區(qū)域精確成像，為末制導(dǎo)提供更加準(zhǔn)確的目標(biāo)信息，提高了制導(dǎo)精度。文獻(xiàn)[17]將分?jǐn)?shù)階微積分理論引入制導(dǎo)領(lǐng)域，設(shè)計(jì)了基于分?jǐn)?shù)階微積分PDλ比例導(dǎo)引規(guī)律。研究表明，設(shè)計(jì)的PDλ制導(dǎo)律可有效提高導(dǎo)彈的攔截性能。文獻(xiàn)[18]通過(guò)對(duì)傳統(tǒng)比例導(dǎo)引進(jìn)行改進(jìn)，針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階修正比例導(dǎo)引，并通過(guò)Lyapunov函數(shù)，證明了設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律能在有效時(shí)間內(nèi)收斂。由于文獻(xiàn)[17-18]制導(dǎo)律研究主要是在二維平面且限制條件較多，在實(shí)際工程應(yīng)用中，缺乏使用價(jià)值。

為克服上述制導(dǎo)律設(shè)計(jì)的缺點(diǎn)，本文針對(duì)三維空間中機(jī)動(dòng)目標(biāo)，研究分?jǐn)?shù)階微積分理論在制導(dǎo)律設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。首先，介紹了分?jǐn)?shù)階微積分的基礎(chǔ)知識(shí)和性質(zhì)；其次，將分?jǐn)?shù)階微積分理論應(yīng)用到飛行器制導(dǎo)律研究中，在三維空間設(shè)計(jì)新型FOCPN；最后，從過(guò)載特性、彈道平穩(wěn)度及制導(dǎo)系統(tǒng)魯棒性等方面，分析FOCPN的制導(dǎo)特性，并進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

1　預(yù)備知識(shí)

定義：對(duì)于分?jǐn)?shù)階微積分算子，通常有如下定義[10-11]：

(1)

式中α為上限；t為下限；p為分?jǐn)?shù)階微積分算子的階數(shù)。

函數(shù)f(t)在定義域上n階可導(dǎo)，m-1

Caputo微分定義：

(2)

Caputo積分定義：

(3)

其中，Γ(x)表示伽馬函數(shù)，它是階乘函數(shù)n！的進(jìn)一步推廣，即它允許n取非整數(shù)或者復(fù)數(shù)，伽馬函數(shù)的定義如下：

(4)

Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的Laplace變換可表示為

(5)

設(shè)函數(shù)f(t)在區(qū)間[a，t]內(nèi)連續(xù)，且n階連續(xù)可導(dǎo)，其n階導(dǎo)數(shù)可表示為

(6)

當(dāng)用非整數(shù)p代替整數(shù)n，并由Γ函數(shù)取代二項(xiàng)式系數(shù)，就可得Grunwald-Letnikov導(dǎo)數(shù)定義：

(7)

從上面推導(dǎo)可看出，整數(shù)階微積分是分?jǐn)?shù)階微積分的特殊形式?？梢哉f(shuō)，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與過(guò)去所有點(diǎn)的信息有關(guān)，包含著完整的歷史信息，而整數(shù)階導(dǎo)數(shù)與最近的幾個(gè)點(diǎn)的信息有關(guān)，只包含局部信息。從式(7)可看出，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)不僅具有記憶功能，而且越近的點(diǎn)影響越大，越遠(yuǎn)的點(diǎn)影響越小[10，19]。

因此，本文利用分?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)的良好記憶功能及其穩(wěn)定性，將分?jǐn)?shù)階微積分相關(guān)理論用于制導(dǎo)律設(shè)計(jì)中。

2　FOCPN制導(dǎo)算法設(shè)計(jì)

導(dǎo)彈和目標(biāo)交戰(zhàn)時(shí)相對(duì)關(guān)系如圖1所示。

圖1中，M導(dǎo)彈，T為目標(biāo)，OXMYMZM表示慣性坐標(biāo)系，OXLYLZL表示視線坐標(biāo)系，r為彈目相對(duì)距離，θL和φL表示視線傾角和視線偏角，θm和φm表示導(dǎo)彈的彈道傾角和彈道偏角，θt和φt表示目標(biāo)航跡傾角和航跡偏角。

