巧用對稱性解力學(xué)題

安徽省靈璧黃灣中學(xué) 華興恒

巧用對稱性解力學(xué)題

安徽省靈璧黃灣中學(xué) 華興恒

許多物理模型、物理現(xiàn)象、物理規(guī)律中都存在著和諧而優(yōu)美的對稱性。在解題過程中，如果我們能夠巧妙而靈活地運用對稱性，常常可以避免復(fù)雜的數(shù)學(xué)運算和推導(dǎo)過程，直接抓住問題的本質(zhì)，出奇制勝，使一些復(fù)雜的問題變得簡單。

一、平衡位置對稱

對有關(guān)平衡位置對稱的問題，應(yīng)注意相關(guān)物理量在對稱位置處的大小關(guān)系，并在解題過程中加以利用。

例1如圖1所示，小球自A點靜止自由下落，到B點時與彈簧接觸，到C點時彈簧被壓縮到最短，若不計彈簧的質(zhì)量與空氣阻力，則小球在C點的加速度a______g（選填“>”、“=”或“<”）。

解析這是一道同學(xué)們感到較為棘手的問題，因為無法定量分析小球在C點受到的彈力大小。如果我們適當轉(zhuǎn)換一下思維的角度，改讓小球無初速度從B點釋放，設(shè)小球在BC′間做簡諧振動。依據(jù)簡諧振動的對稱性可知，小球在B點與C′點的加速度大小相等（兩個最大位移處），且均等于g。那么當小球從A處落下時，小球所能到達的最低點C低于C′點，因此小球在C點受到的彈力大于在C′點受到的彈力，所以小球在C點的加速度大于g。

二、時間變換對稱

系統(tǒng)在時間反演變換下，即t→-t的變換下具有的不變性，稱為時間反演對稱，時間反演如同時光倒流，在真實世界中是不可能發(fā)生的，但可以通過一對相對的過程來模擬演示。例如，對于豎直方向的拋體運動，由于速度具有對稱性，因此相應(yīng)的時間也具有對稱性。在解題的過程中，如果能夠靈活地運用這種對稱性，可以極大地簡化解題過程。

例2一個人在離地H高度處以相同的速率v0同時拋出兩個小球A和B，A被豎直上拋，B被豎直下拋，不考空氣阻力等因素，兩球落地時間差為Δt，求速率v0。

例3有三塊材料相同、形狀相同的長方體木塊，并排固定在水平地面上，如圖2所示。現(xiàn)有一子彈以水平速度v0射入木塊中，且射入第三塊后剛好沒有射出來，求子彈在三塊木塊中運動的時間之比。（不考慮重力的影響）

解析子彈射入木塊后與各個木塊之間的摩擦力不變，根據(jù)牛頓第二定律可知，子彈在各個木塊內(nèi)的加速度也不變。由運動學(xué)知識可知，子彈在木塊內(nèi)做初速度不為零的勻減速運動，直到射入第三塊并剛好沒有射出來。由于加速度相同的勻減速運動與勻加速運動具有對稱性，所以子彈在木塊內(nèi)的勻減速直線運動，也可以看作由第三塊木塊開始的初速度為零的勻加速直線運動。

例4用一輕彈簧把兩塊質(zhì)量分別為M和m的木板連接起來，放在水平地面上，如圖3所示。則必須在上板上施加多大的壓力F，才能使F撤去后，上板彈起來后恰好能使下板離地？

解析本題若采用能量守恒的觀點求解，將非常繁雜?？紤]到簡諧運動具有時間反演對稱性，則可將上面的木板的運動看作彈簧振子，利用對稱性求解，將會非常簡捷。

假設(shè)拉力F′作用在上板上，欲使M離地，拉力F′至少為（M+m）g。根據(jù)彈簧的拉伸與壓縮過程具有對稱性，要產(chǎn)生相同的效果，作用在上板的壓力F至少應(yīng)為（M+m）g。

三、鏡像對稱

鏡像對稱是一種空間反演，物體在平面鏡中成像時，物與像總是關(guān)于鏡面對稱的。某些物理問題也常具有這樣的對稱性。如果我們能夠抓住這一特征，并對問題進行遷移或變換，常能起到化難為易的作用，達到簡捷求解的目的。

