二項式定理活用例析

安徽省安慶一中 付賢民

二項式定理活用例析

安徽省安慶一中 付賢民

二項式定理是高中數(shù)學中的重點知識，其中蘊含著豐富的數(shù)學思想方法與技巧，能在解決諸多問題中得以運用。下面分類舉例分析。

一、求指定項的系數(shù)

分析根據(jù)通項公式，令x的指數(shù)為2即可求出系數(shù)。要注意項的系數(shù)與二項式系數(shù)的區(qū)別。

二、求指定項

A.-20 B.20 C.-15 D.15

分析本題將分段函數(shù)與二項式定理結合起來，必須先求出f［f（x）］的表達式，在求解的過程中注意分類討論，再利用通項公式找到常數(shù)項。

A.1 B.2 C.3 D.4

分析先根據(jù)前三項的系數(shù)成等差數(shù)列求出n的值，寫出展開式的通項公式，要使其為有理項，則x的指數(shù)必須為整數(shù)。

三、求系數(shù)和

分析分別令x=1和x=-1，再整體求解。

四、已知系數(shù)（或和），求參數(shù)值（或范圍）

例5 （2015年全國卷）（a+x）（1+x）4的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32，則a=＿＿＿＿。

分析設出（a+x）（1+x）4的展開式，利用賦值法來求解。

解設（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，

令x=1，則（a+1）×16=a0+a1+a2+a3+a4+a5①；

令x=-1，則0=a0-a1+a2-a3+a4-a5②。

①-②得16（a+1）=2（a1+a3+a5）=64，解得a=3，故填3。

分析先利用二項展開式的通項公式求出a、b間的關系式，再利用重要不等式求解。

令12-3r=3，得r=3。

五、求余數(shù)或整除問題

例7 5310被8除的余數(shù)是（ ）。

A.1 B.2 C.3 D.7

分析因53=48+5，利用二項式定理將其展開，則只需考慮510被8除的余數(shù)即可。

例8 對任意n∈N*，34n+2+a2n+1能被14整除，則最小的自然數(shù)a=。

分析因34n+2+a2n+1=92n+1+a2n+1=（14-5）2n+1+a2n+1，而由（14-5）2n+1的展開式知其前2n+1項都能被14整除，最后一項為-52n+1，即對任意n∈N*，-52n+1+a2n+1能被14整除或等于0。

解根據(jù)分析可知最小的自然數(shù)a=5。

六、求近似值

例9 （1.05）6的計算結果精確到0.01的近似值是（ ）。

A.1.23 B.1.24 C.1.33 D.1.34

分析將1.05改寫成1+0.05，利用二項式定理展開，根據(jù)要求去掉后面比較小的項即可求出近似值。

七、創(chuàng)新題

例10 觀察下列各式：

照此規(guī)律，當n∈N*時，

分析觀察等式左右兩邊的特點，不難發(fā)現(xiàn)答案為4n-1。對于這樣的創(chuàng)新題，要求同學們具有較強的觀察能力和歸納能力。解題的關鍵在于抓住題目給出的結構特征，從適當?shù)慕嵌韧诰虺銎鋬炔恳?guī)律。

故填4n-1。

例11 當x∈R，|x|＜1時，有如下表達式：

請根據(jù)以上材料所蘊含的數(shù)學思想方法，計算：

分析本題將導數(shù)、定積分、二項式定理巧妙地結合起來，要求同學們具有較好的理解能力、分析問題和解決問題的能力。