圖1　彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系

傳統(tǒng)TPN可表示為

(8)

(9)

(10)

(11)

由式(10)和式(11)可知，分?jǐn)?shù)階比例型制導(dǎo)律主要由兩項(xiàng)組成：一項(xiàng)是與視線角速率整數(shù)階成正比的比例項(xiàng)；第二項(xiàng)是視線角速率分?jǐn)?shù)階微分的修正項(xiàng)，P為分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)，作為比例導(dǎo)引的修正補(bǔ)償系數(shù)。這樣設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律克服了傳統(tǒng)PN制導(dǎo)時(shí)只含有整數(shù)階視線角速率值的情形，包含有視線角速率的歷史信息，能更加全面地描述彈道特性，同時(shí)也更有利于對(duì)導(dǎo)彈的控制。下面將對(duì)設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的彈道特性、過(guò)載特性以及魯棒特性進(jìn)行分析討論。

3　FOCPN制導(dǎo)的彈道特性分析

3.1FOCPN平均過(guò)載分析

在式(10)和式(11)中，令

此時(shí)，F(xiàn)OCPN可表示為

(12)

(13)

根據(jù)FOCPN表達(dá)式可知，制導(dǎo)律的平均過(guò)載可表示為

(14)

在式(14)中，令

其中

同理可得

因此，垂直平面內(nèi)平均過(guò)載可表示為

(15)

同理，可得

(16)

因此，F(xiàn)OCPN的平均過(guò)載可以表示為

(17)

傳統(tǒng)的TPN過(guò)載可表示為

(18)

其中，KTPN1和KTPN2為T(mén)PN平均過(guò)載的系數(shù)。

根據(jù)式(17)和式(18)可知，平均過(guò)載的大小與彈目視線角變化密切相關(guān)，當(dāng)彈目視線角變化較大時(shí)，平均過(guò)載變化較大。數(shù)值仿真運(yùn)算表明，當(dāng)FOCPN與PN比例系數(shù)大小接近時(shí)，分?jǐn)?shù)階TPN與傳統(tǒng)TPN平均過(guò)載大小接近。

3.2FOCPN彈道平直性分析

彈道的起伏大小與視線角增量密切相關(guān)，如果彈目視線角在一個(gè)較小區(qū)域變化，那么導(dǎo)彈的彈道較為平直，這對(duì)導(dǎo)彈執(zhí)行機(jī)構(gòu)要求降低，有利于導(dǎo)彈的設(shè)計(jì)。

導(dǎo)彈和目標(biāo)構(gòu)成的彈道前置角可分別表示為

(19)

(20)

由于垂直平面和水平面內(nèi)彈道特性分析相似，在此只對(duì)垂直平面內(nèi)的彈道特性進(jìn)行理論分析，利用同樣方法，可求取水平面內(nèi)的前置角變化，分析彈道平直性，將式(19)兩邊微分，可得

(21)

導(dǎo)彈的彈道傾角變化率可表示為

對(duì)式(21)兩邊積分，可得

(22)

(23)

如果初始ηm0=0，則式(23)變形后，可得

(24)

對(duì)于傳統(tǒng)的TPN制導(dǎo)，在垂直平面內(nèi)，其前置角變化可表示為

(25)

根據(jù)式(24)和式(25)可知，在攔截的過(guò)程中，分?jǐn)?shù)階項(xiàng)的引入，使得FOCPN前置角變化較小，即在整個(gè)攔截過(guò)程中，彈道變化幅度較小，這也進(jìn)一步加大了彈道的平穩(wěn)度，降低了對(duì)于執(zhí)行機(jī)構(gòu)的過(guò)載要求。如果使設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律保持彈道平直，同時(shí)降低導(dǎo)彈的過(guò)載要求，則必須滿足下列條件：

(26a)

(26b)

根據(jù)式(26a)、式(26b)可知，F(xiàn)OCPN過(guò)載滿足下列關(guān)系式：

(27)