例5如圖4，相對的兩個斜面，傾角分別為37°和53°，在頂點把兩個小球A、B以同樣大小的初速度分別向左、右水平拋出，小球都落在斜面上，若不計空氣阻力，則A、B兩小球運動的時間之比為（）。

A.1∶1B.4∶3C.16∶9D.9∶16

解析如圖4所示，作出53°傾角斜面在左側(cè)的對稱面。設(shè)想A、B兩球都以v0水平向左拋出，顯然B球在碰到53°傾角斜面之前必定先碰到37°傾角斜面，故tA

評析這是一道典型的靈活運用鏡像對稱法，化不對稱為對稱的例子。乍一看，本題似乎并不具有對稱性，但當作出53°傾角斜面的對稱面后，問題的求解便變得非常明朗、清晰了。

例6如圖5所示，玻璃球A離地面高度H=5 m，跟豎立鋼板MN相距s=2 m。讓A球以v0=5 m/s的初速度水平拋出，跟MN做彈性碰撞后落回到地面，求落地點C與MN的距離L。

解析此題采用常規(guī)解法比較煩瑣，若采用鏡像對稱法求解則非常簡捷。把MN當作“平面鏡”，作出A球軌跡BC的“像”BC′，因BC′與BC關(guān)“鏡面”MN對稱，且碰撞中沒有機械能損失，故曲線ABC′是球A做平拋運動的完整軌跡。

例7沿水平方向向一堵豎直光滑的墻壁拋出一個彈性小球A，拋出點離水平地面高為h，距墻壁的水平距離為s，小球與墻壁發(fā)生彈性碰撞后，落在水平地面上，落地點距墻壁的水平距離為2s，如圖6所示。求小球拋出的初速度。

解析因小球與墻壁發(fā)生彈性碰撞，所以小球與墻壁碰撞前后入射速度與反射速度具有對稱性，碰撞后小球的軌跡與無墻壁阻擋時，小球繼續(xù)前進的軌跡對稱，如圖6中所示。故此小球的運動可以轉(zhuǎn)換為平拋運動來處理，效果相當于從A′點（A點關(guān)于墻壁的對稱點）拋出。

四、拓展應(yīng)用

對稱性的思維方法，除了可以直接應(yīng)用于具有對稱性的物理問題外，還可以拓展開來，應(yīng)用于一些隱含著對稱思想的問題。

例8質(zhì)量為M的盒子放在光滑的水平面上，如圖7。盒內(nèi)有一質(zhì)量為m的小木塊（可視為質(zhì)點）以速度v0從左往右運動，木塊與盒子間的動摩擦因數(shù)為μ，若盒子長度為L，木塊與盒壁發(fā)生多次碰撞，且碰撞時無動能損失，求木塊與盒壁共能發(fā)生多少次碰撞。

解析本題涉及木塊與盒壁的多次碰撞，由于盒內(nèi)摩擦力的作用，盒子與木塊同時有運動，題目設(shè)置的情境比較復(fù)雜，使得初次接觸此類問題的同學(xué)感到難以入手。但是由于條件中有“碰撞時無動能損失”，因此可將碰撞時的盒壁當作“平面鏡”，將木塊與盒壁碰后的運動“反映”到其“像”上，把問題轉(zhuǎn)化為一個“具有足夠長的盒子，求木塊在盒內(nèi)的位移”問題，而這個問題就是典型的子彈射木塊問題，運用動量守恒定律和動能原理便可簡捷求解。

從以上幾例可以看出，運用對稱性分析解決問題，不僅能使問題的求解變得流暢而簡捷，同時還能提高思維的創(chuàng)造性和深刻性，使同學(xué)們在解決問題的過程中享受到成功的喜悅，增強學(xué)習(xí)物理知識的興趣。

同學(xué)們在學(xué)習(xí)物理知識的過程中，不僅要掌握知識，還要掌握正確的解題思想方法，提高思維的靈活性、敏捷性與創(chuàng)造性，加強各種思維方法的訓(xùn)練，這樣不僅可以提升思維品質(zhì)，優(yōu)化思維過程，而且還可以提高思維能力。