求解伯格斯方程的幾種算法

馬龍 馬紅權(quán) 陳書文 葉婷婷

摘 要：伯格斯方程（Burgers equation）是一個(gè)具有重要物理意義的數(shù)學(xué)模型。結(jié)合算例比較了基于不同徑向基函數(shù)（Matern和MQ）的局部特別解方法和Local Kansa method，分析了它們的計(jì)算誤差和優(yōu)劣。

關(guān)鍵詞：Burgers方程；徑向基函數(shù)；局部近似特別解方法

一、引言

對很多物理問題來說，伯格斯方程（Burgers equation）是一個(gè)非常有用的數(shù)學(xué)模型，比如激波、淺水波問題和交通流動(dòng)力學(xué)問題等。而且，由于伯格斯方程是比較少的可以得到精確解的一類非線性偏微分方程，它又常被用來檢驗(yàn)數(shù)值方法的好壞優(yōu)劣，這也使得伯格斯方程在計(jì)算機(jī)時(shí)代具有了重要的應(yīng)用價(jià)值。近年來，無網(wǎng)格方法求解伯格斯方程逐漸受到重視，它既不需要進(jìn)行網(wǎng)格劃分，又可以有效提高計(jì)算的精度。其中，基于徑向基函數(shù)（Radial Basis Function， RBFs）的無網(wǎng)格方法具有形式簡單和各向同性等諸多優(yōu)點(diǎn)，并且具有較強(qiáng)的比較能力，在數(shù)學(xué)上得到了大量研究和成功運(yùn)用。本文結(jié)合算例比較了基于不同徑向基函數(shù)（Matern和MQ）的局部近似特別解（LMAPS）方法以及Local Kansa method，在求解伯格斯方程近似解的可行性。

二、算例

考慮到分別用基于matern徑向基函數(shù)的LMAPS和基于MQ函數(shù)的LMAPS方法來求解方程（1），表1表示節(jié)點(diǎn)在單位正方形的規(guī)則計(jì)算區(qū)域上均勻分布，如圖1所示。

三、比較分析

分別取總節(jié)點(diǎn)數(shù)為121和441在t=0.4，Re=1，局部點(diǎn)ns=5的情況下，LMAPS分別采用Matern徑向基和MQ徑向基函數(shù)， Local Kansa method方法獲得的最大絕對誤差MAE，最大相對誤差MRE和均方根誤差列表RMSE。由于Matern徑向基函數(shù)不含有形參c，所以不用像MQ函數(shù)作徑向基函數(shù)那樣去考慮形參c的取值，由下表可以看出不論是用MQ作徑向基函數(shù)，還是選取Matern徑向基函數(shù)，都能達(dá)到很高的近似精度，取得令人滿意的效果，但是采用Matern RBFs時(shí)獲得的各種誤差相對來講是最大的，這說明求解均勻區(qū)域點(diǎn)均勻分布的偏微分方程并不像求解非均勻分布的情況那樣能取得較高的近似精度。

當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)n=121時(shí)，采用Matern徑向基函數(shù)時(shí)LMAPS方法的最大絕對誤差，最大相對誤差和均方根誤差都達(dá)到了10-5，而采用MQ函數(shù)作徑向基函數(shù)的LMAPS方法有更高的近似精度，當(dāng)總節(jié)點(diǎn)數(shù)都增加到n=441時(shí)，基于兩種不同徑向基函數(shù)的LMAPS方法和Local Kansa method的近似誤差都有著不同程度的提高，可見節(jié)點(diǎn)分布越密LMAPS方法和Local Kansa method的計(jì)算精度越高，同時(shí)采用MQ徑向基函數(shù)的LMAPS方法比用Matern徑向基函數(shù)的LMAPS方法和Local Kansa method的計(jì)算精度更高，當(dāng)LMAPS方法采用Matern RBFs時(shí)近似誤差則會(huì)比Local Kansa method較大一些。

但是隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)增加時(shí)，不論是采用MQ徑向基函數(shù)LMAPS方法，還是Local Kansa method都需要隨著嘗試改變c的取值，以便取得最好的近似精度。這里需要說明的是LMAPS方法和Local Kansa method雖然都可以通過增加節(jié)點(diǎn)數(shù)提高計(jì)算精度，但由于會(huì)增加計(jì)算的量，故運(yùn)算也需要更長的時(shí)間。

下圖2（a）、（b）、（c）、（d）、（e）、（f）都是在正方形區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)均勻分布，總點(diǎn)數(shù)分別取n=121和n=441，局部區(qū)域點(diǎn)ns=5，邊界點(diǎn)為ns=40和ns=80，雷諾數(shù)Re=1在t=0.4時(shí)分別采用兩種不同徑向基函數(shù)的LMAPS方法和Local Kansa method獲得的絕對誤差圖像。

四、結(jié)論

在求解Burgers方程時(shí)，基于全局性質(zhì)的特別解方法得到的矩陣是滿陣或者是稠密矩陣，這些矩陣往往是奇異的，如果用來解決大規(guī)模問題甚至是病態(tài)的。為了規(guī)避這些問題，人們找到了局部近似特別解方法（LMAPS）。本文采用三種方法在規(guī)則區(qū)域內(nèi)求解點(diǎn)均勻分布的伯格斯方程，三種方法的最大絕對誤差，最大相對誤差和均方根誤差都達(dá)到了10-5以上，證明都是有效的，誤差和計(jì)算精度都是令人滿意的。

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