(28)

由于漸近滿足式(26a)、式(26b)，可得

(29)

(30)

導(dǎo)彈垂直方向和水平方向的需用過(guò)載極值，可分別表示為Nmy=max{|Ua|}/g和Nmz=max{|Ub|}/g。根據(jù)式(24)和式(26)可知，導(dǎo)彈的彈道較為平直時(shí)，視線傾角和偏角都變化較小，滿足Nmy→0，Nmz→0。這說(shuō)明設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階比例導(dǎo)引律可保持導(dǎo)彈的指令及過(guò)載漸近趨于極小。因此，采用FOCPN制導(dǎo)具有最小能量控制的特點(diǎn)，并可使彈道變化更平穩(wěn)。

4　FOCPN制導(dǎo)魯棒性能分析

為簡(jiǎn)化分析過(guò)程，將三維制導(dǎo)律分解到垂直和水平平面分別研究。下面在垂直二維平面內(nèi)，對(duì)FOCPN的魯棒特性進(jìn)行研究，水平面內(nèi)分析方法類(lèi)似。

垂直平面內(nèi)小偏量運(yùn)動(dòng)學(xué)模型如圖2所示。

相關(guān)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

(31)

(32)

導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀/彈體的傳遞函數(shù)G(s)表示如式(33)所示：

(33)

以末制導(dǎo)采用尋的制導(dǎo)為例，小偏量運(yùn)動(dòng)學(xué)模型下制導(dǎo)回路如圖3所示。

圖2　小偏量運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系

圖3　FOCPN尋的制導(dǎo)回路

令Uy(s)/Y(s)=Gy(s)，根據(jù)第2節(jié)中分?jǐn)?shù)階微積分性質(zhì)可知：

(34)

因此，圖3中函數(shù)Gy(s)可表示為

(35)

(36)

在傳統(tǒng)的PN制導(dǎo)和比例微分(proportional differential簡(jiǎn)稱PD)制導(dǎo)中，制導(dǎo)回路傳遞系數(shù)分別為

對(duì)比式(36)，可知：

(37)

水平面和垂直面分析類(lèi)似，同樣可得：

(38)

根據(jù)式(37)和式(38)可知，F(xiàn)OCPN制導(dǎo)通過(guò)分?jǐn)?shù)階項(xiàng)的引入，增大了傳遞函數(shù)的增益系數(shù)，相對(duì)于傳統(tǒng)的PN制導(dǎo)，這將加強(qiáng)對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的導(dǎo)引能力，同時(shí)能減小對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的系統(tǒng)誤差，進(jìn)一步提高制導(dǎo)精度。

定義：系統(tǒng)T對(duì)參數(shù)K的靈敏度表示為

(39)

為分析方便，推導(dǎo)垂直平面內(nèi)的穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)靈敏度，計(jì)算可得

(40)

根據(jù)尋的制導(dǎo)系統(tǒng)回路圖3可知，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的誤差微分可表示為

(41)

(42)

(43)

其中，p(s)為中間計(jì)算項(xiàng)。因此，根據(jù)式(41)～式(43)，可知：

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

通過(guò)式(46)～式(49)可知，F(xiàn)OCPN對(duì)自動(dòng)駕駛儀參數(shù)靈敏度由于分母項(xiàng)變大而導(dǎo)致絕對(duì)值變小。因此，相對(duì)于傳統(tǒng)PN制導(dǎo)，F(xiàn)OCPN對(duì)自動(dòng)駕駛儀參數(shù)變化具有更強(qiáng)的魯棒性。

5　仿真分析

為檢驗(yàn)設(shè)計(jì)FOCPN制導(dǎo)律的制導(dǎo)性能，在此選用比擴(kuò)展比例導(dǎo)引(Appended Proportional Navigation簡(jiǎn)稱APN)作為對(duì)比[20]，仿真中步長(zhǎng)取為0.01 s，導(dǎo)彈和目標(biāo)的初始仿真參數(shù)設(shè)置如表1所示，APN制導(dǎo)的制導(dǎo)系數(shù)取為3.5，分?jǐn)?shù)階微積分的階次在[0，1]范圍內(nèi)取值，參考文獻(xiàn)[18]，按照遍歷尋優(yōu)的方法，微分階次p最優(yōu)值取為0.6。在仿真過(guò)程中，選取視線轉(zhuǎn)率作為基準(zhǔn)3σ的不確定性，同時(shí)選取到導(dǎo)引頭的測(cè)量誤差為0.01 (°)/s。參考文獻(xiàn)[21]，導(dǎo)彈的自動(dòng)駕駛儀模型表示如下：

(50)

式中τ為時(shí)間常數(shù)，τ=0.5 s；ζ為阻尼常數(shù)，ζ=0.6；ωn為頻率，ωn=18 rad/s。

為有效驗(yàn)證FOCPN制導(dǎo)性能，設(shè)置3種仿真情形，仿真1中目標(biāo)不機(jī)動(dòng)，直線飛行；仿真2中目標(biāo)在傾斜平面做圓弧形機(jī)動(dòng)，機(jī)動(dòng)加速度設(shè)為40 m/s2；仿真3中目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度在水平和垂直方向機(jī)動(dòng)加速度分別為atz=20 m/s2和aty=20 m/s2。攔截性能比較表如表2所示，其中脫靶量和攔截時(shí)間來(lái)自200次蒙特卡洛仿真。

根據(jù)仿真結(jié)果表2可知，APN和本文設(shè)計(jì)的FOCPN兩種制導(dǎo)律都能對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)實(shí)施有效攔截，保證擊落目標(biāo)，在制導(dǎo)精度方面，當(dāng)目標(biāo)不機(jī)動(dòng)時(shí)，兩者制導(dǎo)精度相差不大。然而，目標(biāo)機(jī)動(dòng)飛行時(shí)，F(xiàn)OCPN的制導(dǎo)精度優(yōu)于APN制導(dǎo)。根據(jù)2種制導(dǎo)律的仿真時(shí)間可知，新設(shè)計(jì)的FOCPN制導(dǎo)律攔截時(shí)間較短，這將使得導(dǎo)彈更早的將目標(biāo)擊落。為方便分析彈道和導(dǎo)彈加速度變化，下面給出仿真條件3時(shí)仿真圖4～圖8，以描述FOCPN彈道特性和過(guò)載變化特點(diǎn)。

表1　仿真初始數(shù)據(jù)

表2　APN和FOCPN性能比較

圖4　彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡

由仿真圖4可看出，相對(duì)于APN制導(dǎo)，F(xiàn)OCPN的彈道曲率變化較小，攔截彈飛行軌跡相對(duì)也較小，彈道的平直有利于導(dǎo)彈在飛行中的彈道控制。根據(jù)圖5和圖6可知，在攔截的初始階段，采用FOCPN時(shí)，導(dǎo)彈的彈道傾角和彈道偏角快速變化，保證了導(dǎo)彈姿態(tài)的調(diào)整，這也使得后續(xù)末端攔截時(shí)，彈道傾角和偏角變化幅度較小。因此，能保證彈道在作戰(zhàn)后期保持較為平穩(wěn)，而APN在攔截的后期，彈道傾角和偏角變化相對(duì)較大。

圖5　導(dǎo)彈彈道傾角變化曲線

圖6　導(dǎo)彈彈道偏角變化曲線

圖7　導(dǎo)彈法向加速度曲線

由圖7和圖8可知，采用APN制導(dǎo)時(shí)，在攔截的開(kāi)始階段，導(dǎo)彈對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)沒(méi)有進(jìn)行及時(shí)補(bǔ)償，這樣造成了制導(dǎo)后期的強(qiáng)制補(bǔ)償。因此，彈道較為彎曲，尤其在攔截的末端，隨著彈目距離的接近，橫向加速度的末端出現(xiàn)激增現(xiàn)象(圖8)，這也是導(dǎo)致脫靶量較大的重要原因。而FOCPN制導(dǎo)時(shí)，導(dǎo)彈加速度變化沒(méi)有出現(xiàn)過(guò)激現(xiàn)象，整體變化相對(duì)較小，在末制導(dǎo)的初始階段，導(dǎo)彈能利用增大自身加速度調(diào)整自身的飛行姿態(tài)，補(bǔ)償由目標(biāo)機(jī)動(dòng)引起的視線角速率變化，在攔截的末端，采用FOCPN制導(dǎo)能有效抑制視線的旋轉(zhuǎn)，解決了傳統(tǒng)比例導(dǎo)引末端視線角速率發(fā)散，導(dǎo)致加速度激增問(wèn)題，這也降低了對(duì)導(dǎo)彈執(zhí)行機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)要求。在圖7和圖8的33 s左右出現(xiàn)曲線變化，主要是因?yàn)槟繕?biāo)機(jī)動(dòng)的方向變化引起導(dǎo)彈過(guò)載出現(xiàn)變化。

圖8　導(dǎo)彈橫向加速度變化曲線

綜上可知，針對(duì)非機(jī)動(dòng)目標(biāo)，APN和FOCPN制導(dǎo)性能相當(dāng)。然而，對(duì)于機(jī)動(dòng)類(lèi)目標(biāo)， FOCPN能更好地控制飛行彈道，導(dǎo)彈加速度變化也較平穩(wěn)，表現(xiàn)出更加良好的制導(dǎo)性能。

6　結(jié)論

(1)文中以傳統(tǒng)PN制導(dǎo)為基礎(chǔ)，利用分?jǐn)?shù)階微積分理論改進(jìn)傳統(tǒng)PN，設(shè)計(jì)了FOCPN制導(dǎo)律。通過(guò)理論分析了FOCPN制導(dǎo)律的過(guò)載特性、彈道特性，以及對(duì)自動(dòng)駕駛儀參數(shù)的魯棒性。

(2)針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)，相對(duì)于APN制導(dǎo)，新設(shè)計(jì)FOCPN能夠針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行有效攔截，且制導(dǎo)精度髙，攔截時(shí)間短，彈道變化較平穩(wěn)，能克服傳統(tǒng)比例導(dǎo)引因視線角速率發(fā)散導(dǎo)致的過(guò)載飽和問(wèn)題。

(3)所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律主要針對(duì)大氣層內(nèi)機(jī)動(dòng)目標(biāo)，如何將分?jǐn)?shù)階微積分理論引入到對(duì)臨近空間高超聲速目標(biāo)或者導(dǎo)彈類(lèi)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)直接碰撞攔截，是下一步研究的重點(diǎn)。

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(編輯：呂耀輝)

Novel 3D terminal guidance law based on the theory of fractional order calculus

YE Ji-kun，WEI Dao-zhi，LI Jiong，SHAO Lei，LEI Hu-min

(Air and Missile Defense College of Air Force Engineer University，Xi’an710051，China)

A novel terminal guidance law based on the fractional calculus was derived aiming at intercepting the maneuvering target.Firstly,the definitions and properties of the fractional order calculus were introduced,the fractional order calculus proportional navigation(FOCPN)was proposed based on the traditional proportional navigation(PN) after analyzing the relative motion relation. Secondly, the characteristic of the load and the control effort of FOCPN were studied,and the trajectory stability of the FOCPN was researched through analyzing the change of leading angle,also the robust of FOCPN against autopilot parameters was analyzed by small deviator kinematics model.At last,simulation result shows that,compared with the traditional PN law,the new designed FOCPN has the higher guidance precision and the shorter intercept time,and it solves the problem of overload increasing sharply caused by divergence of line of sight rate.The new designed guidance law can intercept maneuvering target effectively.

fractional calculus；guidance；proportional navigation；load；trajectory

2015-05-03；

2015-07-17。

國(guó)家高科技計(jì)劃，航空科學(xué)基金項(xiàng)目(20130196004,20140196004)。

葉繼坤(1984—)，男，博士，研究方向?yàn)轱w行器制導(dǎo)控制。E-mail：jikunbo@sina.com

V448

A

1006-2793(2016)03-0428-08

10.7673/j.issn.1006-2793.2016.03.026